Orientador: Fellippo Ramos Verri / Banca: Aldiéris Alves Pesqueira / Banca: Pedro Yoshito Noritomi / Resumo: O objetivo desse estudo foi comparar os resultados de rigidez do ensaio mecânico de compressão axial com a rigidez da análise por elementos Finitos (FEA), gerar modelos biomecânicos que apresentem com precisão a geometria tridimensional do osso e realizar análise pelo Método dos Elementos Finitos propondo uma metodologia para a simulação computacional mecânica de estruturas ósseas de peças de fêmures e tíbias de coelhos cadáveres. Previamente ao ensaio mecânico de compressão, fez-se uma análise mecânica da estrutura óssea, reconstruindo 20 modelos a partir de tomografia computadorizada utilizando o software de processamento de imagem ScanIP. Em seguida, foi realizada a análise mecânica de rigidez da estrutura óssea simulada pelo método dos elementos finitos 3D no software Ansys. Após construção da malha de elementos finitos, ensaios mecânicos de compressão axial foram realizados nas amostras e seus resultados de rigidez foram então comparados com os resultados de rigidez do modelo biomecânico. Nessa comparação o menor desvio apresentado foi de 0,02% e o maior desvio foi de 8,68%. A diferença entre a média da rigidez extrínseca dos ensaios foi de 1,07%. A média dos resultados para a rigidez intrínseca dos modelos biomecânicos obtidas do pós processamento foi 25258,63 N⁄mm. Concluiu-se que o uso dessa metodologia nos permitiu uma validação experimental do método dos elementos finitos aplicados à biomecânica das amostras testadas. Além disso, foi possível predizer o comportament... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: The aim of this study was to compare the stiffness results of the axial compression mechanical test with the FEA stiffness, to generate biomechanical models that accurately present the three- dimensional bone geometry and to perform analysis by the Finite Element Method proposing a methodology for the mechanical computational simulation of bony structures using parts of femurs and tibiae from rabbits that were healthy. Prior to mechanical compression testing, it was made a mechanical analysis of the bone structure, rebuilding 20 models from computed tomography using image processing software ScanIP. Then, it was performed mechanical analysis of stiffness of the simulated bone structure by the 3D finite element method in Ansys software. After finite element mesh construction, axial compression tests were performed on the samples and their stiffness results were compared with the stiffness results of the biomechanical model. In this comparison, the lowest deviation was 0,02% and the highest deviation was 8,68%. The difference between the mean extrinsic stiffness of the tests was 1.07%. The average of the results for the intrinsic rigidity of the biomechanical models obtained from the post-processing was 25258,63 N⁄mm. It was concluded that the use of this methodology enabled experimental validation of finite element method applied to biomechanics. Moreover, it was possible to predict the behavior of the bone because the accuracy of the analysis is better the more the biomechani... (Complete abstract click electronic access below) / Mestre

O principal objetivo dessa tese consiste em determinar uma solução numéricada equação bidimensional do transporte de nêutrons para elevadas ordens de quadratura angular. Diagonalizando a matriz de transporte LTSN bidimensional , construímos dois algoritmos que se diferenciam pela forma de representar os termos de fuga transversal, que surgem nas equações LTSN integradas transversalmente. Esses termos no método LTSN2D − Diag são expressos como combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos respectivos autovalores. No método LTSN2D − DiagExp os termos de fuga transversal são representados por uma função exponencial com constante de decaimento heuristicamente identificada com parâmetros materiais característicos do meio. A análise epectral desenvolvida permite realizar a diagonalização. Um estudo sobre o condicionamento é feito e também associamos um número de condicionamento ao termo de fuga transversal. Definimos os erros no fluxo aproximado e na fórmula da quadratura, e estabelecemos uma relação entre eles. A convergência ocorre com condições de fronteira e quadratura angular adequadas. Apresentamos os resultados numéricos gerados pelos novos métodos LTSN2D − Diag e LTSN2D − DiagExp para elevadas ordens de quadratura angular para um problema ilustrativo e comparamos com resultados disponíveis na literatura.

