Les travaux exposés dans ce manuscrit sont consacrés à l'étude de la dynamique hors équilibre de chaînes quantiques décrites par le modèle XY. Nous commençons par considérer la dynamique unitaire obtenue par la mise en contact de sous-systèmes voisins thermalisés à des températures différentes. L'état initial de la chaîne est alors inhomogène et la dynamique tend à l'homogénéisation. Lorsque le système est initialement divisé en deux sous-systèmes semi-infini préparés aux températures $T_b=\infty$ et $T_s$ nous obtenons analytiquement la fonction de Green associée à la dynamique du courant et du profil d'aimantation. Les résultats sont généralisés pour les températures $T_b$ finies permettant l'étude de l'état stationnaire. Dans le cas particulier où $T_s=T_b=0$, nous étudions le comportement de l'entropie d'intrication entre sous-systèmes. Cette quantité présente un accroissement "rapide", prédit par la théorie conforme (dans le cas d'un système critique), suivi d'une relaxation algébrique vers la valeur d'équilibre. Dans la dernière partie la dynamique du système est obtenue par l'interaction avec l'environnement, décrite par le processus d'interactions répétées. Nous examinons la structure de la matrice densité réduite du système et donnons une équation d'évolution de l'ensemble des corrélateurs à deux points. Finalement, nous étudions l'évolution temporelle du modèle $XX$ en contact avec un ou deux bains aux températures $T_1$ et $T_2$. Lorsque $T_1=T_2$, l'étude du comportement du système, pour les temps courts, dévoile l'état stationnaire. Dans la situation $T_1\ne T_2$, nous vérifions numériquement que le profil d'aimantation est plat et proposons l'introduction d'un désordre dynamique qui permet l'installation d'un gradient d'aimantation.

Nous présentons dans cette thèse deux applications de la correspondance AdS/CFT. La première est l'analyse des propriétés de transport des modes fermioniques dans les théories des champs fortement couplées. Nous étudions en particulier les propriétés de la constante de diffusion du phonino dans N=4 SYM à densité nulle ou finie. Nous trouvons que la constante de diffusion dépend du potentiel chimique et par conséquent qu'elle n'a pas une propriété d'universalité similaire à celle de la viscosité de cisaillement. La deuxième application traite du comportement de l'entropie d'intrication dans des théories qui contiennent des degrés de liberté massifs. Pour identifier les contributions de la masse à l'entropie d'intrication nous l'évaluons dans un système comprenant des branes de saveur et nous identifions certains des termes dépendants de la masse. Nous trouvons que le coefficient du terme logarithmique est différent de celui calculé dans la théorie des champs libre, un résultat qui est qualitativement en accord avec de résultats holographique antérieurs. De plus nous calculons d'autres termes, prédits dans la théorie des champs, mais qui n'ont pas été identifiés auparavant dans un système holographique.

