Parameterized string correction decision problems investigate the possibility of transforming a given string X into a target string Y using a fixed number of edit operations, k. There are four possible edit operations: swap, delete, insert and substi- tute. In this work we consider the NP--complete STRING-TO-STRING CORREC- TION problem restricted to deletes and swaps and parameterized by the number of allowed operations. Specifically, the problem asks whether there exists a trans- formation from X into Y consisting of at most k deletes or swaps. We present a fixed parameter algorithm that runs in O(2k(k + m)), where m is the length of the destination string. Further, we present an implementation of an extended version of the algorithm that constructs the transformation sequence ! of length ay most k, given its existence. This thesis concludes with a discussion comparing the practical run times obtained from our implementation with the proposed theoretical results. Efficient string correction algorithms have applications in several areas, for example computational linguistics, error detection and correction, and computational biology. / Graduate

We have implemented and benchmarked an FPT-algorithm, that has two input parameters, k and w besides the input problem instance, which is a planing instance, in this thesis. The algorithm has an exponential running time as a function of these two parameters. The implemented algorithm computes the heuristic value h^+(s) of a state s that belongs to a state space, which originates from a strips instance. The purpose of the project was to test if the algorithm can be used to compute the heuristic function h^+, i.e. the delete-relaxation heuristic, in practice. The delete-relaxation heuristic value for some state is the length of the optimal solution from the state to a goal in the delete-relaxed-instance, which is the original instance without all its negative effects. Planning instances was benchmarked with the search algorithm A^* to test the algorithms practical value. The heuristic function blind was benchmarked together with A^* with the same instances so that we could compare the quality of the benchmark result for the implemented algorithm. The conclusion of the project was that the implemented algorithm is too slow to be used in practise.

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes différents de coloration maximale dans les graphes sommet-colorés. Nous nous concentrons sur la recherche des structures avec le nombre maximal possible de couleurs par des algorithmes en temps polynomial, nous donnons aussi la preuve des problèmes NP-difficiles pour des graphes spécifiques. En particulier, nous étudions d’abord le problème de l’appariement coloré maximum. Nous montrons que ce problème peut être résolu efficacement en temps polynomial. En plus, nous considérons également une version spécifique de ce problème, à savoir l’appariement tropical, qui consiste à trouver un appariement contenant toutes les couleurs du graphe original. De même, un algorithme de temps polynomial est également fourni pour le problème de l’appariement tropical avec la cardinalité minimale et le problème de l’appariement tropical maximum avec la cardinalité minimale. Ensuite, nous étudions le problème des chemins colorés maximum. Il existe deux versions pour ce problème: le problème de plus court chemin tropical, c’est-à-dire de trouver un chemin tropical avec le poids total minimum et le problème de plus longue chemin coloré, à savoir, trouver un chemin avec un nombre maximum possible de couleurs. Nous montrons que les deux versions de ce problème sont NP-difficile pour un graphe orienté acyclique, graphes de cactus et graphes d'intervalles où le problème de plus long chemin est facile. De plus, nous fournissons également un algorithme de paramètre fixe pour le premier dans les graphes généraux et plusieurs algorithmes de temps polynomiaux pour le second dans les graphes spécifiques, y compris les graphes des chaîne bipartites, graphes de seuil, arborescences, graphes des blocs et graphes d'intervalles appropriés. Ensuite, nous considérons le problème des cycles colorés maximum. Nous montrons d'abord que le problème est NP-difficile même pour des graphes simples tels que des graphes divisés, des graphes bi-connecteurs et des graphes d'intervalles. Nous fournissons ensuite des algorithmes de temps polynomial pour les classes de graphes de seuil et graphes des chaîne bipartites et graphes d'intervalles appropriés. Plus tard, nous étudions le problème des cliques colorées maximum. Nous montrons tout d’abord que le problème est NP-difficile même pour plusieurs cas où le problème de clique maximum est facile, comme des graphes complémentaires des graphes de permutation bipartite, des graphes complémentaires de graphes convexes bipartites et des graphes de disques unitaires, et aussi pour des graphes sommet-colorées appropriés. Ensuite, nous proposons un algorithme paramétré XP et des algorithmes de temps polynomial pour les classes de graphes complémentaires de graphes en chaîne bipartites, des graphes multipartites complets et des graphes complémentaires de graphes cycles. Enfin, nous nous concentrons sur le problème des stables (ensembles indépendants) colorés maximum. Nous montrons d’abord que le problème est NP-difficile même dans certains cas où le problème de stable maximum est facile, tels que les co-graphes et les graphes des P₅-gratuit. Ensuite, nous fournissons des algorithmes de temps polynomial pour les graphes de grappes, et les arbres. / In this thesis, we study different maximum colorful problems in vertex-colored graphs. We focus on finding structures with the possible maximum number of colors by efficient polynomial-time algorithms, or prove these problems as NP-hard for specific graphs. In particular, we first study the maximum colorful matching problem. We show that this problem can be efficiently solved in polynomial time. Moreover, we also consider a specific version of this problem, namely tropical matching, that is to find a matching containing all colors of the original graph, if any. Similarly, a polynomial time algorithm is also provided for the problem of tropical matching with the minimum cardinality and the problem of maximal tropical matching with the minimum cardinality. Then, we study the maximum colorful paths problem. There are two versions for this problem: the shortest tropical path problem, i.e., finding a tropical path with the minimum total weight, and the maximum colorful path problem, i.e., finding a path with the maximum number of colors possible. We show that both versions of this problem are NP-hard for directed acyclic graphs, cactus graphs and interval graphs where the longest path problem is easy. Moreover, we also provide a fixed parameter algorithm for the former in general graphs and several polynomial time algorithms for the latter in specific graphs, including bipartite chain graphs, threshold graphs, trees, block graphs, and proper interval graphs. Next we consider the maximum colorful cycles problem. We first show that the problem is NP-hard even for simple graphs such as split graphs, biconnected graphs, interval graphs. Then we provide polynomial-time algorithms for classes of threshold graphs and bipartite chain graphs and proper interval graphs. Later, we study the maximum colorful cliques problem. We first show that the problem is NP-hard even for several cases where the maximum clique problem is easy, such as complement graphs of bipartite permutation graphs, complement graphs of bipartite convex graphs, and unit disk graphs, and also for properly vertex-colored graphs. Next, we propose a XP parameterized algorithm and polynomial-time algorithms for classes of complement graphs of bipartite chain graphs, complete multipartite graphs and complement graphs of cycle graphs. Finally, we focus on the maximum colorful independent set problem. We first prove that the problem is NP-hard even for some cases where the maximum independent set problem is easy, such as cographs and P₅-free graphs. Next, we provide polynomial time algorithms for cluster graphs and trees.