Esta dissertação tem por objetivo propor melhorias no desempenho térmico de condensadores evaporativos a partir do estudo de dois modelos desenvolvidos para representar a transferência de calor e a efetividade deste tipo de equipamento, chamados de Ajuste Global e Psicrométrico. São elaborados dois aplicativos computacionais para a simulação dos modelos. Dados experimentais obtidos em uma bancada de testes são usados para o ajuste dos modelos. São apresentados gráficos comparativos do erro relativo de cada modelagem com relação ao experimental. É verificado que os dois modelos apresentam boa exatidão e podem ser utilizados para representar o equipamento. A técnica de análise de incertezas é aplicada no intuito de verificar a influência das diferentes grandezas no cálculo da taxa de transferência de calor do condensador. A temperatura de condensação do fluido refrigerante, juntamente com as vazões de amônia e do ar são os principais parâmetros que apresentam uma maior incerteza, necessitando mais cuidado em sua aquisição. Uma tabela de correção de capacidades é elaborada a partir do modelo Psicrométrico para prever o comportamento do condensador operando em faixas de condições de temperatura de condensação e temperatura de bulbo úmido do ar, diferentes das condições nominais. São propostas modificações na atual estrutura física do condensador evaporativo a fim de melhorar seu desempenho térmico, baseadas no estudo dos modelos e também dos diferentes ensaios realizados na bancada de testes. / The present work aims to propose improvements in the thermal performance of evaporative condensers from the study of two mathematical models developed to represent its heat transfer and effectiveness, called here Global adjustment and Psychometric model. It was elaborated two programs using EES to simulate both models. Experimental data was collected for the adjustment of both approaches. It was presented several graphs comparing the error of each model to the experimental. It was verified that both models presented good accuracy and they may be used to represent the equipment. Uncertainty analysis was realized to verify which variable affects mostly the heat transfer rejected by the evaporative condenser. The ammonia temperature of condensation, the air and ammonia mass flows are the variables presenting dominant influence on the uncertainty being necessary good care in the measurement of those values. A correction table was elaborated using Psychometric model to predict heat transfer in the EC operating in different ammonia temperature of condensation and air wet bulb temperature, different from the nominal ones. Concluding the study, some modifications are proposed in the current structure of the evaporative condenser aiming to improve its performance, based on both models and also the tests realized.

Neste trabalho é apresentada uma solução analítica para a aproximação da equação de transporte linear unidimennal em geometria plana, considerando modelo de multigrupo e espalhamento anisotrópico. A idéia principal desse método consiste em aplicar a transformada de Laplace ao sistema de equações diferenciais ordinárias Este procedimento gera um Sistema linear para o fluxo angular transformado. Resolvendo esse sistema pelo algoritmo de Trzaska, o fluxo angular é obtido em termos do fluxo angular na fronteira x = O pela técnica de inversão de Heaviside. Os resultados obtidos por este método para problemas de placa plana, homogênea e heterogênea, para um e dois grupos de energia, em dom1nio finito e semi-inf1nito, bem como os problemas inversos determinação do parâmetro c, da espessura critica de uma placa e do fluxo angular incidente na fronteira de uma placa plana, para um e dois grupos de energia, foram comparados com os resultados disponíveis na literatura e apresentaram boa concordância. / In this work is presented an approximated analytical solution for the one-dimensional slab-geometry linear transport equation by considering multigroup model and an1sotropic scattering. The main idea of this approach is based on the application of the Laplace transform into the set of the PN ordlnary d1fferential equations. This procedure leads to a linear system to be solved for the transformed angular flux by the Trzaska's algorithm. Once this system is solved, the angular flux is then obtained as a function of the angular flux at the boundary x = O by using the Heaviside's expansion tecn nique. The results achieved by th1s method for the homogenecus and heterogeneous slab-geometry problems in a finite and semi-infinite domain, considering the multigroup model and anisotropic scattering as well for the inverse problems: determination of the c parameter, criticai thickness of a slab and the incoming angular flux at the boundary, were compared with the ones available in the literature showing a very good agreement.

