Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes. La première partie concerne l'étude des vecteurs propres de matrices aléatoires de type Wigner. Dans un premier temps, nous étudions la distribution des vecteurs propres de matrices de Wigner déformées, elles consistent en une perturbation d'une matrice de Wigner par une matrice diagonale déterministe. Si les deux matrices sont du même ordre de grandeur, il a été prouvé que les vecteurs propres se délocalisent complètement et les valeurs propres rentrent dans la classe d'universalité de Wigner-Dyson-Mehta. Nous étudions ici une phase intermédiaire où la perturbation déterministe domine l'aléa: les vecteurs propres ne sont pas totalement délocalisés alors que les valeurs propres restent universelles. Les entrées des vecteurs propres sont asymptotiquement gaussiennes avec une variance qui les localise dans une partie explicite du spectre. De plus, leur masse est concentrée autour de cette variance dans le sens d'une unique ergodicité quantique. Ensuite, nous étudions des corrélations de différents vecteur propres. Pour se faire, une nouvelle observable sur les moments de vecteurs propres du mouvement brownien de Dyson est étudiée. Elle suit une équation parabolique close qui est un pendant fermionique du flot des moments de vecteurs propres de Bourgade-Yau. En combinant l'étude de ces deux observables, il est possible d'analyser certaines corrélations.La deuxième partie concerne l'étude de la distribution des valeurs propres de modèles non-linéaires de matrices aléatoires. Ces modèles apparaissent dans l'étude de réseaux de neurones aléatoires et correspondent à une version non-linéaire de matrice de covariance dans le sens où une fonction non-linéaire, appelée fonction d'activation, est appliquée entrée par entrée sur la matrice. La distribution des valeurs propres convergent vers une distribution déterministe caractérisée par une équation auto-consistante de degré 4 sur sa transformée de Stieltjes. La distribution ne dépend de la fonction que sur deux paramètres explicites et pour certains choix de paramètres nous retrouvons la distribution de Marchenko-Pastur qui reste stable après passage sous plusieurs couches du réseau de neurones. / This thesis consists in two independent parts. The first part pertains to the study of eigenvectors of random matrices of Wigner-type. Firstly, we analyze the distribution of eigenvectors of deformed Wigner matrices which consist in a perturbation of a Wigner matrix by a deterministic diagonal matrix. If the two matrices are of the same order of magnitude, it was proved that eigenvectors are completely delocalized and eigenvalues belongs to the Wigner-Dyson-Mehta universality class. We study here an intermediary phase where the deterministic perturbation dominates the randomness of the Wigner matrix : eigenvectors are not completely delocalized but eigenvalues are still universal. The eigenvector entries are asymptotically Gaussian with a variance which localize them onto an explicit part of the spectrum. Moreover, their mass is concentrated around their variance in a sense of a quantum unique ergodicity property. Then, we consider correlations of different eigenvectors. To do so, we exhibit a new observable on eigenvector moments of the Dyson Brownian motion. It follows a closed parabolic equation which is a fermionic counterpart of the Bourgade-Yau eigenvector moment flow. By combining the study of these two observables, it becomes possible to study some eigenvector correlations.The second part concerns the study of eigenvalue distribution of nonlinear models of random matrices. These models appear in the study of random neural networks and correspond to a nonlinear version of sample covariance matrices in the sense that a nonlinear function, called the activation function, is applied entrywise to the matrix. The empirical eigenvalue distribution converges to a deterministic distribution characterized by a self-consistent equation of degree 4 followed by its Stieltjes transform. The distribution depends on the function only through two explicit parameters. For a specific choice of these parameters, we recover the Marchenko-Pastur distribution which stays stable after going through several layers of the network.

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de concentration des fonctions propres du laplacien discret sur des graphes réguliers de degré fixé dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Cette étude s'inspire de la théorie de l'ergodicité quantique sur les variétés. Par analogie avec cette dernière, nous développons un calcul pseudo-différentiel sur les arbres réguliers : nous définissons des classes de symboles et des opérateurs associés, et nous prouvons un certain nombre de propriétés de ces classes de symboles et opérateurs. Nous montrons notamment que les opérateurs sont bornés dans L², et nous donnons des formules de l'adjoint et du produit. Nous nous servons ensuite de cette théorie pour montrer un théorème d'ergodicité quantique pour des suites de graphes réguliers dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Il s'agit d'un résultat de délocalisation de la plupart des fonctions propres dans la limite des grands graphes réguliers. Les graphes vérifient une hypothèse d'expansion et ne comportent pas trop de cycles courts, deux hypothèses vérifiées presque sûrement par des suites de graphes réguliers aléatoires.

