A K-teoria algébrica é um ramo da álgebra que associa para cada anel com unidade R, uma sequência de grupos abelianos chamados os n-ésimos K-grupos de R. Em 1970, Daniel Quillen dá uma definição geral dos K-grupos de um anel qualquer R a partir da +-construção do espaço classificante BGL(R). Por outro lado, considerando R um anel comutativo, obtém-se também a definição dos K-grupos de Milnor KMn (R). Usando o produto dos K-grupos de Quillen e Milnor e suas estruturas anti-comutativas, definimos o seguinte homomorfismo tn : KMn (R) &rarr; Kn(R): Mostraremos nesta dissertação que se R é um anel local com ideal maximal m tal que R / m é um corpo infinito, então esse homomorfismo é um isomorfismo para 0 &le; n &le; 2. Em geral tn nem sempre é injetor ou sobrejetor. Por exemplo quando n = 3, sabe-se que t3 não é sobrejetor e definimos a parte indecomponível de K3(R) como sendo o grupo Kind3 (R) := coker (KM3 (R) &rarr; t3 K3(R)). Usando alguns resultados de homologia dos grupos lineares, nesta dissertação mostraremos a existência da sequência exata de Bloch-Wigner para corpos infinitos. Esta sequência dá uma descrição explícita da parte indecomponível do terceiro K-grupo de um corpo infinito. TEOREMA (Sequência exata de Bloch-Wigner). Seja F um corpo infinito e seja p(F) o grupo de pre-Bloch de F, isto é, o grupo quociente do grupo abeliano livre gerado pelos símbolos [a], a &isin; F×, pelo subgrupo gerado por elementos da forma [a] - [b] + [b/a] - [1-a-1 /1-b-1] + [1-a /1-b] com a, b &isin; F× - {1}, a /= b. Então temos a sequência exata TorZ1 (&mu; (F), &mu; (F)) ~ &rarr; Kind3 (F) &rarr; p(F) &rarr; (F× &#8855; ZFx)&sigma; F×)&sigma; &rarr; K2(F) &rarr; 0 onde (F× &#8855; ZF×)&sigma; := (F×; &#8855; ZF×)/<a &#8855; b + b &#8855; a | a, b &isin; F×> e TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) ~ é a única extensão não trivial de Z=2Z por TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) se char(F) &ne; 2 e &mu; 2 &infin; (F) é finito e é TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) caso contrário. O homomorfismo p(F) &rarr; (F× &#8855; ZF×) &sigma; é definido por [a] &rarr; a &#8855; (1-a). O estudo da sequência exata de Bloch-Wigner é justificada pela relação entre o segundo e terceiro K-grupo de um corpo F. / The algebraic K-theory is a branch of algebra that associates to any ring with unit R a sequence of abelian groups called n-th K-groups of R. In 1970, Daniel Quillen gave a general definition of K-groups of any ring R using the +-construction of the classifying space BGL(R). On the other hand, if we consider a commutative ring R, we can define the Milnors K-groups, KMn (R), of R. Using the product of the Quillen and Milnors K-groups and their anti-commutative structure, we define a natural homomorphism tn : KMn (R) &rarr; Kn(R): In this dissertation, we show that if R is a local ring with maximal ideal m such that R=m is infinite, then this map is an isomorphism for 0<= n<= 2. But in general tn is not injective nor is surjective. For example when n = 3, we know that t3 is not surjective and define the indecomposable part of K3(R) as the group Kind3 (R) := coker (KM3 (R) &rarr; t3 K3(R)). Using some results about the homology of linear groups, in this dissertation we will prove the Bloch-Wigner exact sequence over infinite fields. This exact sequence gives us a precise description of the indecomposable part of the third K-group of an infinite field. THEOREM (Bloch-Wigner exact sequence). Let F be an infinite field and let p(F) be the pre-Bloch group of F, that is, the quotient group of the free abelian group generated by symbols [a], a &isin; F× - [1}, by the subgroup generated by the elements of the form [a][b]+ b/a][ 1-a-1/1-b-1]+ [1-a/1-b] with a; b &isin; F×, a =/ b. Then we have the exact sequence TorZ1 (&mu; (F), &mu; (F)) ~ &rarr; Kind3 (F) &rarr; p(F) &rarr; (F× &#8855; ZF×)$sigma; &rarr; K2(F) &rarr; 0 where (F× &#8855; ZF×)&sigma; := (F× &#8855; ZF×) / a &38855; b +b &#8855; a | a; b &isin; F× and TorZ1(&mu;(F);&mu;(F)) is the unique non trivial extension of Z=2Z by TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) if char(F) =/ 2 and &mu;2 &infin; is finite and is TorZ1 (&mu; (F);&mu; (F)) otherwise. The homomorphism p(F) &rarr; (F×ZF×)%sigma; is defined by [a] &rarr; a &#8855; (1-a). As it is shown, the study of the Bloch-Wigner exact sequence is also justified by the relation between the second and third K-group of a field F.