Neste trabalho, será analisado um problema de fluxo unidimensional e transiente de água em meio poroso não saturado, modelado pela equação não linear de Richards. Serão empregadas as relações constitutivas de Van Genuchten e desenvolvido um método híbrido de aproximantes Pad´e e decomposição de Adomian. Neste estudo, o procedimento de Adomian da forma como proposto não obtém convergência para a solução. Por consequência, apresenta-se neste trabalho, uma solução heurística parametrizada para a equação não linear de Richards, para o cálculo do fluxo vertical unidimensional e transiente. Essa solução é otimizada via mínimos quadrados e método de Newton não linear, avaliada pela equação de governo e, é comparada aos perfis numéricos do potencial matricial encontrados na literatura. O perfil do potencial matricial gerado pela solução heurística é próximo ao da solução numérica, podendo assim já ser utilizado em aplicações. Porém, essa solução heurística de- fine a inicialização da recursão de um esquema alternativo de Adomian, para a equação não linear de Richards, num trabalho futuro. / In this paper, we consider a transient one-dimensional flow problem of water in un- saturated porous media, modeled by the nonlinear Richards equation. Constitutive relations of Van Genuchten will be employed and a hybrid method of Pad´e approximants and Ado- mian decomposition is developed. In this study, the solution obtained by the procedure of Adomian, as it was proposed, did not converge. Consequently, this work presents a heuristic solution parameterized for nonlinear Richards equation with the objective to calculate the one-dimensional vertical transient flow. This solution is optimized via least squares and Newton’s nonlinear method and evaluated by the Richards nonlinear equation. The results are compared to the profiles of the numerical matrix potential in the literature. The matrix potential profile generated by the heuristic solution is close to the numerical solution. This solution defines a heuristic initialization of the recursion for an alternative Adomian scheme. This scheme will be applied to the nonlinear Richards equation, in a future work.

Submitted by MAÍRA OLIVEIRA RESENDE null (maira.resende@hotmail.com) on 2017-04-18T12:02:37Z No. of bitstreams: 1 Dissertação_CORRIGIDA-FINAL (2).pdf: 4558595 bytes, checksum: 8caec05aa372d60dfb2576f04343fb0b (MD5) / Approved for entry into archive by Luiz Galeffi (luizgaleffi@gmail.com) on 2017-04-18T12:37:32Z (GMT) No. of bitstreams: 1 resende_mo_me_araiq_par.pdf: 1248404 bytes, checksum: 3b0c0a72a0cb7d619a82160c0e4cf932 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-18T12:37:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 resende_mo_me_araiq_par.pdf: 1248404 bytes, checksum: 3b0c0a72a0cb7d619a82160c0e4cf932 (MD5) Previous issue date: 2017-03-24 / Filmes finos vítreos de calcogenetos (ChG) com adição de Ag são materiais atraentes, devido a suas importantes aplicações em óptica, optoeletrônica, química e biologia. Neste trabalho foi estudada a influência da adição de prata nas propriedades estruturais e dos fenômenos fotoinduzidos em filmes vítreos calcogenetos à base de sulfeto de arsênio. Os filmes foram depositados em lâminas de vidro pela técnica de dupla evaporação sob vácuo. Grande ênfase foi dada ao sistema Ag(x)-As40 S60 (x = 0, 15, 25, 50%). Os espectros de transmitância medidos por um espectrômetro UV/Vis/NIR, foram utilizados para a determinação de alguns parâmetros como o índice de refração utilizando o programa PARAV. Verificou-se a variação do índice de refração com a variação da concentração de enxofre e prata nos filmes. A borda de absorção dos filmes foi calculada a partir do PARAV, na qual observou-se que com o aumento da concentração de prata as energias das bordas de absorção dos filmes diminuem de 2,25 eV para 1,55 eV com 0 a 50 mol% de Ag, respectivamente. A estrutura molecular dos filmes foi elucidada por espectroscopia Raman, sugerindo que a adição de Ag à matriz vítrea induz a quebra de anéis de enxofre e de pontes dissulfeto favorecendo a criação de ligações Ag-S em unidades piramidais AgS3, bem como a formação de ligações As-As em moléculas As4S4. Os fenômenos fotoinduzidos foram estudados em função das composições dos filmes de acordo com a irradiação de um laser de estado sólido com comprimento de onda de 457 nm. Resultados sobre a variação dos índices de refração e dos coeficientes de absorção dos filmes antes e após a irradiação foram obtidos através dos espectros de transmitância, onde foi observado um aumento no índice de refração e uma diminuição da energia da borda de absorção o que caracteriza o fenômeno de fotoexpansão, devido