Cette thèse porte sur l'étude de systèmes quantiques à N-corps à température nulle, où le comportement du système n'est alors soumis qu'aux effets quantiques. Je vais présenter ici une approche variationnelle développée avec Tommaso Roscilde, mon directeur de thèse, et Fabio Mezzacapo, mon co-encadrant de thèse, pour étudier ces systèmes.Cette approche se base sur une parametrisation de l’état quantique (dit Ansatz) à laquelle on applique une procédure d’optimisation variationnelle lui permettant de reproduire l'évolution d'un système soumis à l'équation de Schrödinger, tout en limitant le nombre de variables considérées. En considérant une évolution en temps imaginaire, il est possible d'étudier l'état fondamental d'un système. Je me suis ainsi intéressé à un modèle de chaîne XX de spins 1/2, dont les corrélations à longue portée rendent l'étude difficile, et adapté ainsi notre approche pour reproduire au mieux les corrélations et l'intrication du système. Je me suis ensuite intéressé au modèle J1-J2 dont la structure de signe non positive des coefficients de l’état quantique pose un défi important pour les approches Monte Carlo; et dans laquelle la frustration magnétique induit une transition de phase quantique (d’un état aux corrélations à longue porté vers un état non magnétique avec formation d’un cristal de lien de valence). Je me suis enfin intéressé à l'évolution temporelle d'un système à N-corps à partir d'un état non stationnaire. J'ai pu étudier la capacité de notre approche à reproduire la croissance linéaire de l’intrication dans le temps, ce qui est un obstacle fondamental pour les approches alternatives telles que le groupe de renormalisation de la matrice densité. / This thesis presents a study of quantum many-body systems at zero temperature, where the behavior of the system is purely driven by the quantum effects. I will introduce a variationnal approach developped with Tommaso Roscilde, my PhD supervisor, and Fabio Mezzacapo, my co-supervisor, in order to study these systems.This approach is based on a parametrisation of the quantum state (named Ansatz) on which we apply a variational optimisation, allowing us reproduce the system's evolution under Schrödinger's equation with a limited number of variables.By considering an imaginary-time evolution, it is possible to reconstruct the system's ground state. I focused on S=1/2 XX spin chain, where the long-range quantum correlations complicate a variational study; and I have specifically targeted our Ansatz in order to reproduce the correlations and the entanglement of the ground state. Moreover I considered the antiferromagnetic S=1/2 J1-J2 spin chain, where the non-trivial sign structure of the coefficients of the quantum state introduces an important challenge for the quantum Monte Carlo approach; and where the magnetic frustration induces a quantum phase transition (from a state with long range correlations to a non-magnetic state in the form of a valence-bond crystal).Finally I focused on the time evolution of a quantum many-body system starting from a non-stationary state. I studied the ability of our approach to reproduce the linear increase of the entanglement during time, which is a fondamental obstacle for other approaches such as the density-matrix renormalization group.

La méthode de l’ansatz de Bethe est introduite et utilisée dans ce mémoire. Elle est employée afin de diagonaliser un opérateur dit de Heun. Cette méthode est appliquée en construisant directement, dans les cas des polynômes de Racah et de q–Racah, les opérateurs dynamiques à partir de leurs formes génériques et de leurs relations de commutation. Il devient alors possible d’obtenir les équations de Bethe, qui si elles sont respectées, conduisent à des vecteurs propres de l’opérateur de Heun. Avec cet opérateur, qui commute avec la matrice de corrélation tronquée, nous pouvons alors déterminer l’entropie d’intrication d’une chaîne fermionique basée sur les polynômes de q–Racah. / A Bethe ansatz method is introduced in this master’s thesis. This method is used to diagonalize a Heun operator. It is applied by directly building the dynamical operators from the commutation relations and their general form, in connection with the Racah and the q–Racah polynomials. We can then find the Bethe equations, and when these are satisfied, eigenvectors of the Heun operator are obtained. With this operator, which commutes with the truncated correlation matrix, it becomes possible to find the entanglement entropy of a free fermion chain based on the q–Racah polynomials.

