Préfigurant la prochaine grande étape dans le domaine de la navigation, la géolocalisation intra-muros est un domaine de recherche très actif depuis quelques années. Alors que la géolocalisation est entrée dans le quotidien de nombreux professionnels et particuliers avec, notamment, le guidage routier assisté, les besoins d'étendre les applications à l'intérieur se font de plus en plus pressants. Cependant, les systèmes existants se heurtent à des contraintes techniques bien supérieures à celles rencontrées à l'extérieur, la faute, notamment, à la propagation chaotique des ondes électromagnétiques dans les environnements confinés et inhomogènes. Nous proposons dans ce manuscrit une approche statistique du problème de géolocalisation d'un mobile à l'intérieur d'un bâtiment utilisant les ondes WiFi environnantes. Ce manuscrit s'articule autour de deux questions centrales : celle de la détermination des cartes de propagation des ondes WiFi dans un bâtiment donné et celle de la construction d'estimateurs des positions du mobile à l'aide de ces cartes de propagation. Le cadre statistique utilisé dans cette thèse afin de répondre à ces questions est celui des modèles de Markov cachés. Nous proposons notamment, dans un cadre paramétrique, une méthode d'inférence permettant l'estimation en ligne des cartes de propagation, sur la base des informations relevées par le mobile. Dans un cadre non-paramétrique, nous avons étudié la possibilité d'estimer les cartes de propagation considérées comme simple fonction régulière sur l'environnement à géolocaliser. Nos résultats sur l'estimation non paramétrique dans les modèles de Markov cachés permettent d'exhiber un estimateur des fonctions de propagation dont la consistance est établie dans un cadre général. La dernière partie du manuscrit porte sur l'estimation de l'arbre de contextes dans les modèles de Markov cachés à longueur variable. / Foreshadowing the next big step in the field of navigation, indoor geolocation has been a very active field of research in the last few years. While geolocation entered the life of many individuals and professionals, particularly through assisted navigation systems on roads, needs to extend the applications inside the buildings are more and more present. However, existing systems face many more technical constraints than those encountered outside, including the chaotic propagation of electromagnetic waves in confined and inhomogeneous environments. In this manuscript, we propose a statistical approach to the problem of geolocation of a mobile device inside a building, using the WiFi surrounding waves. This manuscript focuses on two central issues: the determination of WiFi wave propagation maps inside a building and the construction of estimators of the mobile's positions using these propagation maps. The statistical framework used in this thesis to answer these questions is that of hidden Markov models. We propose, in a parametric framework, an inference method for the online estimation of the propagation maps, on the basis of the informations reported by the mobile. In a nonparametric framework, we investigated the possibility of estimating the propagation maps considered as a single regular function on the environment that we wish to geolocate. Our results on the nonparametric estimation in hidden Markov models make it possible to produce estimators of the propagation functions whose consistency is established in a general framework. The last part of the manuscript deals with the estimation of the context tree in variable length hidden Markov models.