a um aumento no volume da região irradiada, e fotoescurescimento, caracterizado por um deslocamento da borda de absorção para maiores comprimentos de onda. Sabendo que os filmes são fotossensíveis, foram gravadas redes de difração utilizando duas metodologias: com irradiação direta com um laser no estado sólido, na qual a amostra foi coberta por uma máscara e usando um espelho de Lloyd. A topografia das regiões expostas à irradiação laser foi analisada por Microscopia de Força atômica e Perfilometria, o que nos permitiu identificar a fotoexpansão nos filmes e constatar a formação das redes de difração. / Thin films based on chalcogenide glasses (ChG) with addition of Ag are attractive materials, due to its important applications in optics, optoelectronics, chemistry, and biology. In this work the influence of the addition of silver on the structural and photosensitive properties of arsenic sulfide based chalcogenide glass films was studied. Thin films were deposited on glass slides by co-evaporation technique under vacuum. A major emphasis was done on the Ag(x)-As40 S60 (x = 0, 15, 25, 50%) system. Optical transmission spectra, measured by using a UV/VIS/NIR spectrometer, were used to determine some parameters, such as the refractive index using the PARAV software. Changes in the refractive index were verified as a function of the concentration of sulfur and silver in the films. Optical band gaps of the films were calculated from the PARAV, in which it was observed that the increase of the silver concentration from 0 to 50 mol% of Ag shifts the band gap of the films from 2.25 eV to 1.55 eV. The molecular structure of the films was studied by Raman spectroscopy, suggesting that addition of Ag to the vitreous matrix induces the rupture of disulfide bonds into the sulfur rings favoring the creation of S-Ag bonds in AgS3 pyramidal units and the formation of As-As bonds in As4S4 molecules. The photoinduced phenomena were studied as a function of the compositions of the films using a solid state laser with wavelength of 457 nm. Changes in the refractive indices and in the absorption coefficients of the films, before and after irradiation, were obtained through the transmission spectra. It was observed an increasing of the refractive index and a reduction in the band gap energy. Such changes are characteristic of photoexpansion phenomenon, due to an increase in the volume of the irradiated region and photodarkening characterized by a red shift of the absorption edge. Based on the photosensitive properties of the films, diffraction gratings were recorded on the film surface using a mask over the sample and also by holographic method using a Lloyd mirror. After analysis of the topography of the films was possible to identify the the photoexpansion and to confirm the formation of the grating.

Submitted by WELLINGTON DE LIMA NOGUEIRA null (wellnogue@gmail.com) on 2018-09-11T13:34:22Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao_Wellington.pdf: 1914218 bytes, checksum: 7a8dd3c4b8a4953eeee744de302ddbbe (MD5) / Rejected by Ana Paula Rimoli de Oliveira null (anapaula@foa.unesp.br), reason: Favor incluir ficha catalográfica. on 2018-09-11T14:45:28Z (GMT) / Submitted by WELLINGTON DE LIMA NOGUEIRA null (wellnogue@gmail.com) on 2018-09-11T14:53:48Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao_Mestrado.pdf: 1866035 bytes, checksum: 7e039256c516a5a862aad1f7ea929f86 (MD5) / Approved for entry into archive by Ana Paula Rimoli de Oliveira null (anapaula@foa.unesp.br) on 2018-09-11T17:23:14Z (GMT) No. of bitstreams: 1 nogueira_wl_me_araca_int.pdf: 1866035 bytes, checksum: 7e039256c516a5a862aad1f7ea929f86 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-09-11T17:23:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 nogueira_wl_me_araca_int.pdf: 1866035 bytes, checksum: 7e039256c516a5a862aad1f7ea929f86 (MD5) Previous issue date: 2018-09-05 / Outra / O objetivo desse estudo foi comparar os resultados de rigidez do ensaio mecânico de compressão axial com a rigidez da análise por elementos Finitos (FEA), gerar modelos biomecânicos que apresentem com precisão a geometria tridimensional do osso e realizar análise pelo Método dos Elementos Finitos propondo uma metodologia para a simulação computacional mecânica de estruturas ósseas de peças de fêmures e tíbias de coelhos cadáveres. Previamente ao ensaio mecânico de compressão, fez-se uma análise mecânica da estrutura óssea, reconstruindo 20 modelos a partir de tomografia computadorizada utilizando o software de processamento de imagem ScanIP. Em seguida, foi realizada a análise mecânica de rigidez da estrutura óssea simulada pelo método dos elementos finitos 3D