Les travaux récents en fondements de la théorie quantique (des champs) et en information quantique relativiste tentent de mieux comprendre les effets des contraintes de causalité imposées aux opérations physiques sur la structure des corrélations quantiques. Le premier chapitre de cette thèse est consacré à l'étude des implications conceptuelles de la non-localité quantique, notion qui englobe celle d'intrication dans un sens précis. Nous détaillons comment les récentes approches informationnelles tentent de saisir la structure des corrélations non-locales, ainsi que les questions que ces dernières soulèvent concernant la capacité d'un observateur localisé à isoler un système de son environnement. Le second chapitre détaille les effets de l'invariance de Poincaré sur la détection et la quantification de l'intrication. Cette invariance impose que tous les systèmes soient modélisés en dernière instance dans le cadre de la théorie des champs, ce qui implique qu'aucun système à énergie finie ne puisse être localisé, ainsi que la divergence de toute mesure d'intrication pour des observateurs localisés. Nous fournissons une solution à ces deux problèmes en démontrant l'équivalence générique qui existe entre une résolution spatiale finie des appareils de mesure et l'exclusion des degrés de liberté de haute énergie de la définition du système observé. Cette équivalence permet une interprétation épistémique du formalisme quantique standard décrivant les systèmes localisés non-relativistes et leurs corrélations, clarifiant ainsi l'origine des mesures finies d'intrication pour de tels systèmes. Le dernier chapitre explore un cadre théorique récemment introduit qui prédit l'existence de corrélations quantiques sans ordre causal défini. Procédant par analogie avec le cas des corrélations non-locales, nous présentons quelques principes informationnels contraignant la structure de ces corrélations dans le but de mieux en comprendre l'origine physique. / Recent works in foundations of quantum (field) theory and relativistic quantum information try to better grasp the interplay between the structure of quantum correlations and the constraints imposed by causality on physical operations. Chapter 1 is dedicated to the study of the conceptual implications of quantum nonlocality, a concept that subsumes that of entanglement in a certain way. We detail the recent information-theoretic approaches to understanding the structure of nonlocal correlations, and the issues the latter raise concerning the ability of local observers to isolate a system from its environment. Chapter 2 reviews in what sense imposing Poincaré invariance affects entanglement detection and quantification procedures. This invariance ultimately forces a description of all quantum systems within the framework of quantum field theory, which leads to the impossibility of localized finite-energy states and to the divergence of all entanglement measures for local observers. We provide a solution to these two problems by showing that there exists a generic equivalence between a finite spatial resolution of the measurement apparatus and the exclusion of high-energy degrees of freedom from the definition of the observed system. This equivalence allows for an epistemic interpretation of the standard quantum formalism describing nonrelativistic localized systems and their correlations, hence a clarification of the origin of the finite measures of entanglement between such systems. Chapter 3 presents a recent theoretical framework that predicts the existence of correlations with indefinite causal order. In analogy to the information-theoretic approaches to nonlocal correlations, we introduce some principles that constrain the structure of such correlations, which is a first step toward a clear understanding of their physical origin.

Depuis une trentaine d'années, les phases topologiques ont suscité un intérêt important parce qu'elles ne peuvent être comprises dans le cadre de la théorie de Landau des transitions de phases. Par définition, ces phases ne peuvent être distingués des phases triviales par une mesure locale et il est donc difficile de les identifier. Parmi les différentes techniques utilisées pour identifier les phases topologiques, les mesures d'intrication, introduites dans le cadre de l'informatique quantique, se sont révélées fructueuses. Li et Haldane ont proposé d'utiliser le spectre d'intrication : il s'agit du spectre de la matrice densité réduite obtenue lors d'un découpage du système en deux sous-parties. Ils ont montré que, pour les états modèles de l'effet Hall quantique fractionnaire, le comptage des états du spectre d'intrication possède une partie universelle dont le comptage est relié à celui des excitations de bord du système. Au cours de ma thèse, j'ai cherché à comprendre ce que permettait d'obtenir le spectre d'intrication appliqué aux phases de l'effet Hall quantique fractionnaire qui est l'exemple typique de phases topologiques en interaction forte. Mes premiers travaux ont consisté à étudier le spectre d'intrication, tel que l'avait défini Li et Haldane. J'ai ainsi montré qu'au-delà des états modèles il était possible de définir un gap d'intrication. J'ai aussi relié les structures au-dessus du gap d'intrication aux excitations de type quasitrous-quasiparticules. Par la suite, j'ai défini deux autres spectres d'intrication qui repose sur des découpages différents du système. Le spectre d'intrication par particule permet d'accéder à d'autres excitations de type quasitrous alors que le spectre d'intrication géométrique règle un certain nombre de problèmes que la définition de Li et Haldane posait. Enfin, j'ai utilisé ces outils pour identifier les phases, similaires à celles de l'effet Hall quantique fractionnaire, émergentes pour un gaz de bosons dans un réseau optique ou dans les isolants de Chern fractionnaires.