NASCIMENTO, Francisco Yure Santos do. Sobre a geometria das horoesferas. 2013. 65 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2013. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2014-02-17T18:31:50Z No. of bitstreams: 1 2013_dis_fysnascimento.pdf: 788024 bytes, checksum: 0879ada9b20cb23167d2e08c6df6fa6a (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-02-18T11:40:39Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2013_dis_fysnascimento.pdf: 788024 bytes, checksum: 0879ada9b20cb23167d2e08c6df6fa6a (MD5) / Made available in DSpace on 2014-02-18T11:40:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2013_dis_fysnascimento.pdf: 788024 bytes, checksum: 0879ada9b20cb23167d2e08c6df6fa6a (MD5) Previous issue date: 2013 / This work is based on the paper On the geometry of horospheres[4]. Our goal is to study geometric conditions which ensure that a complete and orientable hypersurface immersed in a hyperbolic space must be a horosphere. We also present a result that classifies immersed hypersurfaces in hyperbolic space, such that two natural functions attached to the corresponding immersion are linearly dependent. / Esse trabalho é baseado no artigo On the geometry of horospheres [4]. Nosso objetivo é estudar condições geométricas que garantam que uma hipersuperfície completa e orientável imersa no espaço hiperbólico deve ser uma horoesfera. Além disso, apresentamos um resultado que classifica as hipersuperfícies imersas no espaço hiperbólico tais que certas funções auxiliares da imersão correspondente sejam linearmente dependentes.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-11T14:21:10Z No. of bitstreams: 1 ANDRÉ FELIPE ARAÚJO RAMALHO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2016..pdf: 3873882 bytes, checksum: 22480d437deeaf103d778b7d7ec16444 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-11T14:21:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ANDRÉ FELIPE ARAÚJO RAMALHO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2016..pdf: 3873882 bytes, checksum: 22480d437deeaf103d778b7d7ec16444 (MD5) Previous issue date: 2016-12 / Neste trabalho, estudamos a geometria de uma subvariedade Mn , n ≥ 2, imersa isometricamente no espaço hiperbólico Hn+p, p ≥ 1, com algumas condições prescritas sobre sua aplicação de Gauss N. No caso p = 1, inicialmente, nosso objetivo é mostrar que uma hipersuperfície completa Mn, com curvatura média constante, é totalmente umbílica, desde que N(Mn) esteja contida em uma hipersuperfície tipo-espaço totalmente umbílica do espaço de Sitter Sn+11. Em seguida, mostramos outro resultado para a mesma conclusão, mas, desta vez, supomos que Mantenha curvatura escalar limitada por baixo e que N(Mn) esteja contida em uma certa região de Sn+11 determinada por algum vetor a do espaço de Lorentz-Minkowski Ln+2. Por m, no caso p > 1, estabelecemos condições suficientes para garantir que uma subvariedade completa Mn, com vetor curvatura média paralelo, seja pseudo-umbílica. Em particular, concluímos que, diante de tais condições, Mn é uma subvariedade mínima de uma pequena hiperesfera de Hn+p. / In this work we study the geometry of a submanifold Mn , n ≥ 2, isometrically immersed in the hyperbolic space, Hn+p , p ≥ 1, with some prescribed conditions on the behavior of its Gauss application. In the case p = 1, initially our goal is to show that a complete hypersurface Mn with constant mean curvature is totally umbilical, provided that N(Mn ) lies in a totally umbilical spacelike hypersurface of the de Sitter space S n+1 1 . Next, we show another result for the same conclusion but this time we assume that Mn has scalar curvature bounded from below and that N(Mn ) is contained in a certain region of S n+1 1 determined by some vector a of the Lorentz-Minkowski space L n+2. Finally, in the case p > 1 we establish su cient conditions to guarantee a complete submanifolds Mn with parallel nonzero mean curvature vector must be pseudo-umbilical. In particular, we conclude that Mn is a minimal submanifold of a small hypersphere of Hn+p .

Neste trabalho apresentamos uma classificação das hipersuperfícies regradas e de Weingarten no espaço hiperbólico. / In this work we provide a classification for ruled and Weingarten hypersurfaces in hyperbolic space.

