Steuerungsprobleme treten in vielen Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik auf. In dieser Arbeit werden Optimalsteuerungsprobleme mit semilinearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen untersucht. Die Kontrolle wird durch Kontrollschranken als Ungleichungsnebenbedingungen eingeschränkt. Dabei ist die Zielfunktion quadratisch in der Kontrolle. Die Lösung des Optimierungsproblems kann dann durch die Projektionsbedingung mit Hilfe des adjungierten Zustandes dargestellt werden. Ein neuer Zugang ist die variationelle Diskretisierung. Bei dieser wird nur der Zustand und der adjungierte Zustand diskretisiert, nicht aber der Raum der Kontrollen. Dieser Zugang erlaubt höhere Konvergenzraten für die Kontrolle für kontrollrestingierte Probleme als bei einer Diskretisierung des Kontrollraumes. Die Projektionsbedingung für das variationell diskretisierte Problem ist dabei auf die gleiche zulässige Menge wie beim nicht diskretisierten Problem. In der vorliegenden Arbeit wird die Methode der variationellen Diskretisierung auf semilineare elliptische Optimalkontrollprobleme angewendet und Fehlerabschätzungen für die Kontrollen bewiesen. Dabei wird hauptsächlich auf die verteilte Steuerung Wert gelegt, aber auch die Neumann-Randsteuerung mitbehandelt. Nach einem Überblick über die Literatur wird die Aufgabenstellung mit den Voraussetzungen aufgeschrieben und die Optimalitätsbedingungen angegeben. Danach wird die Existenz einer Lösung, sowie die Konvergenz der diskreten Lösungen gegen eine kontinuierliche Lösung gezeigt. Außerdem werden Finite-Elemente-Konvergenzordnungen angegeben. Dann werden optimale Fehlerabschätzungen in verschiedenen Normen für die variationelle Kontrolle bewiesen. Insbesondere werden die Fehlerabschätzung in Abhängigkeit vom Finite-Elemente-Fehler des Zustandes und des adjungierten Zustandes angegeben. Dabei wird die nichtlineare Fixpunktgleichung mittels semismooth Newtonverfahrens linearisiert. Das Newtonverfahren wird auch für die numerische Lösung des Problems eingesetzt. Die Voraussetzung für die Konvergenzordnung ist dabei nicht die SSC, die hinreichende Bedingung zweiter Ordnung, welche eine lokale Konvexität in der Zielfunktion impliziert, sondern die Invertierbarkeit des Newtonoperators. Dies ist eine stationäre Bedingung in der optimalen Kontrolle. Dabei wird nur benötigt, dass der Rand der aktiven Menge eine Nullmenge ist und die Invertierbarkeit des Newtonoperators in der Optimallösung. Der Schaudersche Fixpunktsatz wird benutzt, um für die Newtongleichung die Existenz eines Fixpunktes innerhalb der gewünschten Umgebung zu beweisen. Außerdem wird die Eindeutigkeit eines solchen Fixpunktes für eine gegebene Triangulation bei hinreichend feiner Diskretisierung gezeigt. Das Ergebnis ist, dass die Konvergenzrate nur durch die Finite-Elemente-Konvergenzraten von Zustand und adjungiertem Zustand beschränkt wird. Diese Rate wird nicht nur durch die Ansatzfunktionen, sondern auch durch die Glattheit der rechten Seite beschränkt, so dass der Knick am Rand der aktiven Menge hier ein Grenze setzt. Außerdem wird die Implementation des semismooth Newtonverfahrens für den unendlichdimensionalen Kontrollraum für die variationelle Diskretisierung erläutert. Dabei wird besonders auf den zweidimensionalen verteilten Fall eingegangen. Es werden die bewiesenen Konvergenzraten an einigen semilinearen und linearen Beispielen mittels der variationellen Diskretisierung demonstriert. Es entsprechen sich die bei den analytische Beweisen und der numerischen Lösung eingesetzten Verfahren, die Fixpunktiteration sowie das nach Kontrolle oder adjungiertem Zustand aufgelöste Newtonverfahren. Dabei sind einige Besonderheiten bei der Implementation zu beachten, beispielsweise darf die Kontrolle nicht inkrementell mit dem Newtonverfahren oder der Fixpunktiteration aufdatiert werden, sondern muss in jedem Schritt neu berechnet werden.