no software Ansys. Após construção da malha de elementos finitos, ensaios mecânicos de compressão axial foram realizados nas amostras e seus resultados de rigidez foram então comparados com os resultados de rigidez do modelo biomecânico. Nessa comparação o menor desvio apresentado foi de 0,02% e o maior desvio foi de 8,68%. A diferença entre a média da rigidez extrínseca dos ensaios foi de 1,07%. A média dos resultados para a rigidez intrínseca dos modelos biomecânicos obtidas do pós processamento foi 25258,63 N⁄mm. Concluiu-se que o uso dessa metodologia nos permitiu uma validação experimental do método dos elementos finitos aplicados à biomecânica das amostras testadas. Além disso, foi possível predizer o comportamento do osso visto que a precisão da análise é melhor quanto mais o modelo biomecânico se aproxima da estrutura real. / The aim of this study was to compare the stiffness results of the axial compression mechanical test with the FEA stiffness, to generate biomechanical models that accurately present the three- dimensional bone geometry and to perform analysis by the Finite Element Method proposing a methodology for the mechanical computational simulation of bony structures using parts of femurs and tibiae from rabbits that were healthy. Prior to mechanical compression testing, it was made a mechanical analysis of the bone structure, rebuilding 20 models from computed tomography using image processing software ScanIP. Then, it was performed mechanical analysis of stiffness of the simulated bone structure by the 3D finite element method in Ansys software. After finite element mesh construction, axial compression tests were performed on the samples and their stiffness results were compared with the stiffness results of the biomechanical model. In this comparison, the lowest deviation was 0,02% and the highest deviation was 8,68%. The difference between the mean extrinsic stiffness of the tests was 1.07%. The average of the results for the intrinsic rigidity of the biomechanical models obtained from the post-processing was 25258,63 N⁄mm. It was concluded that the use of this methodology enabled experimental validation of finite element method applied to biomechanics. Moreover, it was possible to predict the behavior of the bone because the accuracy of the analysis is better the more the biomechanical model approaches the actual structure.

Neste trabalho e apresentado um avanço na tecnica GILTT(Generalized Integral and Laplace Transform Technique) solucionando analiticamente um sistema de EDO's(Equações Diferenciais Ordinarias) de segunda ordem resultante da transformação pela GITT(Generalized Integral Transform Technique). Este tipo de problema usualmente aparece quando esta tecnica é aplicada na solução de problemas bidimensionais estacionários. A principal idéia consiste na redução de ordem do problema transformado em outro sistema de EDO's lineares de primeira ordem e a solução analítica deste problema, pela técnica da transformada de Laplace. Como exemplo de aplicação é resolvida a equação da energia linear bidimensional e estacionária. São apresentadas simulações numéricas e comparações com resultados disponíveis na literatura.

Existe um grande interesse no entendimento de escoamentos de fluidos não-Newtonianos através de contrações abruptas. Este interesse se origina na importância destes escoamentos em processos poliméricos e no freqüente uso do escoamento com contração abrupta como um problema teste para validação de métodos numéricos. As duas propriedades reológicas mais freqüentemente apontadas e estudadas nos fluidos não-Newtonianos são: a viscosidade dependente da taxa de cisalhamento e a natureza viscoelástica destes fluidos. O caráter viscoelástico do fluido é descrito pelo número de Deborah. Na sua definição usual, o número de Deborah envolve as propriedades elásticas do fluido, isto é, o coeficiente primário de tensão normal ou tempo de relaxação terminal originado dos experimentos com tensões de relaxação. Para caracterizar a viscosidade pseudoplástica dos fluidos não-Newtonianos, utiliza-se a equação viscosidade de Carreau, a qual emprega uma viscosidade para baixas taxas de cisalhamento, um tempo característico igual ao recíproco da taxa de cisalhamento na qual se dá o início da pseudoplasticidade, e a inclinação da região power-law da viscosidade para altas taxas de cisalhamento. Ao número de Deborah, pode-se definir o número de Carreau de modo que ele possa ser utilizado para medir o efeito pseudoplástico nos escoamentos não-Newtonianos. A metodologia de elementos finitos utilizada, conhecida como método Galerkin Mínimos Quadrados (GLS), supera as dificuldades enfrentadas pelo método