We prove a couple of conjectures raised by J. J. Seidel in On the volume of a hyperbolic simplex, Stud. Sci. Math. Hung. (21, 243249, 1986). These conjectures concern the volume of ideal hyperbolic tetrahedra in hyperbolic 3-space and are related to the following general framework. Since explicit formulae for geometric quantities in hyperbolic space (distance, area, volume, etc.) typically involve sophisticated transcendental functions, it is desirable (and quite useful in practice) to expresses these geometric quantities as monotonic functions of algebraic maps. Seidels Speculation 1 says that the volume of an ideal tetrahedron in hyperbolic 3-space depends only on the determinant and permanent of the doubly stochastic Gram matrix of its vertices; Speculation 4 claims that the mentioned volume is monotone in both the determinant and permanent. We are able to give affirmative answers to Speculations 1 and 4 by parameterizing the classifying space of (labelled) ideal tetrahedra in a suitable way. / Provamos duas conjecturas apresentadas por J. J. Seidel em On the volume of a hyperbolic simplex, Stud. Sci. Math. Hung. (21, 243249, 1986). Estas conjecturas referem ao volume de tetraedros ideais no 3-espaço hiperbólico e estão relacionadas com o seguinte quadro geral. Como fórmulas explícitas para grandezas geométricas no espaço hiperbólico (distancia, área, volume, etc.) tipicamente envolvem funções transcendentais sofisticadas, é desejável (e, na prática, bastante útil) expressar tais grandezas geométricas como aplicações monótonas de mapas algébricos. A Especulação 1 de Seidel diz que o volume de um tetraedro ideal no 3-espaço hiperbólico depende apenas do determinante e do permanente da matriz de Gram duplamente estocástica G de seus vértices; a Especulação 4 afirma que o referido volume é monótono tanto no determinante quanto no permanente de G. Damos respostas afirmativas ás Especulações 1 e 4 ao parametrizar o espaço classificador de tetraedros ideais (marcados) de maneira adequada.

We prove a couple of conjectures raised by J. J. Seidel in On the volume of a hyperbolic simplex, Stud. Sci. Math. Hung. (21, 243249, 1986). These conjectures concern the volume of ideal hyperbolic tetrahedra in hyperbolic 3-space and are related to the following general framework. Since explicit formulae for geometric quantities in hyperbolic space (distance, area, volume, etc.) typically involve sophisticated transcendental functions, it is desirable (and quite useful in practice) to expresses these geometric quantities as monotonic functions of algebraic maps. Seidels Speculation 1 says that the volume of an ideal tetrahedron in hyperbolic 3-space depends only on the determinant and permanent of the doubly stochastic Gram matrix of its vertices; Speculation 4 claims that the mentioned volume is monotone in both the determinant and permanent. We are able to give affirmative answers to Speculations 1 and 4 by parameterizing the classifying space of (labelled) ideal tetrahedra in a suitable way. / Provamos duas conjecturas apresentadas por J. J. Seidel em On the volume of a hyperbolic simplex, Stud. Sci. Math. Hung. (21, 243249, 1986). Estas conjecturas referem ao volume de tetraedros ideais no 3-espaço hiperbólico e estão relacionadas com o seguinte quadro geral. Como fórmulas explícitas para grandezas geométricas no espaço hiperbólico (distancia, área, volume, etc.) tipicamente envolvem funções transcendentais sofisticadas, é desejável (e, na prática, bastante útil) expressar tais grandezas geométricas como aplicações monótonas de mapas algébricos. A Especulação 1 de Seidel diz que o volume de um tetraedro ideal no 3-espaço hiperbólico depende apenas do determinante e do permanente da matriz de Gram duplamente estocástica G de seus vértices; a Especulação 4 afirma que o referido volume é monótono tanto no determinante quanto no permanente de G. Damos respostas afirmativas ás Especulações 1 e 4 ao parametrizar o espaço classificador de tetraedros ideais (marcados) de maneira adequada.

