It is commonly expected, that the entanglement entropy for eigenstates of quantum chaotic systems can be described by random matrix theory. However, the random matrix predictions account for structureless random states, only. It is unclear, how the subsystem structure of actual bipartite systems influences the entanglement. We investigate the effect of such a structure on the bipartite entanglement for eigenstates of time-periodically kicked Floquet systems. To this end, the expression for the eigenstate entanglement is transferred into a dynamical quantity, which is particularly suited for an evaluation using analytical methods for time evolution. We present three approaches and apply each to an appropriate minimal model. Based on the supersymmetry method, we compute the entanglement of structureless random matrices and thereby establish exact results for the entropy of random matrix eigenstates. The Weingarten calculus is used for computing the entanglement of an inherent bipartite random matrix ensemble. Moreover, based on semiclassical path integrals, we devise a trace formula, which quantifies entanglement of chaotic Floquet systems in terms of classical orbits. We thereby show, that the entanglement of strongly coupled bipartite Floquet systems coincides in the semiclassical limit with the entanglement of structureless random matrices. Several possible generalizations of our methods to autonomous systems and other entropies are discussed.:1. Introduction 2. Fundamentals on bipartite systems and entanglement 2.1. Classical and quantum chaotic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1. Classical mechanical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2. Quantum systems and random matrix theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Bipartite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. Objective of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Random matrix methods for entanglement in bipartite chaotic systems 3.1. Entropy formulation in terms of Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Weingarten calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1. Spectral form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.2. Inverse participation ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.3. Linear entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Linear entropy by the supersymmetry method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1. Gaussian integrals and the generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2. Supersymmetric integrals and generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.3. Entropy of the CUE case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. Semiclassical method for entanglement in bipartite chaotic systems 4.1. Path integrals and trace formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.1. Path integral formulation of propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.2. Trace formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2. Rescaled path integral formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.1. Spectral form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.2. Linear entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.3. Order \hbar correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5. Generalizations 5.1. Supersymmetry method for bipartite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2. Resummation via Cayley-Hamilton inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3. Havrda-Charvát-Tsallis entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.4. Autonomous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.5. Entanglement generated by a time evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6. Summary and outlook Appendix A. Weingarten calculus for the first steps of the IPR signal function . . . . . . . . . . .99 B. Color-Flavor transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C. Detailed calculation of moments using SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 D. Integral I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 E. Stationary phase approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 F. Ergodic average of the coupling term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 List of Figures List of Tables / Es wird üblicherweise angenommen, dass die Verschränkungsentropie von Eigenzuständen quantenchaotischer Systeme durch die Theorie der Zufallsmatrizen beschrieben wird. Diese Zufallsmatrixvorhersage bezieht sich nur auf strukturlose Zufallszustände. Es ist nicht klar, wie sich die Subsystemstruktur realer, bipartiter Systeme auf die Verschränkung auswirkt. Wir untersuchen die Konsequenzen einer solchen Struktur auf die bipartite Verschränkung der Eigenzustände von zeit-periodisch gestoßenen Floquet-Systemen. Dazu wird der Ausdruck für die Eigenzustandsverschränkung in eine dynamische Größe überführt, welche besonders geeignet ist für die Anwendung analytischer Methoden zur Zeitentwicklung. Wir präsentieren drei Ansätze und wenden jeden auf ein zugehöriges minimales Modell an. Basierend auf der Supersymmetriemethode berechnen wir die Verschränkung in strukturlosen Zufallsmatrizen und erhalten exakte Resultate für die Entropie von Zufallsmatrixeigenzuständen. Der Weingarten-Formalismus wird genutzt, um die Verschränkung in einem inhärent bipartiten Zufallsmatrixmodell zu berechnen. Außerdem stellen wir, basierend auf semiklassischen Pfad-Integralen, eine Spurformel auf, welche die Verschränkung in chaotischen Floquet-Systemen mittels klassischer Orbits ausdrückt. Wir zeigen über diesen Weg, dass die Verschränkung in stark gekoppelten, bipartiten Floquet-Systemen im semiklassischen Limes mit der Verschränkung in strukturlosen Zufallsmatrizen übereinstimmt. Es werden mehrere Verallgemeinerungen unserer Methoden für autonome Systeme und andere Entropien diskutiert.:1. Introduction 2. Fundamentals on bipartite systems and