Le premier volet de cette thèse porte sur l'étude de graphes dont les sommets sont colorés. Nous étudions comment la recherche d'ensembles particuliers de sommets est affectée lorsqu'on ajoute la contrainte qu'ils soient tropicaux, c'est à dire contiennent au moins un sommet de chacune des couleurs.Cette contrainte additionnelle tend à fortement augmenter la complexité des problèmes. Par exemple, la recherche d'un plus petit ensemble dominant tropical, et celle d'une plus petite couverture par sommet tropicale, sont APX-complets même restreints aux chemins. La recherche du plus petit sous-graphe connexe tropical d'un graphe est elle NP-complète, même restreinte aux arbres. Cependant, ajouter un contrainte sur le nombre de couleurs permet souvent de réduire la complexité. Par exemple, sans restrictions sur le type de graphes en entrée, la recherche d'un sous-graphe connexe tropical s'effectue en temps polynomial pourvu que le nombre de couleurs reste logarithmique en la taille du graphe. De plus, nous montrons divers résultats structurels qui lient la taille d'un sous-graphe connexe tropical minimum à des paramètres du graphe tels que le nombre de couleurs, le nombre d'arêtes, le degré minimum, ... Dans le second volet, nous étudions des jeux sur des graphes, appelés jeux de défense, où des attaquants ciblent des sommets et des défenseurs protègent des sous-graphes. On s'intéresse à l'existence d'un équilibre de Nash lorsque les défenseurs protègent des chemins de taille au plus p. Lorsque chaque défenseur protège exactement une arête, nous montron<s notamment que déterminer si le jeu pour un graphe G, n défenseurs et k attaquants, admet un équilibre de Nash revient à déterminer si G possède un indépendant dominant de taille inférieure ou égale à k, problème NP-complet dans le cas général.Plus généralement, lorsque les défenseurs protègent des chemins de taille p, l'existence d'un équilibre de Nash dans un jeu avec n défenseurs est liée à la notion de p-indépendant. Un ensemble de sommets est p-indépendant si toutes les paires de sommets sont à distance supérieure à p. Déterminer l'existence d'un p-indépendant maximal de taille inférieure ou égale à k dans un graphe quelconque est NP-complet. Notre algorithme Min2stablemax permet de calculer la taille minimum d'un 2-indépendant maximal dans un arbre. / The first pane of this thesis is on the study of vertex-colored graphs. We look at the tractability of asserting the existence of particular sets of vertices on a graph with the added constraint that the sets must be tropical, i.e. they must contain at least one vertex of each of the colors in the graph.This additional constraint tends to make the problems way less tractable. For instance, finding a minimum tropical dominating set, or a minimum tropical vertex cover, are APX-complete problems even when restricted to paths. Finding the smallest tropical connected subgraph is also NP-complete even when restricted to trees. However, restricting the number of colors will usually make problems more tractable. For instance, finding a connected tropical subgraph (on any graph) can be done in polynomial time as long as the number of colors is logarithmic in the size of the graph. Moreover, we show some structural results that links the size of a minimum connected subgraph to parameters such as the number of colors, the number of edges, the minimum degree…The second pane is on the study of some games on graphs, called defense games, in which multiple attackers target vertices and multiple defenders protect subgraphs.We focus on the existence of a Nash equilibrium when defenders protect paths of size at most p.When each defender protects exactly one edge, we show among other results that the game on a graph G with n defenders and k attackers admits a Nash equilibrium if and only if there exists a dominating set of size at most k in G, which is NP-complete in the general case.Similarly, when each defender protects a path of size at most p, the existence of a Nash equilibrium is linked to the notion of p-independent, i.e. a set of vertices such that every pair of elements of the set is at distance greater than p.Determining the existence of a maximal p-independent of size at most k is NP-complete, but our Min2stablemax algorithm can compute the minimum size of a maximal 2-independent set in a tree.