In this work the crucial point is to obtain a holomorphic representation for mean curvature one surfaces in hyperbolic space. This representation has a great resemblance to the Weierstrass representation for minimal surfaces in R3: From this, we obtain a range of results about the theory of mean curvature one surfaces complete and finite total curvature in H3. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / O ponto crucial do trabalho é a obtenção de uma representação holomorfa para superfícies de curvatura média um no espaço hiperbólico. Esta representação possui uma grande semelhança com a representação de Weierstrass para superfícies mínimas em R3: A partir disso, obteremos uma gama de resultados acerca da teoria de superfícies de curvatura média um, completas e de curvatura total finita em H3.

Propriedades do primeiro autovalor e da primeira autofunção do operador laplaciano em variedades riemannianas são estudadas. Para variedades em que se pode estimar o laplaciano de funções distância, estimativas explícitas para o primeiro autovalor do laplaciano em domínios duplamente conexos são obtidas. Então observamos que hipóteses sobre as curvaturas da variedade e do bordo do domínio permitem estimar o laplaciano da distância. Além disso, autofunções em domínios não compactos do espaço hiperbólico EI" são estudadas. Mostramos que donn'nios contidos em horobolas não admitem autofunções limitadas associadas ao autovalor A(HIn), mas se o fecho assintótico do domínio contém um aberto de (9ooIHIn, então ele admite uma autofunção positiva que se anula em dfí U dooQ. A existência e o perfil de autofunções de autovalor A(IHI") em EI", em IHIn\Sr(o), em horobolas, em hiperbolas e no complementar de horobolas são analisados. Para alguns desses domínios apresentamos uma expressão explícita para a autofunção que depende apenas da distância à fronteira. Finalmente, técnicas de simetrização de Schwarz são adaptadas para variedades permitindo-nos obter estimativas para normas de autofunções. Primeiro um argumento de comparação demonstra que variedades mais simétricas maximizam certas normas. Obtenios também uma estimativa diretamente da função isoperimétrica da variedade. / Some properties of the first eigenvalue A and the first eigenfunction of the Laplace operator in a Riemannian manifold are studied. Assuming a bound for the Laplacian of the distance function, exphcit estimates for the first eigenvalue of a doubly counected domain are presented. Then some assumptions on the curvatures of the manifold and its boundary are made in order to have an estimate for the Laplacian of the distance function. Furthermore eigenfunctions of non compact domains in the hyperbohc space EIn are studied. We prove that a domain contained in a horoball does not admit a bounded eigenfunction of eigenvalue A(lHIn), but if the closure of the domain contains an open set of then it admits a positive eigenfunction that vanishes on dQ U daoíl. The existence and the profile of eigenfunctions of eigenvalue A(E[n ) in H71, in H [ r i \ 5 r ( o ) , in horoballs, hiperballs and in the complement of a horoball are analysed. For some of these domains we present an explicit expression for the eigenfunction that depends only on the distance to the boundary. Finally Schwarz symmetrization techniques are adapted for manifolds implying in estimates for the norm of the eigenfunctions. First a comparison argument proves that highly symmetric manifolds maximize some norm and then an estimated obtained directly from the isoperimetric function of the manifold is presented.