entanglement 2.1. Classical and quantum chaotic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1. Classical mechanical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2. Quantum systems and random matrix theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Bipartite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. Objective of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Random matrix methods for entanglement in bipartite chaotic systems 3.1. Entropy formulation in terms of Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Weingarten calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1. Spectral form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.2. Inverse participation ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.3. Linear entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Linear entropy by the supersymmetry method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1. Gaussian integrals and the generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2. Supersymmetric integrals and generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.3. Entropy of the CUE case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. Semiclassical method for entanglement in bipartite chaotic systems 4.1. Path integrals and trace formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.1. Path integral formulation of propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.2. Trace formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2. Rescaled path integral formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.1. Spectral form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.2. Linear entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.3. Order \hbar correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5. Generalizations 5.1. Supersymmetry method for bipartite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2. Resummation via Cayley-Hamilton inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3. Havrda-Charvát-Tsallis entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.4. Autonomous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.5. Entanglement generated by a time evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6. Summary and outlook Appendix A. Weingarten calculus for the first steps of the IPR signal function . . . . . . . . . . .99 B. Color-Flavor transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C. Detailed calculation of moments using SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 D. Integral I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 E. Stationary phase approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 F. Ergodic average of the coupling term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 List of Figures List of Tables

The asymptotic state of a quantum system, which is in contact with a heat bath, is strongly disturbed by a time-periodic driving in comparison to a time-independent system. In this thesis an extensive picture of the asymptotic state of time-periodic quantum systems is drawn by relating it to the structure of the corresponding classical phase space. To this end the occupation probabilities of the Floquet states are analyzed with respect to their semiclassical property of being either regular or chaotic. The regular Floquet states are occupied with exponential weights e^{-betaeff Ereg} similar to the canonical weights e^{-beta E} of time-independent systems. The regular energies Ereg are defined by the quantization of the time-periodic system, whose classical properties also determine the effective temperature 1/betaeff. In contrast, the chaotic Floquet states acquire almost equal probabilities, irrespective of their time-averaged energy. Beyond these semiclassical properties the existence of avoided crossings in the spectrum is an intrinsic quantum property of time-periodic systems. Avoided crossings can strongly influence the entire occupation distribution. As an impressive application a novel switching mechanism is proposed in a periodically driven double well potential coupled to a heat bath. By a weak variation of the driving amplitude its asymptotic state is switched from the ground state in one well to a state with higher average energy in the other well. / Der asymptotische Zustand eines Quantensystems, das in Kontakt mit einem Wärmebad steht, wird durch einen zeitlich periodischen Antrieb gegenüber einem zeitunabhängigen System nachhaltig verändert. In dieser Arbeit wird ein umfassendes Bild über den asymptotischen Zustand zeitlich periodischer Quantensysteme entworfen, indem es diesen zur Struktur des zugehörigen klassischen Phasenraums in Beziehung setzt. Dazu werden die Besetzungswahrscheinlichkeiten der Floquet-Zustände hinsichtlich ihrer semiklassischen Eigenschaft analysiert, nach welcher sie entweder regulär oder chaotisch sind. Die regulären Floquet-Zustände sind mit exponentiellen Gewichten e^{-betaeff Ereg} ähnlich der kanonischen Verteilung e^{-beta E} zeitunabhängiger Systeme besetzt. Dabei sind die reguläre Energien Ereg durch die Quantisierung des Systems vorgegeben, dessen klassische Eigenschaften auch die effektive Temperatur 1/betaeff bestimmen. Die chaotischen Zustände dagegen haben fast einheitliche Besetzungswahrscheinlichkeiten, welche unabhängig von ihrer mittleren Energie sind. Über diese semiklassischen Eigenschaften hinaus ist das Auftreten von vermiedenen Kreuzungen im Spektrum eine intrinsisch quantenmechanische Eigenschaft zeitlich periodischer Systeme. Diese können die gesamte Besetzungsverteilung nachhaltig beeinflussen und finden eine eindrucksvolle Anwendung in Form eines neuartigen Schaltmechanismus in einem harmonisch modulierten Doppelmuldenpotential in Kontakt mit einem Wärmebad. Der asymptotische Zustand kann unter geringer Variation der Antriebsamplitude vom Grundzustand der einen Mulde in einen Zustand höherer mittlerer Energie in der anderen Mulde geschaltet werden.

