Dans cette thèse, on étudie la stabilité orbitale d’états stationnaires de modèles mathématiques de type "Hamiltonian mean-field", dits modèles HMF. Cette étude est d’abord menée d’un point de vue théorique en utilisant des méthodes variationnelles. Puis, elle est menée d’un point de vue numérique en commençant par l’élaboration de schémas conservant exactement des états stationnaires. Le Chapitre 2 présente une étude théorique de la stabilité orbitale des états stationnaires du modèle HMF Poisson. Plus précisément, on prouve la stabilité orbitale d’une grande classe d’états stationnaires solutions du système HMF avec potentiel de Poisson. Ces états stationnaires sont des minimiseurs d’un problème à une, deux ou une infinité de contraintes d’une certaine fonctionnelle. La preuve s’appuie sur une approche variationnelle. Cependant le caractère borné du domaine empêche l’utilisation des techniques usuelles basées sur des invariances d’échelles. On introduit alors de nouvelles méthodes, spécifiques à ce problème, mais demeurant dans l’esprit des outils de réarrangements introduits pour le système de Vlasov-Poisson. En particulier, ces méthodes permettent de considérer un nombre arbitraire de contraintes et aboutissent à un résultat de stabilité pour une grande classe d’états stationnaires. Dans le Chapitre 3, on construit des schémas numériques conservant exactement des états stationnaires donnés. Ces schémas modélisent mieux la propriété de stabilité orbitale que les schémas classiques. Puis, on propose un schéma plus général en construisant un schéma qui conserve tous les états stationnaires des modèles HMF. Pour finir, à l’aide de ces schémas, est menée une étude numérique de la stabilité des états stationnaires du système de HMF Poisson qui vient compléter l’étude théorique du Chapitre 2. / In this thesis, we study the nonlinear orbital stability of steady states of "Hamiltonian mean-field" models, called HMF models. First, this study is being done theoretically by using variational methods. It is then carried out numerically by building numerical schemes wich exactly preserve steady states. Chapter 2 presents a theoretical study of the orbital stability of steady states which are solutions to the HMF Poisson system. More specifically, the orbital stability of a large class of steady states which are solutions to the HMF system with Poisson potential is proved. These steady states are obtained as minimizers of an energy functional under one, two or infinitely many constraints. The proof relies on a variational approach. However the boundedness of the space domain prevents us from using usal technics based on scale invariance. Therefore, we introduce new methods which, although specific to our context, remain somehow in the same spirit of rearrangements tools introduced for the Vlasov-Poisson system. In particular, these methods allow for the incorporation of an arbitrary number of constraints, and yield a stability result for a large class of steady states. In Chapter 3, numerical schemes exactly preserving given steady states are built. These schemes model the orbital stability property better than the classic ones. Then, a more general scheme is introduced by building a scheme wich preserves all steady states of HMF models. Lastly, by means of these schemes, we conduct a numerical study of stability of steady states solutions to HMF Poisson system. This completes the theoretical study in Chapter 2.

Au cours des vingt dernières années, le formalisme en mécanique statistique permettant de décrire des états loin de l’équilibre s’est beaucoup développé. Cependant, les réalisations expérimentales permettant de tester les résultats, et leur robustesse lorsque le système s’éloigne des hypothèses dans le cadre desquelles ils sont établis, sont peu nombreuses et récentes. Partant de ce constat, nous proposons de considérer des systèmes macroscopiques qui permettent un bon contrôle des paramètres expérimentaux. Nous rapportons principalement l’étude de deux systèmes dissipatifs maintenus dans un état stationnaire.D’une part, nous étudions la dynamique d’une bille seule rebondissant à la verticale d’une surface vibrée. Nous considérons tout particulièrement les propriétés des échanges d’énergie entre la particule (la bille) et le thermostat (la surface vibrée) : propriétés statistiques, écart à la situation d’équilibre, réversibilité. D’autre part, nous considérons les propriétés d’un gaz granulaire maintenu dans un état stationnaire sondées au moyen des fluctuations de la position angulaire d’une pale plongée dans le système. Nous avons vérifions ainsi que certaines prédictions théoriques destinées à la description de systèmes non dissipatifs restent encore valables dans ce système dissipatif : théorème de fluctuations, théorème de fluctuation-dissipation, etc.L’utilisation de deux dispositifs expérimentaux couplés, nous permet, de plus, de discuter des échanges d’énergie entre des systèmes maintenus dans des conditions expérimentales différentes, température ou densité, en particulier dans la limite des gaz très raréfiés. / Over the last two decades, formalism in statistical mechanics describing states far from equilibrium has been significantly developed. However, there are few experimental achievements to test exact results and robustness when the system is far from the assumptions under which they are established. On this basis, we propose to consider macroscopic systems that allow good control of experimental parameters. We report here the study of two dissipative systems maintained in a steady state.On the one hand, we study the dynamics of a single bead bouncing vertically upon avibrated surface. We consider the properties of energy exchanges between the particle (bead) and the thermostat (the vibrated surface) : statistical properties, deviation from equilibrium, reversibility. On the other hand, we consider the properties of a granular gas maintained in a steady state, studying the fluctuations in the angular velocity of a blade immersed in the gas. We test some theoretical expectations for non dissipative systems and show that they are compatible with our measurements : fluctuation theorem, fluctuation-dissipation theorem. Using two coupled experimental devices, we discuss energy exchanges between systems maintained under different states, temperature or density, especially in the limit of very low density gases.

On étudie, dans cette thèse, la diffusion d'ondes dans différents milieux nonlinéaires possédant une bande interdite naturelle. On montre, en particulier, l'existence d'un comportement de bistabilité dans les milieux régis, soit par l'équation de sine-Gordon (chaîne de pendules courte, réseaux de jonctions Josephson, double couches à effet Hall quantique), soit par l'équation de Schrödinger nonlinéaire (milieu Kerr et milieu de Bragg), dans les cas discrets et continus. Ces différents milieux sont soumis à des conditions aux bords périodiques, dont la fréquence est prise dans la bande interdite et avec une amplitude déterminant l'état de stabilité du système. En effet, pour une amplitude suffisante (supratransmission), le milieu n'est plus réfléchissant et absorbe de l'énergie, faisant passer le signal de sortie d'un état d'amplitude évanescente vers un état de très grande amplitude. On donne, par ailleurs, une description analytique complète de la bistabilité qui permet de comprendre les différents états stationnaires observés dans ces milieux et de prédire le passage d'un état à un autre.