Propriedades do primeiro autovalor e da primeira autofunção do operador laplaciano em variedades riemannianas são estudadas. Para variedades em que se pode estimar o laplaciano de funções distância, estimativas explícitas para o primeiro autovalor do laplaciano em domínios duplamente conexos são obtidas. Então observamos que hipóteses sobre as curvaturas da variedade e do bordo do domínio permitem estimar o laplaciano da distância. Além disso, autofunções em domínios não compactos do espaço hiperbólico EI" são estudadas. Mostramos que donn'nios contidos em horobolas não admitem autofunções limitadas associadas ao autovalor A(HIn), mas se o fecho assintótico do domínio contém um aberto de (9ooIHIn, então ele admite uma autofunção positiva que se anula em dfí U dooQ. A existência e o perfil de autofunções de autovalor A(IHI") em EI", em IHIn\Sr(o), em horobolas, em hiperbolas e no complementar de horobolas são analisados. Para alguns desses domínios apresentamos uma expressão explícita para a autofunção que depende apenas da distância à fronteira. Finalmente, técnicas de simetrização de Schwarz são adaptadas para variedades permitindo-nos obter estimativas para normas de autofunções. Primeiro um argumento de comparação demonstra que variedades mais simétricas maximizam certas normas. Obtenios também uma estimativa diretamente da função isoperimétrica da variedade. / Some properties of the first eigenvalue A and the first eigenfunction of the Laplace operator in a Riemannian manifold are studied. Assuming a bound for the Laplacian of the distance function, exphcit estimates for the first eigenvalue of a doubly counected domain are presented. Then some assumptions on the curvatures of the manifold and its boundary are made in order to have an estimate for the Laplacian of the distance function. Furthermore eigenfunctions of non compact domains in the hyperbohc space EIn are studied. We prove that a domain contained in a horoball does not admit a bounded eigenfunction of eigenvalue A(lHIn), but if the closure of the domain contains an open set of then it admits a positive eigenfunction that vanishes on dQ U daoíl. The existence and the profile of eigenfunctions of eigenvalue A(E[n ) in H71, in H [ r i \ 5 r ( o ) , in horoballs, hiperballs and in the complement of a horoball are analysed. For some of these domains we present an explicit expression for the eigenfunction that depends only on the distance to the boundary. Finally Schwarz symmetrization techniques are adapted for manifolds implying in estimates for the norm of the eigenfunctions. First a comparison argument proves that highly symmetric manifolds maximize some norm and then an estimated obtained directly from the isoperimetric function of the manifold is presented.

Propriedades do primeiro autovalor e da primeira autofunção do operador laplaciano em variedades riemannianas são estudadas. Para variedades em que se pode estimar o laplaciano de funções distância, estimativas explícitas para o primeiro autovalor do laplaciano em domínios duplamente conexos são obtidas. Então observamos que hipóteses sobre as curvaturas da variedade e do bordo do domínio permitem estimar o laplaciano da distância. Além disso, autofunções em domínios não compactos do espaço hiperbólico EI" são estudadas. Mostramos que donn'nios contidos em horobolas não admitem autofunções limitadas associadas ao autovalor A(HIn), mas se o fecho assintótico do domínio contém um aberto de (9ooIHIn, então ele admite uma autofunção positiva que se anula em dfí U dooQ. A existência e o perfil de autofunções de autovalor A(IHI") em EI", em IHIn\Sr(o), em horobolas, em hiperbolas e no complementar de horobolas são analisados. Para alguns desses domínios apresentamos uma expressão explícita para a autofunção que depende apenas da distância à fronteira. Finalmente, técnicas de simetrização de Schwarz são adaptadas para variedades permitindo-nos obter estimativas para normas de autofunções. Primeiro um argumento de comparação demonstra que variedades mais simétricas maximizam certas normas. Obtenios também uma estimativa diretamente da função isoperimétrica da variedade. / Some properties of the first eigenvalue A and the first eigenfunction of the Laplace operator in a Riemannian manifold are studied. Assuming a bound for the Laplacian of the distance function, exphcit estimates for the first eigenvalue of a doubly counected domain are presented. Then some assumptions on the curvatures of the manifold and its boundary are made in order to have an estimate for the Laplacian of the distance function. Furthermore eigenfunctions of non compact domains in the hyperbohc space EIn are studied. We prove that a domain contained in a horoball does not admit a bounded eigenfunction of eigenvalue A(lHIn), but if the closure of the domain contains an open set of then it admits a positive eigenfunction that vanishes on dQ U daoíl. The existence and the profile of eigenfunctions of eigenvalue A(E[n ) in H71, in H [ r i \ 5 r ( o ) , in horoballs, hiperballs and in the complement of a horoball are analysed. For some of these domains we present an explicit expression for the eigenfunction that depends only on the distance to the boundary. Finally Schwarz symmetrization techniques are adapted for manifolds implying in estimates for the norm of the eigenfunctions. First a comparison argument proves that highly symmetric manifolds maximize some norm and then an estimated obtained directly from the isoperimetric function of the manifold is presented.

Neste trabalho apresentamos uma classificação das hipersuperfícies regradas e de Weingarten no espaço hiperbólico. / In this work we provide a classification for ruled and Weingarten hypersurfaces in hyperbolic space.