L’objectif de cette thèse est de construire des estimateurs non-paramétriques d’une fonction de distribution, d’une densité de probabilité et d’une fonction de régression en utilisant les méthodes d’approximation stochastiques afin de corriger l’effet du bord créé par les estimateurs à noyaux continus classiques. Dans le premier chapitre, on donne quelques propriétés asymptotiques des estimateurs continus à noyaux. Puis, on présente l’algorithme stochastique de Robbins-Monro qui permet d’introduire les estimateurs récursifs. Enfin, on rappelle les méthodes utilisées par Vitale, Leblanc et Kakizawa pour définir des estimateurs d’une fonction de distribution et d’une densité de probabilité en se basant sur les polynômes de Bernstein.Dans le deuxième chapitre, on a introduit un estimateur récursif d’une fonction de distribution en se basant sur l’approche de Vitale. On a étudié les propriétés de cet estimateur : biais, variance, erreur quadratique intégré (MISE) et on a établi sa convergence ponctuelle faible. On a comparé la performance de notre estimateur avec celle de Vitale et on a montré qu’avec le bon choix du pas et de l’ordre qui lui correspond notre estimateur domine en terme de MISE. On a confirmé ces résultatsthéoriques à l’aide des simulations. Pour la recherche pratique de l’ordre optimal, on a utilisé la méthode de validation croisée. Enfin, on a confirmé les meilleures qualités de notre estimateur à l’aide des données réelles. Dans le troisième chapitre, on a estimé une densité de probabilité d’une manière récursive en utilisant toujours les polynômes de Bernstein. On a donné les caractéristiques de cet estimateur et on les a comparées avec celles de l’estimateur de Vitale, de Leblanc et l’estimateur donné par Kakizawa en utilisant la méthode multiplicative de correction du biais. On a appliqué notre estimateur sur des données réelles. Dans le quatrième chapitre, on a introduit un estimateur récursif et non récursif d’une fonction de régression en utilisant les polynômes de Bernstein. On a donné les caractéristiques de cet estimateur et on les a comparées avec celles de l’estimateur à noyau classique. Ensuite, on a utilisé notre estimateur pour interpréter des données réelles. / The aim of this thesis is to construct nonparametric estimators of distribution, density and regression functions using stochastic approximation methods in order to correct the edge effect created by kernels estimators. In the first chapter, we givesome asymptotic properties of kernel estimators. Then, we introduce the Robbins-Monro stochastic algorithm which creates the recursive estimators. Finally, we recall the methods used by Vitale, Leblanc and Kakizawa to define estimators of distribution and density functions based on Bernstein polynomials. In the second chapter, we introduced a recursive estimator of a distribution function based on Vitale’s approach. We studied the properties of this estimator : bias, variance, mean integratedsquared error (MISE) and we established a weak pointwise convergence. We compared the performance of our estimator with that of Vitale and we showed that, with the right choice of the stepsize and its corresponding order, our estimator dominatesin terms of MISE. These theoretical results were confirmed using simulations. We used the cross-validation method to search the optimal order. Finally, we applied our estimator to interpret real dataset. In the third chapter, we introduced a recursive estimator of a density function using Bernstein polynomials. We established the characteristics of this estimator and we compared them with those of the estimators of Vitale, Leblanc and Kakizawa. To highlight our proposed estimator, we used real dataset. In the fourth chapter, we introduced a recursive and non-recursive estimator of a regression function using Bernstein polynomials. We studied the characteristics of this estimator. Then, we compared our proposed estimator with the classical kernel estimator using real dataset.