Dans cette thèse, nous abordons des problèmes NP-difficiles à l'aide de techniques combinatoires, en se focalisant sur le domaine de la complexité paramétrée. Les principaux problèmes que nous considérons sont les problèmes de Multicoupe et d'Arbre Orienté Couvrant avec Beaucoup de Feuilles. La Multicoupe est une généralisation naturelle du très classique problème de coupe, et consiste à séparer un ensemble donné de paires de sommets en supprimant le moins d'arêtes possible dans un graphe. Le problème d'Arbre Orienté Couvrant avec Beaucoup de Feuilles consiste à trouver un arbre couvrant avec le plus de feuilles possible dans un graphe dirigé. Les résultats principaux de cette thèse sont les suivants. Nous montrons que le problème de Multicoupe paramétré par la taille de la solution est FPT (soluble à paramètre fixé), c'est-à-dire que l'existence d'une multicoupe de taille $k$ dans un graphe à $n$ sommets peut être décidée en temps $f(k)*poly(n)$. Nous montrons que Multicoupe dans les arbres admet un noyau polynomial, c'est-à-dire est réductible aux instances de taille polynomiale en $k$. Nous donnons un algorithme en temps $O^*(3.72^k)$ pour le problème d'Arbre Orienté Couvrant avec Beaucoup de Feuilles et le premier algorithme exponentiel exact non trivial (c'est-à-dire meilleur que $2^n$). Nous fournissons aussi un noyau quadratique et une approximation à facteur constant. Ces résultats algorithmiques sont basés sur des résultats combinatoires et des propriétés structurelles qui concernent, entre autres, les décompositions arborescentes, les mineurs, des règles de réduction et les $s-t$ numberings. Nous présentons des résultats combinatoires hors du domaine de la complexité paramétrée: une caractérisation des graphes de cercle Helly comme les graphes de cercle sans diamant induit, et une caractérisation partielle des classes de graphes 2-bel-ordonnées. / This thesis tackles NP-hard problems with combinatorial techniques, focusing on the framework of Fixed-Parameter Tractability. The main problems considered here are Multicut and Maximum Leaf Out-branching. Multicut is a natural generalisation of the cut problem, and consists in simultaneously separating prescribed pairs of vertices by removing as few edges as possible in a graph. Maximum Leaf Out-branching consists in finding a spanning directed tree with as many leaves as possible in a directed graph. The main results of this thesis are the following. We show that Multicut is FPT when parameterized by the solution size, i.e. deciding the existence of a multicut of size $k$ in a graph with $n$ vertices can be done in time $f(k)*poly(n)$. We show that Multicut In Trees admits a polynomial kernel, i.e. can be reduced to instances of size polynomial in $k$. We give an $O^*(3.72^k)$ algorithm for Maximum Leaf Out-branching and the first non-trivial (better than $2^n$) exact algorithm. We also provide a quadratic kernel and a constant factor approximation algorithm. These algorithmic results are based on combinatorial results and structural properties, involving tree decompositions, minors, reduction rules and $s-t$ numberings, among others. We present results obtained with combinatorial techniques outside the scope of parameterized complexity: a characterization of Helly circle graphs as the diamond-free circle graphs, and a partial characterisation of 2-well-quasi-ordered classes of graphs.