A K-teoria algébrica é um ramo da álgebra que associa para cada anel com unidade R, uma sequência de grupos abelianos chamados os n-ésimos K-grupos de R. Em 1970, Daniel Quillen dá uma definição geral dos K-grupos de um anel qualquer R a partir da +-construção do espaço classificante BGL(R). Por outro lado, considerando R um anel comutativo, obtém-se também a definição dos K-grupos de Milnor KMn (R). Usando o produto dos K-grupos de Quillen e Milnor e suas estruturas anti-comutativas, definimos o seguinte homomorfismo tn : KMn (R) &rarr; Kn(R): Mostraremos nesta dissertação que se R é um anel local com ideal maximal m tal que R / m é um corpo infinito, então esse homomorfismo é um isomorfismo para 0 &le; n &le; 2. Em geral tn nem sempre é injetor ou sobrejetor. Por exemplo quando n = 3, sabe-se que t3 não é sobrejetor e definimos a parte indecomponível de K3(R) como sendo o grupo Kind3 (R) := coker (KM3 (R) &rarr; t3 K3(R)). Usando alguns resultados de homologia dos grupos lineares, nesta dissertação mostraremos a existência da sequência exata de Bloch-Wigner para corpos infinitos. Esta sequência dá uma descrição explícita da parte indecomponível do terceiro K-grupo de um corpo infinito. TEOREMA (Sequência exata de Bloch-Wigner). Seja F um corpo infinito e seja p(F) o grupo de pre-Bloch de F, isto é, o grupo quociente do grupo abeliano livre gerado pelos símbolos [a], a &isin; F×, pelo subgrupo gerado por elementos da forma [a] - [b] + [b/a] - [1-a-1 /1-b-1] + [1-a /1-b] com a, b &isin; F× - {1}, a /= b. Então temos a sequência exata TorZ1 (&mu; (F), &mu; (F)) ~ &rarr; Kind3 (F) &rarr; p(F) &rarr; (F× &#8855; ZFx)&sigma; F×)&sigma; &rarr; K2(F) &rarr; 0 onde (F× &#8855; ZF×)&sigma; := (F×; &#8855; ZF×)/<a &#8855; b + b &#8855; a | a, b &isin; F×> e TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) ~ é a única extensão não trivial de Z=2Z por TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) se char(F) &ne; 2 e &mu; 2 &infin; (F) é finito e é TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) caso contrário. O homomorfismo p(F) &rarr; (F× &#8855; ZF×) &sigma; é definido por [a] &rarr; a &#8855; (1-a). O estudo da sequência exata de Bloch-Wigner é justificada pela relação entre o segundo e terceiro K-grupo de um corpo F. / The algebraic K-theory is a branch of algebra that associates to any ring with unit R a sequence of abelian groups called n-th K-groups of R. In 1970, Daniel Quillen gave a general definition of K-groups of any ring R using the +-construction of the classifying space BGL(R). On the other hand, if we consider a commutative ring R, we can define the Milnors K-groups, KMn (R), of R. Using the product of the Quillen and Milnors K-groups and their anti-commutative structure, we define a natural homomorphism tn : KMn (R) &rarr; Kn(R): In this dissertation, we show that if R is a local ring with maximal ideal m such that R=m is infinite, then this map is an isomorphism for 0<= n<= 2. But in general tn is not injective nor is surjective. For example when n = 3, we know that t3 is not surjective and define the indecomposable part of K3(R) as the group Kind3 (R) := coker (KM3 (R) &rarr; t3 K3(R)). Using some results about the homology of linear groups, in this dissertation we will prove the Bloch-Wigner exact sequence over infinite fields. This exact sequence gives us a precise description of the indecomposable part of the third K-group of an infinite field. THEOREM (Bloch-Wigner exact sequence). Let F be an infinite field and let p(F) be the pre-Bloch group of F, that is, the quotient group of the free abelian group generated by symbols [a], a &isin; F× - [1}, by the subgroup generated by the elements of the form [a][b]+ b/a][ 1-a-1/1-b-1]+ [1-a/1-b] with a; b &isin; F×, a =/ b. Then we have the exact sequence TorZ1 (&mu; (F), &mu; (F)) ~ &rarr; Kind3 (F) &rarr; p(F) &rarr; (F× &#8855; ZF×)$sigma; &rarr; K2(F) &rarr; 0 where (F× &#8855; ZF×)&sigma; := (F× &#8855; ZF×) / a &38855; b +b &#8855; a | a; b &isin; F× and TorZ1(&mu;(F);&mu;(F)) is the unique non trivial extension of Z=2Z by TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) if char(F) =/ 2 and &mu;2 &infin; is finite and is TorZ1 (&mu; (F);&mu; (F)) otherwise. The homomorphism p(F) &rarr; (F×ZF×)%sigma; is defined by [a] &rarr; a &#8855; (1-a). As it is shown, the study of the Bloch-Wigner exact sequence is also justified by the relation between the second and third K-group of a field F.