Le but de cette thèse est d'étudier la structure galoisienne de torseurs sous des schémas en groupes finis (ou quasi-finis) et plats. Pour cela, nous utilisons (et généralisons) un homomorphisme défini par W. Waterhouse, ainsi que le << class invariant homomorphism >> défini par M. J. Taylor.<br /><br />Dans le chapitre I, nous étudions les propriétés fonctorielles de ces homomorphismes. Nous en déduisons une généralisation de résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas concernant le noyau du class invariant homomorphism pour les variétés abéliennes ayant partout bonne réduction qui sont isogènes à un produit de courbes elliptiques.<br /><br />Dans le chapitre II, nous donnons une lecture du class invariant homomorphism dans le langage des 1-motifs.<br /><br />Dans le chapitre III, nous généralisons la construction du class invariant homomorphism pour un sous-groupe fini et plat d'un schéma en groupes semi-stable (sur un schéma de base intègre, normal et noethérien) dont la fibre générique est une variété abélienne. Nous étendons également les résultats de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas à cette situation.<br /><br />Dans le chapitre IV, nous généralisons la construction du chapitre III en considérant un sous-groupe fermé, quasi-fini et plat du modèle de Néron d'une variété abélienne (la base étant un schéma de Dedekind). Ceci nous permet de généraliser un résultat arakélovien du à Agboola et Pappas.

On sait que le nombre de racines réelles d’un polynôme à une variable de degré d et à coefficients réels est compris entre 0 et d. Au début des années 90, E. Kostlan prouve que le nombre moyen de racines vaut racine carrée de d, lorsque ces polynômes sont équipées d’une mesure de probabilité adéquate. Ce résultat possède une interprétation géométrique, où les polynômes apparaissent comme sections au-dessus de la sphère de Riemann, et ils peuvent s’étendre au cadre plus général de sections de fibrés en droites amples sur une surface de Riemann. Il s’agit ici du calcul de l’espérance mathématique du nombre de racines réelles de ces polynômes ou sections. Dans cette thèse, on calcule tous les moments centrés de ces variable aléatoires. Comme application de ce calcul, on prouve que la mesure de l’ensemble des polynômes ou sections dont le nombre de racines s’ écartent de la moyenne est majoré de façon effective en fonction de cet écart, un résultat de type concentration de la mesure en probabilité. Dans une deuxième partie, on présente des résultats analogue dans la théorie de Hurwitz réelle, où plutôt que du nombre de racines réelles d’un polynôme aléatoire, on considère le nombre de points critiques réels d’un revêtement ramifié aléatoire de la sphère de Riemann. On calcul la moyenne et tous les moments centrés du nombre de points critiques réels d'un revêtement aléatoire.Les techniques employées dans la preuve de ces résultats sont de nature analytique (noyau de Bergman, estimées L^2) et géométriques (multi-espaces d'Olver, formule de la coaire) / It is well known that the number of real roots of a real degree d polynomial is at most d. In the 90s, E. Kostlan proved that the average number of real roots equals the square root of d, once we equip the space of polynomials with some natural Gaussian measure. This result has a geometric interpretation, in which the real polynomials are sections of a line bundle over the Riemann sphere. We can extend this study in a more general case of a real Riemann surface equipped with ample line bundle and study the expected value of the number of real zeros of a random section. In this thesis, we compute all the central moments of these random variables. As an application, we prove that the measure of the space of real sections whose number of real zeros deviates from the expected one goes to zeros, as the degree of the line bundle goes to infinity.In a second part, we present analogues results in real Hurwitz theory, in which we study the real critical points of a random branched covering of the Riemann sphere. We compute the expected value of this number and also all the central moments.The techniques we use are of analytique nature (Bergman kernel, L^2 estimates) and gometric one (Olver multispaces, coarea formula)

L'objectif de cette thèse consiste en l'étude du revêtement universel des variétés kählériennes compactes, de leurs systèmes pluricanoniques et des liens qui les unissent. Dans un premier temps, nous étudions la $\Gamma$-réduction d'une variété kählérienne compacte vue comme quotient de Remmert biméromorphe de son revêtement universel. La dimension de l'espace quotient est par définition la $\Gamma$-dimension d'une telle variété. Les grandes lignes de l'étude de cet invariant sont les suivantes : lien avec l'existence de formes holomorphes $L^2$ sur le revêtement universel, comportement de la $\Gamma$-dimension dans les fibrations, place de la $\Gamma$-réduction dans la théorie de la classification, structure des variétés de type $\pi_1$-général (au moins en petite dimension). La fin de cette première partie est consacrée à l'étude de l'invariance par déformation de la $\Gamma$-dimension en dimension 3. Cette propriété est établie dans diverses situations, par exemple dans les cas des familles de variétés kählériennes qui ne sont pas de type général. La deuxième partie porte sur la méthode One-Tower d'extension de formes pluricanoniques. Nous mettons en effet cette partie à profit pour montrer comment adapter cette méthode dans différentes situations. Ainsi, après quelques rappels sur les différentes notions de positivité des fibrés en droites et sur les idéaux multiplicateurs, nous établissons des résultats d'extension de sections pluricanoniques dans les contextes suivants : famille projective de variétés (avec fibré canonique tordu par un fibré en droites pseudo-effectif), hypersurface d'une variété projective, fibre générale de la $\Gamma$-réduction pour les variétés de type général et famille des revêtements universels.

