La programmation semi-définie est un outil fondamental d'optimisation convexe et polynomiale. Elle revient à optimiser une fonction linéaire sur un spectraèdre (un ensemble défini par des inégalités matricielles linéaires). En particulier, la programmation semi-définie est une généralisation de la programmation linéaire.Nous étudions l'analogue non-archimédien de la programmation semi-définie, en remplaçant le corps des nombres réels par le corps des séries de Puiseux. Notre approche est fondée sur des méthodes issues de la géométrie tropicale et, en particulier, sur l'étude de la tropicalisation des spectraèdres.En première partie de la thèse, nous analysons les images par la valuation des ensembles semi-algébriques généraux définis dans le corps des séries de Puiseux. Nous montrons que ces images ont une structure polyédrale, ce qui fournit un analogue réel du théorème de Bieri et Groves. Ensuite, nous introduisons la notion de spectraèdres tropicaux et nous montrons que, sous une hypothèse de généricité, ces objets sont décrits par des systèmes d'inégalités polynomiales de degré 2 sur le semi-corps tropical. Cela généralise un résultat de Yu sur la tropicalisation du cône des matrices positives.Une question importante relative à la programmation semi-définie sur les réels consiste à caractériser des projections de spectraèdres. Dans ce cadre, Helton et Nie ont conjecturé que tout ensemble semi-algébrique convexe est la projection d'un spectraèdre. La conjecture a été réfutée par Scheiderer. Néanmoins, nous montrons qu'elle est vraie ''à valuation près'' : dans le corps réel clos des séries de Puiseux, les ensembles semi-algébriques convexes et les spectraèdres projetés ont exactement les mêmes images par la valuation non-archimédienne.En seconde partie de la thèse, nous étudions des questions algorithmiques liées à la programmation semi-définie. Le problème algorithmique de base consiste à décider si un spectraèdre est vide. On ne sait pas si ce problème appartient à NP dans le modèle de la machine de Turing, et les algorithmes fondés sur la décomposition cylindrique algébrique ou la méthode de points critiques constituent l'état de l'art dans ce domaine. Nous montrons que, dans le cadre non-archimédien, les spectraèdres tropicaux génériques sont décrits par des opérateurs de Shapley associés aux jeux à paiement moyen stochastiques. Cela donne une méthode pour résoudre des problèmes de réalisabilité en programmation semi-définie non-archimédienne en utilisant les algorithmes combinatoires conçus pour les jeux stochastiques.Dans les chapitres finals de la thèse, nous établissons des bornes de complexité pour l'algorithme d'itération sur les valeurs qui exploitent la correspondance entre les jeux stochastiques et la convexité tropicale. Nous montrons que le nombre d'itérations est contrôlé par un nombre de conditionnement relié au diamètre intérieur du spectraèdre tropical associé.Nous fournissons des bornes supérieures générales sur le nombre de conditionnement. Pour cela, nous établissons des bornes optimales sur la taille en bits des mesures invariantes de chaînes de Markov. Comme corollaire, notre estimation montre que l'itération sur la valeur résout les jeux ergodiques à paiement moyen en temps pseudo-polynomial si le nombre de positions aléatoires est fixé. Enfin, nous expérimentons notre approche à la résolution de programmes semi-définis non-archimédiens aléatoires de grande taille. / Semidefinite programming (SDP) is a fundamental tool in convex and polynomial optimization. It consists in minimizing the linear functions over the spectrahedra (sets defined by linear matrix inequalities). In particular, SDP is a generalization of linear programming.The purpose of this thesis is to study the nonarchimedean analogue of SDP, replacing the field of real numbers by the field of Puiseux series. Our methods rely on tropical geometry and, in particular, on the study of tropicalization of spectrahedra.In the first part of the thesis, we analyze the images by valuation of general semialgebraic sets defined over the Puiseux series. We show that these images have a polyhedral structure, giving the real analogue of the Bieri--Groves theorem. Subsequently, we introduce the notion of tropical spectrahedra and show that, under genericity conditions, these objects can be described explicitly by systems of polynomial inequalities of degree 2 in the tropical semifield. This generalizes the result of Yu on the tropicalization of the SDP cone.One of the most important questions about real SDPs is to characterize the sets that arise as projections of spectrahedra. In this context, Helton and Nie conjectured that every semialgebraic convex set is a projected spectrahedron. This conjecture was disproved by Scheiderer. However, we show that the conjecture is true ''up to taking the valuation'': over a real closed nonarchimedean field of Puiseux series, the convex semialgebraic sets and the projections of spectrahedra have precisely the same images by the nonarchimedean valuation.In the second part of the thesis, we study the algorithmic questions related to SDP. The basic computational problem associated with SDP over real numbers is to decide whether a spectrahedron is nonempty. It is unknown whether this problem belongs to NP in the Turing machine model, and the state-of-the-art algorithms that certify the (in)feasibility of spectrahedra are based on cylindrical decomposition or the critical points method. We show that, in the nonarchimedean setting, generic tropical spectrahedra can be described by Shapley operators associated with stochastic mean payoff games. This provides a tool to solve nonarchimedean semidefinite feasibility problems using combinatorial algorithms designed for stochastic games.In the final chapters of the thesis, we provide new complexity bounds for the value iteration algorithm, exploiting the correspondence between stochastic games and tropical convexity. We show that the number of iterations needed to solve a game is controlled by a condition number, which is related to the inner radius of the associated tropical spectrahedron. We provide general upper bounds on the condition number. To this end, we establish optimal bounds on the bit-length of stationary distributions of Markov chains. As a corollary, our estimates show that value iteration can solve ergodic mean payoff games in pseudopolynomial time, provided that the number of random positions of the game is fixed. Finally, we apply our approach to large scale random nonarchimedean SDPs.