Bose-Einstein condensation is a collective quantum phenomenon where a macroscopic number of bosons occupies the lowest quantum state. For fixed temperature, bosons condense above a critical particle density. This phenomenon is a consequence of the Bose-Einstein distribution which dictates that excited states can host only a finite number of particles so that all remaining particles must form a condensate in the ground state. This reasoning applies to thermal equilibrium. We investigate the fate of Bose condensation in nonisolated systems of noninteracting Bose gases driven far away from equilibrium. An example of such a driven-dissipative scenario is a Floquet system coupled to a heat bath. In these time-periodically driven systems, the particles are distributed among the Floquet states, which are the solutions of the Schrödinger equation that are time periodic up to a phase factor. The absence of the definition of a ground state in Floquet systems raises the question, whether Bose condensation survives far from equilibrium. We show that Bose condensation generalizes to an unambiguous selection of multiple states each acquiring a large occupation proportional to the total particle number. In contrast, the occupation numbers of nonselected states are bounded from above. We observe this phenomenon not only in various Floquet systems, i.a. time-periodically-driven quartic oscillators and tight-binding chains, but also in systems coupled to two baths where the population of one bath is inverted. In many cases, the occupation numbers of the selected states are macroscopic such that a fragmented condensation is formed according to the Penrose-Onsager criterion. We propose to control the heat conductivity through a chain by switching between a single and several selected states. Furthermore, the number of selected states is always odd except for fine-tuning. We provide a criterion, whether a single state (e.g., Bose condensation) or several states are selected. In open systems, which exchange also particles with their environment, the nonequilibrium steady state is determined by the interplay between the particle-number-conserving intermode kinetics and particle-number-changing pumping and loss processes. For a large class of model systems, we find the following generic sequence when increasing the pumping: For small pumping, no state is selected. The first threshold, where the stimulated emission from the gain medium exceeds the loss in a state, is equivalent to the classical lasing threshold. Due to the competition between gain, loss and intermode kinetics, further transitions may occur. At each transition, a single state becomes either selected or deselected. Counterintuitively, at sufficiently strong pumping, the set of selected states is independent of the details of the gain and loss. Instead, it is solely determined by the intermode kinetics like in closed systems. This implies equilibrium condensation when the intermode kinetics is caused by a thermal environment. These findings agree well with observations of exciton-polariton gases in microcavities. In a collaboration with experimentalists, we observe and explain the pump-power-driven mode switching in a bimodal quantum-dot micropillar cavity. / Die Bose-Einstein-Kondensation ist ein Quantenphänomen, bei dem eine makroskopische Zahl von Bosonen den tiefsten Quantenzustand besetzt. Die Teilchen kondensieren, wenn bei konstanter Temperatur die Teilchendichte einen kritischen Wert übersteigt. Da die Besetzungen von angeregten Zuständen nach der Bose-Einstein-Statistik begrenzt sind, bilden alle verbleibenden Teilchen ein Kondensat im Grundzustand. Diese Argumentation ist im thermischen Gleichgewicht gültig. In dieser Arbeit untersuchen wir, ob die Bose-Einstein-Kondensation in nicht wechselwirkenden Gasen fern des Gleichgewichtes überlebt. Diese Frage stellt sich beispielsweise in Floquet-Systemen, welche Energie mit einer thermischen Umgebung austauschen. In diesen zeitperiodisch getriebenen Systemen verteilen sich die Teilchen auf Floquet-Zustände, die bis auf einen Phasenfaktor zeitperiodischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung. Die fehlende Definition eines Grundzustandes wirft die Frage nach der Existenz eines Bose-Kondensates auf. Wir finden eine Generalisierung der Bose-Kondensation in Form einer Selektion mehrerer Zustände. Die Besetzung in jedem selektierten Zustand ist proportional zur Gesamtteilchenzahl, während die Besetzung aller übrigen Zustände begrenzt bleibt. Wir beobachten diesen Effekt nicht nur in Floquet-Systemen, z.B. getriebenen quartischen Fallen, sondern auch in Systemen die an zwei Wärmebäder gekoppelt sind, wobei die Besetzung des einen invertiert ist. In vielen Fällen ist die Teilchenzahl in den selektierten Zuständen makroskopisch, sodass nach dem Penrose-Onsager Kriterium ein fragmentiertes Kondensat vorliegt. Die Wärmeleitfähigkeit des Systems kann durch den Wechsel zwischen einem und mehreren selektierten Zuständen kontrolliert werden. Die Anzahl der selektierten Zustände ist stets ungerade, außer im Falle von Feintuning. Wir beschreiben ein Kriterium, welches bestimmt, ob es nur einen selektierten Zustand (z.B. Bose-Kondensation) oder viele selektierte Zustände gibt. In offenen Systemen, die auch Teilchen mit der Umgebung austauschen, ist der stationäre Nichtgleichgewichtszustand durch ein Wechselspiel zwischen der (Teilchenzahl-erhaltenden) Intermodenkinetik und den (Teilchenzahl-ändernden) Pump- und Verlustprozessen bestimmt. Für eine Vielzahl an Modellsystemen zeigen wir folgendes typisches Verhalten mit steigender Pumpleistung: Zunächst ist kein Zustand selektiert. Die erste Schwelle tritt auf, wenn der Gewinn den Verlust in einer Mode ausgleicht und entspricht der klassischen Laserschwelle. Bei stärkerem Pumpen treten weitere Übergänge auf, an denen je ein einzelner Zustand entweder selektiert oder deselektiert wird. Schließlich ist die Selektion überraschenderweise unabhängig von der Charakteristik des Pumpens und der Verlustprozesse. Die Selektion ist vielmehr ausschließlich durch die Intermodenkinetik bestimmt und entspricht damit den oben beschriebenen geschlossenen Systemen. Ist die Kinetik durch ein thermisches Bad hervorgerufen, tritt wie im Gleichgewicht eine Grundzustands-Kondensation auf. Unsere Theorie ist in Übereinstimmung mit experimentellen Beobachtungen von Exziton-Polariton-Gasen in Mikrokavitäten. In einer Kooperation mit experimentellen Gruppen konnten wir den Modenwechsel in einem bimodalen Quantenpunkt-Mikrolaser erklären.