de Galerkin clássico em escoamentos sujeitos a altos números de Reynolds, a saber: a compatibilização dos subespaços de velocidade e pressão – satisfazendo deste modo a condição denominada de Babuška-Brezzi – e as oscilações espúrias devido a natureza assimétrica da aceleração convectiva da equação de momentum. O método GLS, adicionando termos malha-dependentes à formulação clássica de Galerkin, aumenta a formulação de Galerkin sem, contudo, prejudicar sua consistência. Esta dissertação objetiva a modelagem mecânica e simulação numérica via o método de Galerkin Mínimos-Quadrados, de escoamentos planares e axissimétricos de fluidos pseudoplásticos de Carreau através de contrações abruptas. / There is a great interest in understanding the flow of non-Newtonian fluids through sudden contractions. This interest arises from the importance of these flows in polymeric processes and in the frequent use of the flow with sudden contraction as a problem test for validation of numeric methods. The two most frequently mentioned and studied rheological properties of non-Newtonian fluids are the shear rate dependent viscosity and the viscoelastic nature of these fluids. The Deborah number describes the viscoelastic characteristic of the fluid. The Deborah number, in its basic definition, involves the elastic properties of the fluid, i.e., the primary coefficient of normal tension or time of terminal relaxation, originating experiments with relaxed tensions. The pseudoplastic viscosity of non-Newtonian fluids, usually the Carreau viscosity equation, is characterized by the employment of a low rate shear viscosity, a characteristic time - equal to the reciprocal of the shear rates in the beginning of the pseudoplasticity - and the slope of the power-law region of the viscosity for high shear rates. The Carreau number, with the Deborah number, can be used to measure the pseudoplastic effect in non-Newtonian flows. The finite elements method employed in this work, known as the Galerkin least-squares method (GLS), improve on the difficulties faced by the classic Galerkin method in flows subjected to high Reynolds numbers, i.e., the compatibility of sub-spaces of velocity and pressure (the Babuška-Brezzi condition) and the spurious oscillations due to the asymmetric nature of the convective acceleration of the momentum equation. The GLS method, adding mesh-dependents terms to the classic formulation of Galerkin, increases its stability without harm its consistency. This work has as main objective the mechanical modeling and numerical simulation, via the GLS method, of planar and axisymmetric flow of Carreau pseudoplastic fluids through an abrupt 4:1 contraction. In order to take into account the inertia and pseudoplastic effects, the Reynolds and Carreau numbers and power-law coefficient have been investigated within a range of 0<Re<100 and 0<Cu<100 and 0,2<n<1,0, respectively. All numerical results shown to be physically relevant and in accordance with the literature.

Neste trabalho apresentamos uma solução analítica para equações difusivas unidimensionais em geometria cilíndrica da Teoria geral de Perturbação em um cilindro homogêneo pela transformada de Hankel. Apresentamos soluções analíticas para o problema de fonte fixa. Resolvemos também um caso monoenergético em um cilindro heterogêneo utilizando uma fomulação recursiva e também usando a Transformada de Hankel. Foi obtida também uma solução analítica dependente do tempo utilizando a Transformada Finita de Hankel. Conhecendo o fluxo de nêutrons, exceto por constantes de integração aplicamos condições de contorno e de interface, após avaliar estas constantes de integração, obtemos a formulação final para o fluxo nestes casos. Os resultados obtidos neste trabalho foram comparados com a literatura, bem como algumas aproximações especificadas e devidamente explicadas ao longo deste. / In this work we present an analytical solution for the one-dimensional diffusion equation in cylindrical geometry from Perturbation Theory inside a homogeneous cylinder by the Hankel Transform. We present analytical solutions for fixed source problem. We solved also a monoenergetic case inside a heterogeneous cylinder using a recursive formulation together with the Hankel Transform. We obtained an analytical solution for the time-dependent diffusion equation using the Finite Hankel Transform. Once the flux of neutrons except for a constant of integration, we apply boundary and interface conditions. After evaluating this constants we obtain the final flux. The obtained results of this work are compared with the literature, as well as some specific approximations are explain throughout this work.