Neste trabalho apresentamos uma classificação das hipersuperfícies regradas e de Weingarten no espaço hiperbólico. / In this work we provide a classification for ruled and Weingarten hypersurfaces in hyperbolic space.

Neste trabalho estudamos a topologia local, trivialidade topolóogica e as singularidades de superfícies regradas em \'R POT.3\'. O objetivo do trabalho é comparar as singularidades que ocorrem no conjunto das superfícies regradas com as singularidades de germes de aplicações de \'R POT.2\' em \'R POT.3\', fazer a classificação topológica local e estudar a trivialidade topológica de famílias de superfícies regradas. Finalmente, discutimos possíveis generalizações de superfícies regradas para altas dimensões / We study the local topology, topological triviality and singularities of ruled surfaces in \'R POT.3\'. In this work we compare the singularities of germs from \'R POT.2\' to \'R POT.3\' with the singularities appearing in the set of ruled surfaces, doing a local topology classification of the ruled surface and study the topological triviality of families of ruled surfaces. Finally we will try to give possible generalizations of ruled surfaces for higher dimensions.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work is designed to study helices and Bertrand curves. A circular helix is characterized by having constant curvature k 6= 0 and constant torsion t . If the ratio t k is constant, the curve is called generalized helix. A curve g : I −→R3 is called a Bertrand curve if there is another curve g : I −→R3 such that the normal lines of g and g at s ∈ I are equal. Generalized helices and Bertrand curves can be viewed as generalizations of the circular helix. In this work, we obtain important characterizations of these curves. Besides, we also study these curves from the view point of the theory of curves on ruled surfaces. / O presente trabalho destina-se a um estudo sobre hélices e curvas de Bertrand. Uma hélice circular é caracterizada por ter curvatura k 6= 0 e torção t constantes. Se a razão t k for constante, a curva é chamada hélice generalizada. Uma curva g : I −→ R3 é chamada curva de Bertrand se existe uma outra curva g : I −→ R3 tal que as retas normais de g e g em s ∈ I são iguais. Tanto a hélice generalizada como a curva de Bertrand podem ser vistas como generalizações da hélice circular. Neste trabalho, além de obtermos importantes caracterizações destas curvas, realizamos também um estudo destas do ponto de vista da teoria de curvas em superfícies regradas.

Neste trabalho estudamos a topologia local, trivialidade topolóogica e as singularidades de superfícies regradas em \'R POT.3\'. O objetivo do trabalho é comparar as singularidades que ocorrem no conjunto das superfícies regradas com as singularidades de germes de aplicações de \'R POT.2\' em \'R POT.3\', fazer a classificação topológica local e estudar a trivialidade topológica de famílias de superfícies regradas. Finalmente, discutimos possíveis generalizações de superfícies regradas para altas dimensões / We study the local topology, topological triviality and singularities of ruled surfaces in \'R POT.3\'. In this work we compare the singularities of germs from \'R POT.2\' to \'R POT.3\' with the singularities appearing in the set of ruled surfaces, doing a local topology classification of the ruled surface and study the topological triviality of families of ruled surfaces. Finally we will try to give possible generalizations of ruled surfaces for higher dimensions.

Neste trabalho apresentamos uma classificação das hipersuperfícies regradas e de Weingarten no espaço hiperbólico. / In this work we provide a classification for ruled and Weingarten hypersurfaces in hyperbolic space.

Estudaremos as singularidades genéricas de superfécies regradas em R3. O objetivo do trabalho é mostrar que as singularidades genéricas que ocorrem no conjunto das superfícies regradas são as mesmas que ocorrem no conjunto das aplicações diferenciáveis de R2 em R3, enquanto que as singularidades genéricas das superfícies desenvolvíveis, que formam um subconjunto das superfícies regradas, são mais degeneradas. / We study generic singularities of ruled surfaces in R3. In this work we show that generic singularities appearing in the set of ruled surfaces are the same that occur in the set of map germs from R2 to R3, while the generic singularities of developable surfaces are more degenerate.