Bose-Einstein condensation is a collective quantum phenomenon where a macroscopic number of bosons occupies the lowest quantum state. For fixed temperature, bosons condense above a critical particle density. This phenomenon is a consequence of the Bose-Einstein distribution which dictates that excited states can host only a finite number of particles so that all remaining particles must form a condensate in the ground state. This reasoning applies to thermal equilibrium. We investigate the fate of Bose condensation in nonisolated systems of noninteracting Bose gases driven far away from equilibrium. An example of such a driven-dissipative scenario is a Floquet system coupled to a heat bath. In these time-periodically driven systems, the particles are distributed among the Floquet states, which are the solutions of the Schrödinger equation that are time periodic up to a phase factor. The absence of the definition of a ground state in Floquet systems raises the question, whether Bose condensation survives far from equilibrium. We show that Bose condensation generalizes to an unambiguous selection of multiple states each acquiring a large occupation proportional to the total particle number. In contrast, the occupation numbers of nonselected states are bounded from above. We observe this phenomenon not only in various Floquet systems, i.a. time-periodically-driven quartic oscillators and tight-binding chains, but also in systems coupled to two baths where the population of one bath is inverted. In many cases, the occupation numbers of the selected states are macroscopic such that a fragmented condensation is formed according to the Penrose-Onsager criterion. We propose to control the heat conductivity through a chain by switching between a single and several selected states. Furthermore, the number of selected states is always odd except for fine-tuning. We provide a criterion, whether a single state (e.g., Bose condensation) or several states are selected. In open systems, which exchange also particles with their environment, the nonequilibrium steady state is determined by the interplay between the particle-number-conserving intermode kinetics and particle-number-changing pumping and loss processes. For a large class of model systems, we find the following generic sequence when increasing the pumping: For small pumping, no state is selected. The first threshold, where the stimulated emission from the gain medium exceeds the loss in a state, is equivalent to the classical lasing threshold. Due to the competition between gain, loss and intermode kinetics, further transitions may occur. At each transition, a single state becomes either selected or deselected. Counterintuitively, at sufficiently strong pumping, the set of selected states is independent of the details of the gain and loss. Instead, it is solely determined by the intermode kinetics like in closed systems. This implies equilibrium condensation when the intermode kinetics is caused by a thermal environment. These findings agree well with observations of exciton-polariton gases in microcavities. In a collaboration with experimentalists, we observe and explain the pump-power-driven mode switching in a bimodal quantum-dot micropillar cavity. / Die Bose-Einstein-Kondensation