Steuerungsprobleme treten in vielen Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik auf. In dieser Arbeit werden Optimalsteuerungsprobleme mit semilinearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen untersucht. Die Kontrolle wird durch Kontrollschranken als Ungleichungsnebenbedingungen eingeschränkt. Dabei ist die Zielfunktion quadratisch in der Kontrolle. Die Lösung des Optimierungsproblems kann dann durch die Projektionsbedingung mit Hilfe des adjungierten Zustandes dargestellt werden. Ein neuer Zugang ist die variationelle Diskretisierung. Bei dieser wird nur der Zustand und der adjungierte Zustand diskretisiert, nicht aber der Raum der Kontrollen. Dieser Zugang erlaubt höhere Konvergenzraten für die Kontrolle für kontrollrestingierte Probleme als bei einer Diskretisierung des Kontrollraumes. Die Projektionsbedingung für das variationell diskretisierte Problem ist dabei auf die gleiche zulässige Menge wie beim nicht diskretisierten Problem. In der vorliegenden Arbeit wird die Methode der variationellen Diskretisierung auf semilineare elliptische Optimalkontrollprobleme angewendet und Fehlerabschätzungen für die Kontrollen bewiesen. Dabei wird hauptsächlich auf die verteilte Steuerung Wert gelegt, aber auch die Neumann-Randsteuerung mitbehandelt. Nach einem Überblick über die Literatur wird die Aufgabenstellung mit den Voraussetzungen aufgeschrieben und die Optimalitätsbedingungen angegeben. Danach wird die Existenz einer Lösung, sowie die Konvergenz der diskreten Lösungen gegen eine kontinuierliche Lösung gezeigt. Außerdem werden Finite-Elemente-Konvergenzordnungen angegeben. Dann werden optimale Fehlerabschätzungen in verschiedenen Normen für die variationelle Kontrolle bewiesen. Insbesondere werden die Fehlerabschätzung in Abhängigkeit vom Finite-Elemente-Fehler des Zustandes und des adjungierten Zustandes angegeben. Dabei wird die nichtlineare Fixpunktgleichung mittels semismooth Newtonverfahrens linearisiert. Das Newtonverfahren wird auch für die numerische Lösung des Problems eingesetzt. Die Voraussetzung für die Konvergenzordnung ist dabei nicht die SSC, die hinreichende Bedingung zweiter Ordnung, welche eine lokale Konvexität in der Zielfunktion impliziert, sondern die Invertierbarkeit des Newtonoperators. Dies ist eine stationäre Bedingung in der optimalen Kontrolle. Dabei wird nur benötigt, dass der Rand der aktiven Menge eine Nullmenge ist und die Invertierbarkeit des Newtonoperators in der Optimallösung. Der Schaudersche Fixpunktsatz wird benutzt, um für die Newtongleichung die Existenz eines Fixpunktes innerhalb der gewünschten Umgebung zu beweisen. Außerdem wird die Eindeutigkeit eines solchen Fixpunktes für eine gegebene Triangulation bei hinreichend feiner Diskretisierung gezeigt. Das Ergebnis ist, dass die Konvergenzrate nur durch die Finite-Elemente-Konvergenzraten von Zustand und adjungiertem Zustand beschränkt wird. Diese Rate wird nicht nur durch die Ansatzfunktionen, sondern auch durch die Glattheit der rechten Seite beschränkt, so dass der Knick am Rand der aktiven Menge hier ein Grenze setzt. Außerdem wird die Implementation des semismooth Newtonverfahrens für den unendlichdimensionalen Kontrollraum für die variationelle Diskretisierung erläutert. Dabei wird besonders auf den zweidimensionalen verteilten Fall eingegangen. Es werden die bewiesenen Konvergenzraten an einigen semilinearen und linearen Beispielen mittels der variationellen Diskretisierung demonstriert. Es entsprechen sich die bei den analytische Beweisen und der numerischen Lösung eingesetzten Verfahren, die Fixpunktiteration sowie das nach Kontrolle oder adjungiertem Zustand aufgelöste Newtonverfahren. Dabei sind einige Besonderheiten bei der Implementation zu beachten, beispielsweise darf die Kontrolle nicht inkrementell mit dem Newtonverfahren oder der Fixpunktiteration aufdatiert werden, sondern muss in jedem Schritt neu berechnet werden.