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de concentration des fonctions propres du laplacien discret sur des graphes réguliers de degré fixé dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Cette étude s'inspire de la théorie de l'ergodicité quantique sur les variétés. Par analogie avec cette dernière, nous développons un calcul pseudo-différentiel sur les arbres réguliers : nous définissons des classes de symboles et des opérateurs associés, et nous prouvons un certain nombre de propriétés de ces classes de symboles et opérateurs. Nous montrons notamment que les opérateurs sont bornés dans L², et nous donnons des formules de l'adjoint et du produit. Nous nous servons ensuite de cette théorie pour montrer un théorème d'ergodicité quantique pour des suites de graphes réguliers dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Il s'agit d'un résultat de délocalisation de la plupart des fonctions propres dans la limite des grands graphes réguliers. Les graphes vérifient une hypothèse d'expansion et ne comportent pas trop de cycles courts, deux hypothèses vérifiées presque sûrement par des suites de graphes réguliers aléatoires. / N this thesis, we study concentration properties of eigenfunctions of the discrete Laplacian on regular graphs of fixed degree, when the number of vertices tend to infinity. This study is made in analogy with the Quantum Ergodicity theory on manifolds. We construct a pseudo-differential calculus on regular trees by defining symbol classes and associated operators and proving some properties of these classes of symbols and operators. In particular we prove that the operators are bounded on L² and give adjoint and product formulas. We then use this theory to prove a Quantum Ergodicity theorem on large regular graphs. This is a property of delocalization of most eigenfunctions in the large scale limit. We consider expander graphs with few short cycles (for instance random large regular graphs). These hypothesis are almost surely satisfied by sequences of random regular graphs.

Cette thèse à pour objet l’étude des résonances du laplacien sur les variétés à pointes. Ce sont des variétés dont les bouts sont des pointes hyperboliques réelles. Ces objets ont été introduits par Selberg pour les surfaces à pointes de courbure constante dans les années 50. Leur définition a ensuite été étendue en courbure variable par Lax et Phillips. Les résonances sont les poles d’une famille méromorphe de fonctions propres généralisées du laplacien. Elles sont associées au spectre continu du laplacien. Pour analyser ce spectre continu, plusieurs directions de recherche sont explorées ici. D’une part, on obtient des résultats sur la localisation de ces résonances. En particulier, si la courbure est négative, on montre que pour un ensemble générique de métriques, les résonances se séparent en deux ensembles. Le premier est contenu dans une bande près du spectre continu. L’autre partie est composé de résonances qui s’éloignent du spectre. Ceci laisse une zone de taille log sans résonance.D’autre part, on étudie les mesures microlocales associées à certaines suites de paramètre spectraux. En particulier, on montre que pour des suites de paramètres spectraux qui s’approche du spectre, mais pas trop vite, la mesure microlocale associée est nécessairement la mesure de Liouville. Cette propriété est valable quand la courbure de la variété est négative. / In this thesis, we study the resonances of the Laplace operator on cusp manifolds. They are manifolds whose ends are real hyperbolic cusps. The resonances were introduced by Selberg in the 50's for the constant curvature cusp surfaces. Their definition was later extended to the case of variable curvature by Lax and Phillips. The resonances are the poles of a meromorphic family of generalized eigenfunctions of the Laplace operator. They are associated to the continuous spectrum of the Laplace operator. To analyze this continuous spectrum, different directions of research are investigated.On the one hand, we obtain results on the localization of resonances. In particular, if the curvature is negative, for a generic set of metrics, they split into two sets. The first one is included in a band near the spectrum. The other is composed of resonances that are far from the spectrum. This leaves a log zone without resonances. On the other hand, we study the microlocal measures associated to certain sequences of spectral parameters. In particular we show that for some sequences of parameters that converge to the spectrum, but not too fast, the associated microlocal measure has to be the Liouville measure. This property holds when the curvature is negative.