ist ein Quantenphänomen, bei dem eine makroskopische Zahl von Bosonen den tiefsten Quantenzustand besetzt. Die Teilchen kondensieren, wenn bei konstanter Temperatur die Teilchendichte einen kritischen Wert übersteigt. Da die Besetzungen von angeregten Zuständen nach der Bose-Einstein-Statistik begrenzt sind, bilden alle verbleibenden Teilchen ein Kondensat im Grundzustand. Diese Argumentation ist im thermischen Gleichgewicht gültig. In dieser Arbeit untersuchen wir, ob die Bose-Einstein-Kondensation in nicht wechselwirkenden Gasen fern des Gleichgewichtes überlebt. Diese Frage stellt sich beispielsweise in Floquet-Systemen, welche Energie mit einer thermischen Umgebung austauschen. In diesen zeitperiodisch getriebenen Systemen verteilen sich die Teilchen auf Floquet-Zustände, die bis auf einen Phasenfaktor zeitperiodischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung. Die fehlende Definition eines Grundzustandes wirft die Frage nach der Existenz eines Bose-Kondensates auf. Wir finden eine Generalisierung der Bose-Kondensation in Form einer Selektion mehrerer Zustände. Die Besetzung in jedem selektierten Zustand ist proportional zur Gesamtteilchenzahl, während die Besetzung aller übrigen Zustände begrenzt bleibt. Wir beobachten diesen Effekt nicht nur in Floquet-Systemen, z.B. getriebenen quartischen Fallen, sondern auch in Systemen die an zwei Wärmebäder gekoppelt sind, wobei die Besetzung des einen invertiert ist. In vielen Fällen ist die Teilchenzahl in den selektierten Zuständen makroskopisch, sodass nach dem Penrose-Onsager Kriterium ein fragmentiertes Kondensat vorliegt. Die Wärmeleitfähigkeit des Systems kann durch den Wechsel zwischen einem und mehreren selektierten Zuständen kontrolliert werden. Die Anzahl der selektierten Zustände ist stets ungerade, außer im Falle von Feintuning. Wir beschreiben ein Kriterium, welches bestimmt, ob es nur einen selektierten Zustand (z.B. Bose-Kondensation) oder viele selektierte Zustände gibt. In offenen Systemen, die auch Teilchen mit der Umgebung austauschen, ist der stationäre Nichtgleichgewichtszustand durch ein Wechselspiel zwischen der (Teilchenzahl-erhaltenden) Intermodenkinetik und den (Teilchenzahl-ändernden) Pump- und Verlustprozessen bestimmt. Für eine Vielzahl an Modellsystemen zeigen wir folgendes typisches Verhalten mit steigender Pumpleistung: Zunächst ist kein Zustand selektiert. Die erste Schwelle tritt auf, wenn der Gewinn den Verlust in einer Mode ausgleicht und entspricht der klassischen Laserschwelle. Bei stärkerem Pumpen treten weitere Übergänge auf, an denen je ein einzelner Zustand entweder selektiert oder deselektiert wird. Schließlich ist die Selektion überraschenderweise unabhängig von der Charakteristik des Pumpens und der Verlustprozesse. Die Selektion ist vielmehr ausschließlich durch die Intermodenkinetik bestimmt und entspricht damit den oben beschriebenen geschlossenen Systemen. Ist die Kinetik durch ein thermisches Bad hervorgerufen, tritt wie im Gleichgewicht eine Grundzustands-Kondensation auf. Unsere Theorie ist in Übereinstimmung mit experimentellen Beobachtungen von Exziton-Polariton-Gasen in Mikrokavitäten. In einer Kooperation mit experimentellen Gruppen konnten wir den Modenwechsel in einem bimodalen Quantenpunkt-Mikrolaser erklären.