La majorité des courbes et surfaces rencontrées dans la modélisation géométrique sont définies comme l'ensemble des solutions d'un système d'équations et d'inéquations algébriques (ensemble semi-algébrique). De nombreux problèmes dans différentes disciplines scientifiques font appel à des requètes de proximité telles que la recherche du ou des voisins les plus proches ou la quantification du voisinage de deux objets.<br /><br />Le diagramme de Voronoï d'un ensemble d'objets est une décomposition de l'espace en zones de proximité. La zone de proximité d'un objet est l'ensemble des points plus proches de cet objet que de tout autre objet. Les diagrammes de Voronoï permettent de répondre aux requètes de proximité après avoir identifié la zone de proximité à laquelle le point objet de la requète appartient. Le graphe dual du diagramme de Voronoï est appelé le graphe de Delaunay. Seules les approximations par des coniques peuvent garantir un ordre de continuité approprié au niveau des points de contact, ce qui est nécessaire pour garantir l'exactitude du graphe de Delaunay.<br /><br />L'objectif théorique de cette thèse est la mise en évidence des propriétés algébriques et géométriques élémentaires de la courbe déplacée d'une courbe algébrique et de réduire le calcul semi-algébrique du graphe de Delaunay à des calculs de valeurs propres. L'objectif pratique de cette thèse est le calcul certifié du graphe de Delaunay pour des ensembles semi-algébriques de faible degré dans le plan euclidien.<br /><br />La méthodologie associe l'analyse par intervalles et la géométrie algébrique algorithmique. L'idée centrale de cette thèse est qu'un pré-traitement symbolique unique peut accélérer l'évaluation numérique certifiée du détecteur de conflits dans le graphe de Delaunay. Le pré-traitement symbolique est le calcul de l'équation implicite de la courbe déplacée généralisée d'une conique. La réduction du problème semi-algébrique de la détection de conflits dans le graphe de Delaunay à un problème d'algèbre linéaire a été possible grâce à la considération du sommet de Voronoï généralisé (un concept introduit dans cette thèse).<br /><br />Le calcul numérique certifié du graphe de Delaunay a été éffectué avec une librairie de résolution de systèmes zéro-dimensionnels d'équations et d'inéquations algébriques basée sur l'analyse d'intervalles (ALIAS). Le calcul certifié du graphe de Delaunay repose sur des théorèmes sur l'unicité de racines dans des intervalles donnés (Kantorovitch et Moore-Krawczyk). Pour les coniques, les calculs sont accélérés lorsque l'on ne considère que les équations implicites des courbes déplacées.

Introduite par B. Totaro, la filtration par le poids sur l'homologie des variétés algébriques réelles, analogue réel de la filtration par le poids de P. Deligne sur les variétés algébriques complexes, a été réalisée via un complexe de chaînes filtré par C. McCrory et A. Parusinski, qui en ont enrichi la compréhension, notamment à travers l'étude de la suite spectrale induite. Au milieu des nombreuses informations recelées par cette suite spectrale de poids, on retrouve les nombres de Betti virtuels. Dans cette thèse, on montre l'existence d'une filtration par le poids équivariante sur l'homologie équivariante des variétés algébriques réelles munies d'une action d'un groupe fini. On la réalise par un complexe filtré et, via la construction de plusieurs suites spectrales, on effectue des avancées significatives pour extraire des invariants additifs. Lors de notre étude, on définit fonctoriellement un complexe de poids avec action et on montre qu'un résultat de découpage d'une variété Nash munie d'une involution algébrique entraîne un analogue de la suite exacte de Smith, tenant compte de la filtration Nash-constructible. A travers la construction d'un complexe de poids invariant dans le cadre d'involutions algébriques, on retrouve également les nombres de Betti virtuels équivariants de G. Fichou. Enfin, en appliquant les bons foncteurs aux résultats sur les produits de filtrations par le poids réelles de T. Limoges, on donne des résultats sur les produits de filtrations par le poids équivariantes.