L'analyse en composantes indépendantes (ACI) est une forme d'analyse multivariée qui a émergée en tant que concept dans les années 1980-90. C'est un type de problème inverse où on observe une variable X dont les composantes sont les mélanges linéaires d'une variable S inobservable. Les composantes de S sont mutuellement indépendantes. La relation entre les deux variables s'exprime par X=AS, où A est une matrice de mixage inconnue .<br /><br />Le problème principal de l'ACI est d'estimer la matrice A, à partir de l'observation d'un échantillon i.i.d. de X, pour atteindre S qui constitue un système explicatif meilleur que X dans l'étude d'un phénomène particulier. Le problème se résout généralement par la minimisation d'un certain critère, issu d'une mesure de dépendance.<br /><br />L'ACI ressemble à l'analyse en composantes principales (ACP) dans la formulation du problème. Dans le cas de l'ACP on cherche des composantes non corrélées, c'est-à-dire indépendantes par paire à l'ordre 2 ; dans le cas de l'ACI on cherche des composantes mutuellement indépendantes, ce qui est beaucoup plus contraignant; dans le cas général, il n'existe plus de solution algébrique simple. Les principaux problèmes d'identification de A sont évités par un certain nombre de conventions adoptées dans le modèle ACI classique.<br /><br />L'approche qui est proposée dans cette thèse est du type non paramétrique. Sous des hypothèses de type Besov, on étudie plusieurs estimateurs d'un critère de dépendance exact donné par la norme L2 de la différence entre une densité et le produit de ses marges. Ce critère constitue une alternative à l'information mutuelle qui représentait jusqu'ici le critère exact de référence de la plupart des méthodes ACI.<br /><br />On donne une majoration de l'erreur en moyenne quadratique de différents estimateurs du contraste L2. Cette majoration prend en compte le biais d'approximation entre le Besov et l'espace de projection qui, ici, est issu d'une analyse multirésolution (AMR) générée par le produit tensoriel d'ondelettes de Daubechies. Ce type de majoration avec prise en compte du biais d'approximation est en général absent des méthodes non paramétriques récentes en ACI (méthodes kernel, information mutuelle).<br /><br />Le critère en norme L2 permet de se rapprocher de problèmes déjà connus dans la littérature statistique, estimation de l'intégrale de f au carré, tests d'homogénéité en norme L2, résultats de convergence d'estimateurs adoptant un seuillage par bloc. <br /><br />On propose des estimateurs du contraste L2 qui atteignent la vitesse minimax optimale du problème de intégrale de f au carré. Ces estimateurs de type U-statistique ont des complexités numériques quadratique en n, ce qui peut poser un problème pour la minimisation du contraste à suivre, en vue d'obtenir l'estimation concrète de la matrice A. En revanche, ces estimateurs admettent une forme de seuillage par bloc où la connaissance de la régularité s de la densité multivariée sous-jacente est inutile pour obtenir une vitesse optimale.<br /><br />On propose un estimateur de type plug-in dont la vitesse de convergence est sous-optimale mais qui est de complexité numérique linéaire en n. L'estimateur plug-in admet aussi une forme seuillée terme à terme, qui dégrade la vitesse de convergence mais permet d'obtenir un critère auto-adaptatif. Dans sa version linéaire, l'estimateur plug-in semble déjà quasiment auto-adaptatif dans les faits, c'est-à-dire que sous la contrainte 2^{jd} < n, où d est la dimension du problème et n le nombre d'observations, la majorité des résolutions j permettent d'estimer A après minimisation.<br /><br />Pour obtenir ces résultats on a été amené à développer une technique combinatoire spécifique permettant de majorer le moment d'ordre r d'une U-statistique ou d'une V-statistique. Les résultats classiques sur les U-statistiques ne sont en effet pas directement utilisables et pas facilement adaptables dans le contexte d'étude de la thèse. La méthode développée est utilisable dans d'autres contextes.<br /><br />La méthode par ondelettes s'appuie sur le paradigme usuel estimation d'un critère de dépendance, puis minimisation. On étudie donc dans la thèse les éléments permettant de faciliter la minimisation. On donne notamment des formulations du gradient et du hessien de l'estimateur du contraste qui se prêtent à un changement de résolution par simple filtrage et qui se calculent selon une complexité équivalente à celle de l'évaluation de l'estimateur lui même. <br /><br />Des simulations proposées dans la thèse confirment l'applicabilité de la méthode et donnent des résultats excellents. Tous les éléments nécessaires à l'implémentation de la méthode, et le code commenté des parties clefs de la programmation (notamment des algorithmes d-dimensionnels) figurent également dans le document.

Les signaux sujets à des contraintes non linéaires apparaissent dans un grand nombre d'applications physiques et techniques. Les travaux récents expriment une conscience croissante de l'importance des méthodes géométriques intrinsèques pour le traitement de tels signaux. La présente thèse s'inscrit dans cette orientation. Nous avons envisagé et résolu un certain nombre de problèmes en physique des ondes et en capture de mouvement. Les signaux sujets à des contraintes nonlinéaires sont modélisés comme des processus à valeurs dans les groupes de Lie matriciels. Nos problèmes correspondent alors à des problèmes d'estimation nonparamétrique et de filtrage. Afin de les résoudre nous avons mis en place des méthodes probabilistes et dynamiques, en particulier basées sur la notion de stabilité.

Nous introduisons une nouvelle approche non-paramétrique, par noyaux associés discrets, pour les données de dénombrement. Pour cela, nous définissons la notion de noyaux associés discrets à partir d'une loi de probabilité discrète donnée et nous étudions leurs propriétés. De là, nous construisons l'estimateur à noyau discret lequel est l'analogue de certains estimateurs à noyau continu de cette dernière décennie. Nous examinons ses propriétés fondamentales ; en particulier, nous montrons la convergence ponctuelle en moyenne quadratique de l'estimateur. Le choix de fenêtre du lissage discret s'effectue essentiellement par validation croisée et excès de zéros. Nous étudions également le comportement des lois classiques de dénombrement comme noyau associé, par exemple, Poisson, binomiale et binomiale négative. Ainsi, il s'est révélé nécessaire de construire une nouvelle famille de lois discrètes dites triangulaires pour servir de noyaux associés symétriques. Cette méthode des noyaux associés discrets est utilisée dans l'estimation semi-paramétrique des distributions de données de dénombrement, ainsi que pour la régression non-paramétrique sur une variable explicative de dénombrement. Tout au long de ce travail, nous illustrons les résultats à travers des simulations et des jeux de données réelles. Dans le cas d'échantillons de tailles petites et modérées, l'importance et les très bonnes performances des noyaux associés discrets sont mises en évidence, en comparaison avec le noyau du type Dirac et parfois les noyaux continus.