The asymptotic state of a quantum system, which is in contact with a heat bath, is strongly disturbed by a time-periodic driving in comparison to a time-independent system. In this thesis an extensive picture of the asymptotic state of time-periodic quantum systems is drawn by relating it to the structure of the corresponding classical phase space. To this end the occupation probabilities of the Floquet states are analyzed with respect to their semiclassical property of being either regular or chaotic. The regular Floquet states are occupied with exponential weights e^{-betaeff Ereg} similar to the canonical weights e^{-beta E} of time-independent systems. The regular energies Ereg are defined by the quantization of the time-periodic system, whose classical properties also determine the effective temperature 1/betaeff. In contrast, the chaotic Floquet states acquire almost equal probabilities, irrespective of their time-averaged energy. Beyond these semiclassical properties the existence of avoided crossings in the spectrum is an intrinsic quantum property of time-periodic systems. Avoided crossings can strongly influence the entire occupation distribution. As an impressive application a novel switching mechanism is proposed in a periodically driven double well potential coupled to a heat bath. By a weak variation of the driving amplitude its asymptotic state is switched from the ground state in one well to a state with higher average energy in the other well. / Der asymptotische Zustand eines Quantensystems, das in Kontakt mit einem Wärmebad steht, wird durch einen zeitlich periodischen Antrieb gegenüber einem zeitunabhängigen System nachhaltig verändert. In dieser Arbeit wird ein umfassendes Bild über den asymptotischen Zustand zeitlich periodischer Quantensysteme entworfen, indem es diesen zur Struktur des zugehörigen klassischen Phasenraums in Beziehung setzt. Dazu werden die Besetzungswahrscheinlichkeiten der Floquet-Zustände hinsichtlich ihrer semiklassischen Eigenschaft analysiert, nach welcher sie entweder regulär oder chaotisch sind. Die regulären Floquet-Zustände sind mit exponentiellen Gewichten e^{-betaeff Ereg} ähnlich der kanonischen Verteilung e^{-beta E} zeitunabhängiger Systeme besetzt. Dabei sind die reguläre Energien Ereg durch die Quantisierung des Systems vorgegeben, dessen klassische Eigenschaften auch die effektive Temperatur 1/betaeff bestimmen. Die chaotischen Zustände dagegen haben fast einheitliche Besetzungswahrscheinlichkeiten, welche unabhängig von ihrer mittleren Energie sind. Über diese semiklassischen Eigenschaften hinaus ist das Auftreten von vermiedenen Kreuzungen im Spektrum eine intrinsisch quantenmechanische Eigenschaft zeitlich periodischer Systeme. Diese können die gesamte Besetzungsverteilung nachhaltig beeinflussen und finden eine eindrucksvolle Anwendung in Form eines neuartigen Schaltmechanismus in einem harmonisch modulierten Doppelmuldenpotential in Kontakt mit einem Wärmebad. Der asymptotische Zustand kann unter geringer Variation der Antriebsamplitude vom Grundzustand der einen Mulde in einen Zustand höherer mittlerer Energie in der anderen Mulde geschaltet werden.