The human brain consists of a myriad of chemical compounds critical to its functioning. A group of these compounds, collectively known as metabolites, have been a research interest for years because the pathogenesis of neurodegenerative diseases, a tumours classification, the effectiveness of a drug, etc., can be investigated via variations in brain metabolite concentration levels. Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy (NMRS) enables investigators to conduct non-invasive in vivo studies of metabolites in the human brain and the rest of the body. However a number of problems have hindered the usage of NMRS as a clinical diagnostic tool. One is the non-uniqueness of the most widely used analysis methods, i.e. as the parameters and/or prior knowledge data of an analysis method are changed, the results also change. A second problem is the lack of a method that can automatically classify the signal components estimated via signal decomposition based signal analysis methods. Additionally, some of the most widely used analysis methods, by virtue of their algorithms, intrinsically assume the nature of NMRS signals, e.g. stationary, linear, Lorentzian, etc. Hence, this thesis explores a new analysis approach, based on a theoretical and practical understanding of NMRS, that (a) avoids making assumptions about the nature of experimentally acquired NMRS signals, (b) relies on a unique decomposition analysis method, and (c) automatically classifies the estimated peaks of an analysis. Unique decomposition analysis was conducted via the rarely used unique and non-linear signal decomposition method − the Fast Pad´e Transform (FPT). The FPT is compared with the main decomposition based NMRS analysis methods via a detailed mathematical analysis, and a comparative analysis. Automatic classification was conducted via a novel classification method, which is introduced herein, and which is based on quantum mechanical predictions of metabolite NMRS behaviour.

L'étude expérimentale d'algorithmes est un sujet crucial dans la conception de nouveaux algorithmes, puisque le contexte d'évaluation influence inévitablement la mesure de la qualité des algorithmes. Le sujet particulier qui nous intéresse dans l'étude expérimentale est la pertinence des instances choisies pour servir de base de test à l'expérimentation. Nous formalisons ce critère par la notion de "difficulté d'instance" qui dépend des performances pratiques de méthodes de résolution. Le coeur de la thèse porte sur un outil pour évaluer empiriquement la difficulté d'instance. L'approche proposée présente une méthode de benchmarking d'instances sur des jeux de test d'algorithmes. Nous illustrons cette méthode expérimentale pour évaluer des classes d'instances à travers plusieurs exemples d'applications sur le problème du voyageur de commerce. Nous présentons ensuite une approche pour générer des instances difficiles. Elle repose sur des opérations qui modifient les instances, mais qui permettent de retrouver facilement une solution optimale, d'une instance à l'autre. Nous étudions théoriquement et expérimentalement son impact sur les performances de méthodes de résolution. / The empirical study of algorithms is a crucial topic in the design of new algorithms because the context of evaluation inevitably influences the measure of the quality of algorithms. In this topic, we particularly focus on the relevance of instances forming testbeds. We formalize this criterion with the notion of 'instance hardness' that depends on practical performance of some resolution methods. The aim of the thesis is to introduce a tool to evaluate instance hardness. The approach uses benchmarking of instances against a testbed of algorithms. We illustrate our experimental methodology to evaluate instance classes through several applications to the traveling salesman problem. We also suggest possibilities to generate hard instances. They rely on operations that modify instances but that allow to easily find the optimal solution of one instance from the other. We theoretically and empirically study their impact on the performance of some resolution methods.