Dans une première partie, on s'intéresse à la prévision d'une valeur future, non observée, d'un processus stochastique dont la loi est indexée par un paramètre inconnu, à partir des données passées de sa trajectoire. Plus précisément, on montre sur un modèle additif de régression comment on peut découpler, par un dispositif de séparation temporelle, le problème d'estimation du paramètre inconnu de celui du calcul du prédicteur probabiliste, pour obtenir un prédicteur statistique dont on étudie les propriétés de convergence asymptotiques.<br>Dans une seconde partie, on cherche à prédire, au sens d'expliquer, une variable Y par une variable X. Pour cela, on s'intéresse à l'estimation de la densité conditionnelle de Y sachant X = x, à partir d'un n-échantillon de couples de variables (X_i; Y_i). On propose un nouvel estimateur de forme produit, basé sur la transformation de quantile et la fonction de copule, dont on étudie les propriétés de convergence et de normalité asymptotiques. On compare l'estimateur proposé aux estimateurs concurrents de forme quotient et on en propose des modifications et des extensions. Enfin, on étudie les propriétés des prédicteurs associés à cet estimateur, à savoir le mode, la moyenne et les ensembles de niveau conditionnels. Des applications, liens et perspectives sont aussi esquissées.

Dans le cadre de la spectrométrie Gamma, on s'intéresse à la caractérisation des éléments radioactifs d'une source à partir des photons gamma émis par cette dernière. A des taux de comptage élevés, des perturbations liées à l'aspect stochastique du signal étudié sont susceptibles de gêner l'identification des éléments radioactifs. En particulier, les arrivées aléatoires des photons sont susceptibles de produire des empilements. Ce phénomène introduit une distortion du spectre en énergie, notamment l'apparition de faux pics multiples et une distortion du continuum Compton qui peut masquer des pics de faible intensité.<br /><br />L'objectif de cette étude est de corriger les distortions des spectres en énergie causées par les empilements d'impulsions photoniques. Nous nous plaçons pour cela dans un cadre non-paramétrique ; nous établissons une relation non-linéaire entre la loi des observations et la densité de probabilité que l'on cherche à estimer. Elle permet de considérer ce problème dans le cadre de la déconvolution non-linéaire de densités et de l'estimation non-paramétrique à partir de mesures indirectes.<br /><br />A partir de cette relation, nous proposons un estimateur obtenu par inversion directe. Nous montrons que cet estimateur est consistant et que sa vitesse de convergence au sens de la norme L2 est proche des vitesses non-paramétriques usuelles.<br /><br />Nous illustrons ces aspects par des résultats numériques obtenus sur des simulations et des spectres en énergie obtenus à partir du système ADONIS développé par le CEA Saclay. Nous montrons que les distortions dues aux empilements d'impulsions photoniques sont bien corrigées par les algorithmes dérivant de nos estimateurs.

Soient X et Y , deux variables aléatoires. De nombreuses procédures statistiques permettent d'ajuster un modèle à ces données dans le but d'expliquer Y à partir de X. La mise en place d'un tel modèle fait généralement appel à diverses hypothèses que <br />l'on doit valider pour justifier son utilisation. Dans ce travail, on propose une approche globale où toutes les hypothèses faites pour asseoir ce modèle sont testées simultanément. <br />Plus précisément, on construit un test basé sur une quantité qui permet de canaliser toute l'information liant X à Y : la fonction de répartition conditionnelle de Y sachant (X = x) définie par F(y|x)=P(Y<=y|X=x). Notre test compare la valeur prise par l'estimateur polynômial local de F(y|x) à une estimation paramétrique du modèle supposé et rejette sa <br />validité si la distance entre ces deux quantités est trop grande. Dans un premier temps, on considère le cas où la fonction de répartition supposée est entièrement spécifiée et, dans <br />ce contexte, on établit le comportement asymptotique du test. Dans la deuxième partie du travail, on généralise ce résultat au cas plus courant en pratique où le modèle supposé contient un certain nombre de paramètres inconnus. On étudie ensuite la puissance locale du test en déterminant son comportement asymptotique local sous des suites d'hypothèses contigües. Enfin, on propose un critère de choix de la fenêtre d'ajustement qui intervient lors de l'étape d'estimation polynômiale locale de la fonction de répartition conditionnelle.