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Flavio P Vieira.pdf: 631827 bytes, checksum: b4c3dfd45d41b0313e21e87b61f0c94e (MD5) Previous issue date: 2012-04-12 / The main goal of this work is to establish a primary bound for the dimension of the second homology group of a group G, with coefficients in a field k of characteristic p, H2(G;k), using the operating system GAP. It will be presented with several examples, where in some cases, will be calculated the exact dimensions and in other cases only an upper bound. / O trabalho tem por objetivo principal estabelecer uma cota superior para a dimensão do segundo grupo de homologia de um grupo G, com coeficientes em um corpo k de característica p, H2(G;k), usando o sistema operacional GAP. Será apresentado uma gama de exemplos, onde em alguns casos, calcularemos exatamente a dimensão e em outras somente uma cota superior.

Cette thèse d'algèbre commutative porte principalement sur la théorie de la profondeur. Nous nous efforçons d'en fournir une approche épurée d'hypothèse noethérienne dans l'espoir d'échapper aux idéaux premiers et ceci afin de manier des objets élémentaires et explicites. Parmi ces objets, figurent les complexes algébriques de Koszul et de Cech dont nous étudions les propriétés cohomologiques grâce à des résultats simples portant sur la cohomologie du totalisé d'un bicomplexe. Dans le cadre de la cohomologie de Cech, nous avons établi la longue suite exacte de Mayer-Vietoris avec un traitement reposant uniquement sur le maniement des éléments. Une autre notion importante est celle de dimension de Krull. Sa caractérisation en termes de monoïdes bords permet de montrer de manière expéditive le théorème d'annulation de Grothendieck en cohomologie de Cech. Nous fournissons également un algorithme permettant de compléter un polynôme homogène en un h.s.o.p.. La profondeur est intimement liée à la théorie des résolutions libres/projectives finies, en témoigne le théorème de Ferrand-Vasconcelos dont nous rapportons une généralisation due à Jouanolou. Par ailleurs, nous revenons sur des résultats faisant intervenir la profondeur des idéaux caractéristiques d'une résolution libre finie. Nous revisitons, dans un cas particulier, une construction due à Tate permettant d'expliciter une résolution projective totalement effective de l'idéal d'un point lisse d'une hypersurface. Enfin, nous abordons la théorie de la régularité en dimension 1 via l'étude des idéaux inversibles et fournissons un algorithme implémenté en Magma calculant l'anneau des entiers d'un corps de nombres. / This Commutative Algebra thesis focuses mainly on the depth theory. We try to provide an approach without noetherian hypothesis in order to escape prime ideals and to handle only basic and explicit concepts. We study the algebraic complexes of Koszul and Cech and their cohomological properties by using simple results on the cohomology of the totalization of a bicomplex. In the Cech cohomology context we established the long exact sequence of Mayer-Vietoris only with a treatment based on the elements. Another important concept is that of Krull dimension. Its characterization in terms of monoids allows us to show expeditiously the vanishing Grothendieck theorem in Cech cohomology.We also provide an algorithm to complete a omogeneous polynomial in a h.s.o.p.. The depth is closely related to the theory of finite free/projective resolutions. We report a generalization of the Ferrand-Vasconcelos theorem due to Jouanolou. In addition, we review some results involving the depth of the ideals of expected ranks in a finite free resolution.We revisit, in a particular case, a construction due to Tate. This allows us to give an effective projective resolution of the ideal of a point of a smooth hypersurface. Finally, we discuss the regularity theory in dimension 1 by studying invertible ideals and provide an algorithm implemented in Magma computing the ring of integers of a number field.