Ziel dieser Arbeit ist es zwei verschiedene Klassen von Systemen nichtlinearer parabolischer Gleichungen zu homogenisieren, und zwar Reaktions-Diffusions-Systeme mit verschiedenen Diffusionslängenskalen und Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard. Wir betrachten parabolische Gleichungen mit periodischen Koeffizienten, wobei die Periode dem Verhältnis der charakteristischen mikroskopischen zu der makroskopische Längenskala entspricht. Unser Ziel ist es, effektive Gleichungen rigoros herzuleiten, um die betrachteten Systeme besser zu verstehen und den Simulationsaufwand zu minimieren. Wir suchen also einen Konvergenzbegriff, mit dem die Lösung des Ausgangsmodells im Limes der Periode gegen Null gegen die Lösung des effektiven Modells konvergiert. Um die periodische Mikrostruktur und die verschiedenen Diffusivitäten zu erfassen, verwenden wir die Zwei-Skalen Konvergenz mittels periodischer Auffaltung. Der erste Teil der Arbeit handelt von Reaktions-Diffusions-Systemen, in denen einige Spezies mit der charakteristischen Diffusionslänge der makroskopischen Skala und andere mit der mikroskopischen diffundieren. Die verschiedenen Diffusivitäten führen zu einem Verlust der Kompaktheit, sodass wir nicht direkt den Grenzwert der nichtlinearen Terme bestimmen können. Wir beweisen mittels starker Zwei-Skalen Konvergenz, dass das effektive Modell ein zwei-skaliges Modell ist, welches von der makroskopischen und der mikroskopischen Skale abhängt. Unsere Methode erlaubt es uns, explizite Raten für die Konvergenz der Lösungen zu bestimmen. Im zweiten Teil betrachten wir Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard, welche ortsabhängige Mobilitätskoeffizienten und allgemeine Potentiale beinhalten. Wir beweisen evolutionäre Gamma-Konvergenz der zugehörigen Gradientensysteme basierend auf der Gamma-Konvergenz der Energien und der Dissipationspotentiale. / The aim of this thesis is to derive homogenization results for two different types of systems of nonlinear parabolic equations, namely reaction-diffusion systems involving different diffusion length scales and Cahn-Hilliard-type equations. The coefficient functions of the considered parabolic equations are periodically oscillating with a period which is proportional to the ratio between the charactersitic microscopic and macroscopic length scales. In view of greater structural insight and less computational effort, it is our aim to rigorously derive effective equations as the period tends to zero such that solutions of the original model converge to solutions of the effective model. To account for the periodic microstructure as well as for the different diffusion length scales, we employ the method of two-scale convergence via periodic unfolding. In the first part of the thesis, we consider reaction-diffusion systems, where for some species the diffusion length scale is of order of the macroscopic length scale and for other species it is of order of the microscopic one. Based on the notion of strong two-scale convergence, we prove that the effective model is a two-scale reaction-diffusion system depending on the macroscopic and the microscopic scale. Our approach supplies explicit rates for the convergence of the solution. In the second part, we consider Cahn-Hilliard-type equations with position-dependent mobilities and general potentials. It is well-known that the classical Cahn-Hilliard equation admits a gradient structure. Based on the Gamma-convergence of the energies and the dissipation potentials, we prove evolutionary Gamma-convergence, for the associated gradient system such that we obtain in the limit of vanishing periods a Cahn-Hilliard equation with homogenized coefficients.