Cette thèse est consacrée à l'estimation par maximum de vraisemblance dans des problèmes inverses. Nous considérons des modèles statistiques à données manquantes, dans un cadre paramétrique au cours des trois premiers chapitres. Le Chapitre 1 présente une variante de l'algorithme EM (Expectation Maximization) qui combine une approximation stochastique à une méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov : les données manquantes sont simulées selon une probabilité de transition bien choisie. Nous prouvons la convergence presque sûre de la suite générée par l'algorithme vers un maximum local de la vraisemblance des observations. Nous présentons des applications en déconvolution et en détection de ruptures. Dans le Chapitre 2, nous appliquons cet algorithme aux modèles non linéaires à effets mixtes et effectuons outre l'estimation des paramètres du modèle, des estimations de la vraisemblance du modèle et de l'information de Fisher. Les performances de l'algorithme sont illustrées via des comparaisons avec d'autres méthodes sur des exemples de pharmacocinétique et de pharmacodynamique. Le Chapitre 3 présente une application de l'algorithme en géophysique. Nous effectuons une inversion jointe, entre les temps de parcours des ondes sismiques et leurs vitesses et entre des mesures gravimétriques de surface et les densités du sous-sol, en estimant les paramètres du modèle, qui étaient en général fixés arbitrairement. De plus, nous prenons en compte une relation linéaire entre les densités et les vitesses des ondes. Le Chapitre 4 est consacré à l'estimation non paramétrique de la densité des données manquantes. Nous exhibons un estimateur logspline de cette densité qui maximise la vraisemblance des observations dans un modèle logspline et appliquons notre algorithme à ce modèle paramétrique. Nous étudions la convergence de cet estimateur vers la vraie densité lorsque la dimension du modèle logspline et le nombre d'observations tendent vers l'infini. Nous présentons quelques applications.

Dans ce travail je présente une étude unifiée basée sur l'estimation du maximum de vraisemblance pour des modèles markoviens, semi-markoviens et semi-markoviens cachés. Il s'agit d'une étude théorique des propriétés asymptotiques de l'EMV des modèles mentionnés ainsi que une étude algorithmique. D'abord, nous construisons l'estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) de la loi stationnaire et de la variance asymptotique du théorème de la limite centrale (TLC) pour des fonctionnelles additives des chaînes de Markov ergodiques et nous démontrons sa convergence forte et sa normalité asymptotique. Ensuite, nous considérons un modèle semi-markovien non paramétrique. Nous présentons l'EMV exact du noyau semi-markovien qui gouverne l'évolution de la chaîne semi-markovienne (CSM) et démontrons la convergence forte, ainsi que la normalité asymptotique de chaque sous-vecteur fini de cet estimateur en obtenant des formes explicites pour les matrices de covariance asymptotiques. Ceci a été appliqué pour une observation de longue durée d'une seule trajectoire d'une CSM, ainsi que pour une suite des trajectoires i.i.d. d'une CSM censurée à un instant fixe. Nous introduisons un modèle semi-markovien caché (MSMC) général avec dépendance des temps de récurrence en arrière. Nous donnons des propriétés asymptotiques de l'EMV qui correspond à ce modèle. Nous déduisons également des expressions explicites pour les matrices de covariance asymptotiques qui apparaissent dans le TLC pour l'EMV des principales caractéristiques des CSM. Enfin, nous proposons une version améliorée de l'algorithme EM (Estimation-Maximisation) et une version stochastique de cet algorithme (SAEM) afin de trouver l'EMV pour les MSMC non paramétriques. Des exemples numériques sont présentés pour ces deux algorithmes.