Quantum systems that are in weak contact with a thermal heat bath will ultimately relax to an equilibrium state which is characterized by the temperature of the environment only. This state is independent of the specific properties of the bath and of how it is coupled to the system. This changes completely, when the system is additionally driven. Such a driven-dissipative situation can emerge, for example, due to an additional time-periodic modulation of the system, or when it is brought into contact with a second bath of different temperature. Then, the system will run into a well-defined nonequilibrium steady state. This state, however, will depend on the very details of the environment and its coupling to the system. We study whether this freedom can be used to engineer interesting properties of quantum systems, which are not found in their equilibrium states, i.e. in the absence of a drive. We focus on bosonic quantum many-body systems. We investigate when far-from-equilibrium ideal gases feature Bose condensation in a group of single-particle states, as opposed to situations where Bose condensation is completely absent in the nonequilibrium steady state. We show that Bose condensation can be induced in a finite one-dimensional ideal gas by the competition of two heat baths whose temperatures both lie well above the equilibrium condensation temperature. This setup also allows to engineer condensation in excited single-particle states. We discuss first ideas to study similar setups in weakly interacting Bose gases. Describing the microscopic dynamics of interacting many-body systems coupled to thermal baths is extremely challenging, due to the fact that generally the full many-body spectrum is inaccessible. Using ideas from semiclassics, we develop an approximation to the dynamics that yields good results at high and intermediate bath temperatures. We also investigate the transient dynamics of driven-dissipative quantum systems. Our studies are motivated by a result that is well known for isolated quantum systems: for a system whose dynamics is generated by a time-periodic Hamiltonian, the stroboscopic dynamics (observed at integer multiples of the driving period) can always be understood as if it would stem from a time-independent Hamiltonian, the Floquet Hamiltonian. For open quantum systems in contact with an environment, we ask if a similar mapping to an effective generator, the Floquet Lindbladian, is always possible. For a simple qubit model we show that there are two extended parameter regions, one in which the Floquet Lindbladian exists, and one in which it does not. We discuss problems of analytical expansions that can give rise to this Floquet Lindbladian and discuss how we can interpret the region where it does not exist. These results are important for dissipative Floquet engineering and open up new perspectives for the control of open quantum systems via time-periodic driving.:1. Introduction 2. Master equation for open quantum systems 3. Existence of the Floquet Lindbladian 4. Number of Bose-selected modes in driven-dissipative ideal Bose gases 5. High-temperature nonequilibrium Bose condensation induced by a hot needle 6. Weakly interacting Bose gases far from thermal equilibrium 7. Summary and outlook / Quantensysteme, die in schwacher Wechselwirkung mit einem thermischen Wärmebad stehen, relaxieren stets in einen Gleichgewichtszustand, welcher allein durch die Temperatur der Umgebung beschrieben ist. Dieser Zustand ist unabhängig von den spezifischen Eigenschaften des Bades, und davon wie dieses an das System gekoppelt ist. Dies ändert sich, wenn das System zusätzlich angetrieben wird. Ein solches getrieben-dissipatives Szenario kann beispielsweise durch einen zusätzlichen zeitperiodischen Antrieb entstehen, oder wenn das System mit einem zweiten Bad unterschiedlicher Temperatur in Kontakt gebracht wird. In diesem Fall läuft das System in einen wohldefinierten stationären Nichtgleichgewichtszustand. Dieser Zustand hängt jedoch von den Details der Umgebung, und davon wie diese an das System gekoppelt ist, ab. Es wird untersucht ob diese Freiheit genutzt werden kann um interessante Eigenschaften von Quantensystemen zu konstruieren, die in deren Gleichgewichtszuständen, d.h. in Abwesenheit des Antriebs, nicht zu finden sind. Der Fokus der