On étudie la notion de trace et les problèmes d'Abel-inverse à<br />l'aide du calcul résiduel dans les cadres projectifs et toriques.<br />Dans la première partie, on obtient une caractérisation algébrique des formes traces sur une hypersurface analytique à l'aide du calcul résiduel élémentaire d'une variable. En conséquence, une version plus forte du théorème d'Abel-inverse de Henkin et Passare est prouvée. On montre que ce théorème est conséquence de la rigidité d'un système différentiel particulier lié à une équation de type ”onde de choc” et on établit le lien avec le théorème de Wood sur l'algébricité d'une famille de germes d'hypersurfaces analytiques. Enfin, on obtient une nouvelle méthode pour calculer la dimension de l'espace des formes abéliennes de degré maximal sur une hypersurface projective.<br />Dans la seconde partie, on caractérise de manière combinatoire les familles de fibrés en droites permettant de définir une notion intrinsèque de concavité dans une variété torique complète lisse et on étudie les ensembles analytiques dégénérés correspondants. On étend ainsi la notion de trace au cas torique. Courants résidus, résidus toriques et résultants donnent une borne optimale sur le degrés des traces en les différents paramètres. Si la variété torique est projective, on obtient finalement une version torique des théorèmes de Wood et d'Abel-inverse, permettant une description plus précise du support du polynôme construit dans le cas hypersurface.

Les coefficients de Kronecker, qui sont indexés par des triplets de partitions et décrivent la décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles d'un groupe symétrique en somme directe de telles représentations, ont été introduits par Francis Murnaghan dans les années 1930. Il a notamment remarqué un comportement particulier de ces coefficients : à partir de n'importe quel triplet de partitions, on peut construire une certaine suite de coefficients de Kronecker qui est stationnaire.Afin de généraliser cette propriété, John Stembridge a introduit en 2014 une notion de stabilité pour les triplets de partitions, ainsi qu'une autre notion -- celle de triplet faiblement stable -- dont il a conjecturé qu'elle serait équivalente à la précédente. Cette conjecture a été démontrée peu après par Steven Sam et Andrew Snowden, par des méthodes algébriques.Dans cette thèse, on donne notamment une autre démonstration -- cette fois géométrique -- de cette équivalence grâce à l'interprétation classique des coefficients de Kronecker comme dimensions d'espaces de sections de fibrés en droites sur des variétés de drapeaux. Ces méthodes permettent également de s'intéresser à quelques questions plus précises : la stabilité dont on parle consiste en le fait que certaines suites de coefficients sont stationnaires, et on se demande à partir de quand ces suites deviennent constantes.On applique ensuite ces techniques à d'autres exemples de coefficients de branchement, puis on s'intéresse à un autre problème : celui de produire des triplets stables de partitions. On généralise ainsi un résultat obtenu indépendamment par Laurent Manivel et Ernesto Vallejo sur ce sujet / The Kronecker coefficients, which are indexed by triples of partitions and describe how the tensor product of two irreducible representations of the symmetric group decomposes as a direct sum of such representations, were introduced by Francis Murnaghan in the 1930s. He notably noticed a remarkable behaviour of these coefficients: from any triple of partitions, one can construct a particular sequence of Kronecker coefficients which eventually stabilises.In order to generalise this property, John Stembridge introduced in 2014 a notion of stability for triples of partitions, as well as another notion -- of weakly stable triple -- about which he conjectured that it should be equivalent to the previous one. This conjecture was proven shortly after by Steven Sam and Andrew Snowden, with algebraic methods.In this thesis we especially give another proof -- this time geometric -- of this equivalence, using the classical expression of the Kronecker coefficients as dimensions of spaces of sections of line bundles on flag varieties. With these methods we can also be interested in more specific questions: since the stability which we discuss means that some sequences of coefficients stabilise, one can wonder at which point these sequences become constant.We then apply these techniques to other examples of branching coefficients, and are also interested in another problem: how can we produce stable triples of partitions? We thus generalise a result obtained independently by Laurent Manivel and Ernesto Vallejo on this subject

Soit G un groupe algébrique linéaire complexe, simple, connexe et simplement connexe. Étant donné un sous-groupe parabolique P G et un idéal nilpotent n p, il existe un morphisme propre d’effondrement G x P n = Gn. Il se factorise en une variété affine et normale N := SpecC [G P n] que nous appelons variété nilpotente. Sous l’hypothèse que l’effondrement soit génériquement fini, nous décrivons le groupe des classes de diviseurs équivariants de N à l’aide de C[N]-modules réflexifs équivariants de rang 1. Un représentant de chaque classe peut être choisi comme les sections globales d’un fibré en droite sur G x P' n' où G x P' n' = Gn' est un effondrement possiblement distinct qui se factorise à travers la même variété nilpotente. Dans le cas où le groupe G est de type A ou dans le cas d’un effondrement provenant de certains diagrammes de Dynkin pondérés spécifiques, nous démontrons que les représentants proviennent de poids qui peuvent être choisis comme dominants. Dans ce cas, nous démontrons que si le module représente un élément torsion du groupe des classes, alors il est Cohen–Macaulay. Nous en déduisons un théorème d’annulation en cohomologie. / Let G be a simple, connected, simply connected complex linear algebraic group with parabolic subgroup P G and nilpotent ideal n p. The proper collapsing map G x P n = Gn factors through the normal affine variety N := SpecC [G x P n] which is called a nilpotent variety. Assuming the collapsing is generically finite, we describe the equivariant divisor class group of N using rank 1 reflexive equivariant C[N]-modules. A representative of each class may be chosen as global sections of a line bundle over G x P' n' where G x P' n' = Gn' is a possibly distinct collapsing that factors through the same nilpotent variety. Assuming either G is of type A or the collapsing comes from specific weighted Dynkin diagrams,we showthat each representative arise from a weight that may be chosen dominant. Moreover, if the module represents a torsion element within the class group, then it is Cohen– Macaulay and we deduce a cohomological vanishing theorem.