Estudaremos as singularidades genéricas de superfécies regradas em R3. O objetivo do trabalho é mostrar que as singularidades genéricas que ocorrem no conjunto das superfícies regradas são as mesmas que ocorrem no conjunto das aplicações diferenciáveis de R2 em R3, enquanto que as singularidades genéricas das superfícies desenvolvíveis, que formam um subconjunto das superfícies regradas, são mais degeneradas. / We study generic singularities of ruled surfaces in R3. In this work we show that generic singularities appearing in the set of ruled surfaces are the same that occur in the set of map germs from R2 to R3, while the generic singularities of developable surfaces are more degenerate.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao elaine.pdf: 373939 bytes, checksum: b28fbe329bf631f44f6ca1941e9060b5 (MD5) Previous issue date: 2011-03-31 / In this work we show that a Surface is a Bonnet Surface if, and only if A-net, presenting in Soyuçok s work [6]. Using this result we study the Bonnet Ruled Surfaces, based in Kanbay s work [1]. / Neste trabalho, mostraremos que uma superfície é de Bonnet se, e somente se for uma Anet, apresentado no trabalho Soyuçok [6]. Usando este resultado estudamos as Superfícies Regradas de Bonnet, baseado no trabalho de Kanbay [1].

[pt] A Geometria Diferencial Discreta tem por objetivo desenvolver uma teoria discreta que respeite os aspectos fundamentais da teoria suave. Com isto em mente, são apresentados incialmente resultados da teoria suave da Geometria Afim que terão suas versões discretas tratadas a posteriori. O primeiro objetivo deste trabalho é construir uma estrutura afim discreta para as redes assintóticas definidas no espaço tridimensional, com métrica de Blaschke indefinida e parâmetros assintóticos. Com este intuito, são definidos um campo conormal, que satisfaz as equações de Lelieuvre e está associado a um parâmetro real, e um normal afim que define a forma cúbica da rede e torna a estrutura bem definida. Esta estrutura permite, por exemplo, o estudo das superfícies regradas, com ênfase nas esferas afins impróprias. Além disso, propõe-se uma definição para as singularidades no caso das esferas afins impróprias discretas a partir da construção centrocorda. Outro objetivo deste trabalho é propor uma definição para as superfícies afins discretas com curvatura afim média constante (CAMC), de forma que englobe as superfícies afins mínimas e as esferas afins. As superfícies afins mínimas discretas recebem uma caracterização geométrica bastante interessane e ligada diretamente às quádricas de Lie discretas. O trabalho se completa com o principal resultado, referente à versão discreta das superfícies de Cayley, esferas afins impróprias regradas caracterizadas a partir da conexão afim induzida: uma rede assintótica com CAMC é congruente equiafim à uma superfície de Cayley se, e somente se, a forma cúbica é não nula e a conexão afim induzida é paralela. / [en] Discrete Differential Geometry aims to develop a discrete theory which respects fundamental aspects of smooth theory. With this in mind, some results of smooth theory of Affine Geometry are firstly introduced since their discrete counterparts shall be treated a posteriori. The first goal of this work is construct a discrete affine structure for nets in a three-dimensional space with indefinite Blaschke metric and asymptotic parameters. For this purpose, one defines a conormal vector field, which satisfies Lelieuvre s equations and it is associated to a real parameter; and an affine normal vector field, which defines the cubic form of the net and makes the structure well defined. This structure allows to study, e.g., ruled surfaces with emphasis on improper affine spheres. Moreover, a definition for singularities is proposed in the case of discrete improper affine spheres from the center-chord construction. Another goal here is to propose a definition for an asymptotic net with constant affine mean curvature (CAMC), in a way that encompasses discrete affine minimal surfaces and discrete affine spheres. Discrete affine minimal surfaces receive a beautiful geometrical characterization directly linked to discrete Lie quadrics. This work is completed with the main result about a discrete version of Cayley surfaces, which are ruled improper affine spheres that can be characterized by the induced connection as: an asymptotic net with CAMC is equiaffinely congruent to a Cayley surface if and only if the cubic form does not vanish and the affine induced connection is parallel.