Cette thèse cherche à quantifier le temps de premier passage (FPT) d'un marcheur non-markovien sur une cible. La première partie est consacrée au calcul du temps moyen de premier passage (MFPT) pour différents processus non-markoviens confinés, pour lesquels les variables cachées sont connues. Notre méthode, qui adapte un formalisme existant, repose sur la détermination de la distribution des variables cachées au moment du FPT. Nous étendons ensuite ces idées à processus non-markoviens confinés généraux, sans introduire les variables cachées - en général inconnues. Nous montrons que le MFPT est entièrement déterminé par la position du marcheur dans le futur du FPT. Pour des processus gaussiens à incréments stationnaires, cette position est très proche d'une processus gaussien, hypothèse qui permet de déterminer ce processus de manière auto-cohérente, et donc de calculer le MFPT. Nous appliquons cette théorie à différents exemples en dimension variée, obtenant des résultats très précis quantitativement. Nous montrons également que notre théorie est exacte perturbativement autour d'une marche markovienne. Dans une troisième partie, nous explorons l'influence du vieillissement sur le FPT en confinement, et prédisons la dépendance en les paramètres géométriques de la distribution de ce FPT, prédictions vérifiées sur maints exemples. Nous montrons en particulier qu'une non-linéarité du MFPT avec le volume confinant est une caractéristique d'un processus vieillissant. Enfin, nous étudions les liens entre les problèmes avec et sans confinement. Notre travail permet entre autre de d'estimer l'exposant de persistance associé à des processus gaussiens non-markoviens vieillissant. / The aim of this thesis is the evaluation of the first-passage time (FPT) of a non-markovian walker over a target. The first part is devoted to the computation of the mean first-passage time (MFPT) for different non-markovien confined processes, for which hidden variables are explicitly known. Our methodology, which adapts an existing formalism, relies on the determination of the distribution of the hidden variables at the instant of FPT. Then, we extend these ideas to the case of general non-markovian confined processes, without introducing the -often unkown- hidden variables. We show that the MFPT is entirely determined by the position of the walker in the future of the FPT. For gaussian walks with stationary increments, this position can be accurately described by a gaussian process, which enable to determine it self-consistently, and thus to find the MFPT. We apply this theory on many examples, in various dimensions. We show moreover that this theory is exact perturbatively around markovian processes. In the third part, we explore the influence of aging properties on the the FPT in confinement, and we predict the dependence of its statistic on geometric parameters. We verify these predictions on many examples. We show in particular that the non-linearity of the MFPT with the confinement is a hallmark of aging. Finally, we study some links between confined and unconfined problems. Our work suggests a promising way to evaluate the persistence exponent of non-markovian gaussian aging processes.

Computationally hard problems are routinely encountered during the course of solving practical problems. This is commonly dealt with by settling for less than optimal solutions, through the use of heuristics or approximation algorithms. This dissertation examines the alternate possibility of solving such problems exactly, through a detailed study of one particular problem, the maximum clique problem. It discusses algorithms, implementations, and the application of maximum clique results to real-world problems. First, the theoretical roots of the algorithmic method employed are discussed. Then a practical approach is described, which separates out important algorithmic decisions so that the algorithm can be easily tuned for different types of input data. This general and modifiable approach is also meant as a tool for research so that different strategies can easily be tried for different situations. Next, a specific implementation is described. The program is tuned, by use of experiments, to work best for two different graph types, real-world biological data and a suite of synthetic graphs. A parallel implementation is then briefly discussed and tested. After considering implementation, an example of applying these clique-finding tools to a specific case of real-world biological data is presented. Results are analyzed using both statistical and biological metrics. Then the development of practical algorithms based on clique-finding tools is explored in greater detail. New algorithms are introduced and preliminary experiments are performed. Next, some relaxations of clique are discussed along with the possibility of developing new practical algorithms from these variations. Finally, conclusions and future research directions are given.

L'étude expérimentale d'algorithmes est un sujet crucial dans la conception de nouveaux algorithmes, puisque le contexte d'évaluation influence inévitablement la mesure de la qualité des algorithmes. Le sujet particulier qui nous intéresse dans l'étude expérimentale est la pertinence des instances choisies pour servir de base de test à l'expérimentation. Nous formalisons ce critère par la notion de "difficulté d'instance" qui dépend des performances pratiques de méthodes de résolution. Le coeur de la thèse porte sur un outil pour évaluer empiriquement la difficulté d'instance. L'approche proposée présente une méthode de benchmarking d'instances sur des jeux de test d'algorithmes. Nous illustrons cette méthode expérimentale pour évaluer des classes d'instances à travers plusieurs exemples d'applications sur le problème du voyageur de commerce. Nous présentons ensuite une approche pour générer des instances difficiles. Elle repose sur des opérations qui modifient les instances, mais qui permettent de retrouver facilement une solution optimale, d'une instance à l'autre. Nous étudions théoriquement et expérimentalement son impact sur les performances de méthodes de résolution.