Suite aux travaux de Zbigniew Szafraniec et Nicolas Dutertre, je me suis intéressée aux calculs de caractéristiques d'Euler de certains espaces semi-algébriques. En particulier, ceux de laforme : $ {(-1)^{varepsilon_1} G_1geq 0 }cap...cap{(-1)^{varepsilon_l} G_lgeq 0}cap W$, où $epsilon=(epsilon_1,...,epsilon_l)in{0,1}^l$, $G=(G_1,...,G_l):R^nrightarrowR^l$ polynomiale et $W:=F^{-1}(0)subsetR^n$ où $F:R^nrightarrowR^k$ et $k+lleq n$. Une fois le cas lisse traité, on intersecte ces ensembles avec ${ fgeq 0}$ ou ${ fleq 0}$, où $f$ est polynomiale telle que $f^{-1}(0)$ admette un nombre fini de singularités. J'énonce alors un théorème reliant ces caractéristiques au degré d'applications faisant intervenir les fonctions $f$, $F$ et $G$. Pour finir, on s'intéresse au cas où l'ensemble $W$ possède un lieu critique compact.Dans une autre partie, je travaille sur l'indice radial, indice défini sur des variétés singulières. J'énonce un résultat faisant le lien entre l'indice radial d'un champ de vecteurs V en une singularité avec l'indice radial de son opposé -V. Finalement, je relie l'indice radial à un indice d'intersection. / After the works of Zbigniew Szafraniec and Nicolas Dutertre, we are interested in computing Euler characteristics of some particular semialgebraic sets. In particular, the ones of the form : $ {(-1)^{varepsilon_1} G_1geq 0 }cap...cap{(-1)^{varepsilon_l} G_lgeq 0}cap W$, where $varepsilon=(varepsilon_1,...,varepsilon_l)in{0,1}^l$, $G=(G_1,...,G_l):R^nrightarrowR^l$ polynomial and $W:=F^{-1}(0)subsetR^n$ where $F:R^nrightarrowR^k$ and $k+lleq n$. Once the smooth case is treated, we intersect these sets with ${ fgeq 0}$ or ${ fleq 0}$, where $f$ is polynomial such that $f^{-1}(0)$ contains a finite number of singularities. Then we state a theorem that makes a link between these caracteristics and some degrees of mappings involving the functions $f$, $F$ and $G$. Finally, we study the case where $W$ has a compact singular set.In another part, I work with the radial index, an index defined for singular manifolds. I have a result making a link between the radial index of a vector field V and its opposite -V at a singularity. Finally, I relate that radial index to an intersection index.

Un problème de géométrie algébrique réelle s'exprime sous forme d’un système d’équations et d’inéquations polynomiales, dont l’ensemble des solutions est un ensemble semi-algébrique. L'objectif de cette thèse est de montrer comment les algorithmes de ce domaine peuvent être décrits formellement dans le langage du système de preuve Coq.Un premier résultat est la définition formelle et la certification de l’algorithme de transformation de Newton présentée dans la thèse d'A. Bostan. Ce travail fait intervenir non seulement des polynômes, mais également des séries formelles tronquées. Un deuxième résultat est la description d'un type de donnée représentant les ensembles semi-algébriques. Un ensemble semialgébrique est représenté par une formule logique du premier ordre basée sur des comparaisons entre expressions polynomiales multivariées. Pour ce type de données, nous montrons comment obtenir les différentes opérations ensemblistes et allons jusqu'à décrire les fonctions semi-algébriques. Pour toutes ces étapes, nous fournissons des preuves formelles vérifiées à l'aide de Coq. Enfin, nous montrons également comment la continuité des fonctions semi-algébrique peut être décrite, mais sans en fournir une preuve formelle complète. / A real algebraic geometry problem is expressed as a system of polynomial equations and inequalities, and the set of solutions are semi-algebraic sets. The objective of this thesis is to show how the algorithms of this domain can be formally described in the language of the Coq proof system. A first result is the formal definition and certification of the Newton transformation algorithm presented in A. Bostan's thesis. This work involves not only polynomials, but also truncated formal series. A second result is the description of a data type representing semi-algebraic sets. A semi-algebraic set is represented by a first-order logical formula based on comparisons between multivariate polynomial expressions. For this type of data, we show how to obtain the different set operations all the way to describing semialgebraic functions. For all these steps, we provide formal proofs verified with Coq. Finally, we also show how the continuity of semi-algebraic functions can be described, but without providing a fully formalized proof.