Arbeit liegt auf bosonischen Quantenvielteilchensystemen. Es wird ergründet unter welchen Bedingungen ideale Gase fernab des thermischen Gleichgewichts Bose Kondensation in einer Gruppe von Einteilchenzuständen aufweisen, im Gegensatz zu Szenarien in denen überhaupt keine Bose Kondensation im stationären Nichtgleichgewichtszustand auftritt. Weiterhin wird gezeigt, dass Bose Kondensation in einem eindimensionalen idealen Gas durch das Wechselspiel zweier Wärmebäder induziert werden kann. Die Temperatur beider Bäder liegt dabei weit über der Kondensationstemperatur des Gleichgewichts. Diese Anordnung erlaubt außerdem kontrollierte Kondensation in angeregten Einteilchenzuständen. Erste Ideen für das theoretische Studium ähnlicher Anordnungen für schwach wechselwirkende Bosegase werden diskutiert. Eine Beschreibung der mikroskopischen Dynamik wechselwirkender Vielteilchensysteme ist extrem anspruchsvoll, da typischerweise das volle Vielteilchenspektrum unzugänglich ist. Unter Zurhilfenahme semiklassischer Ideen wird eine Näherung der Dynamik entwickelt, welche eine gute Beschreibung für hohe und intermediäre Temperaturen liefert. Weiterhin wird die transiente Dynamik getrieben-dissipativer Quantensysteme untersucht. Die Motivation bietet ein bekanntes Resultat für abgeschlossene Quantensysteme: Für ein System, dessen Dynamik durch einen zeitperiodischen Hamiltonoperator bestimmt ist, kann die stroboskopische Dynamik (unter Beobachtung zu Zeiten, die Vielfache der Antriebsperiode sind) immer so verstanden werden als würde sie von einem zeitunabhängigen Hamiltonoperator, dem Floquet Hamiltonian, induziert. Für offene Quantensysteme im Kontakt mit einer Umgebung wird untersucht ob eine ähnliche Abbildung auf einen effektiven Generator, den Floquet Lindbladian, existiert. Für ein einfaches Qubit Modell wird gezeigt, dass es zwei ausgedehnte Parameterregionen gibt, eine in welcher der Floquet Lindbladian existiert und eine weitere in der dieser nicht existiert. Es werden Probleme von analytischen Entwicklungen des Floquet Lindbladian diskutiert. Auch wird eine Interpretation der Region gegeben, in der dieser nicht existiert. Diese Resultate sind maßgeblich für dissipatives Floquetengineering und eröffnen neue Blickwinkel auf die zeitperiodische Kontrolle offener Quantensysteme.:1. Introduction 2. Master equation for open quantum systems 3. Existence of the Floquet Lindbladian 4. Number of Bose-selected modes in driven-dissipative ideal Bose gases 5. High-temperature nonequilibrium Bose condensation induced by a hot needle 6. Weakly interacting Bose gases far from thermal equilibrium 7. Summary and outlook

Robust states exist at the interfaces between topologically trivial and nontrivial phases of matter. These boundary states are expression of the nontrivial bulk properties through a connection dubbed the bulk-boundary correspondence. Whether the bulk is topological or not is determined by the value of a topological invariant. This quantity is defined with respect to symmetries and dimensionality of the system, such that it takes only quantized values. For static topological phases that are realized in ground-states of isolated, time-independent systems, the topological invariant is related to the properties of the Hamiltonian operator. In contrast, Floquet topological phases that are realized in open systems with periodical pumping of energy are topologically characterized with a unitary Floquet operator i.e., the time-evolution operator over the entire period. Topological phases of matter can be distinguished by the dimensionality of robust boundary states with respect to the protecting bulk. This dissertation concerns recently discovered higher-order topological phases where the difference between dimensionalities of bulk and boundary states is larger than one. Using analytical and numerical single-particle techniques, we focus on instances where static higher-order topology can be understood with insights from the mature field of Floquet topology. Namely, even though static systems do not admit a Floquet description, we find examples of higher-order systems to which certain unitary operators can be attributed. The understanding of topological characteristics of these systems is therefore conditioned by the knowledge on topological properties of unitary operators, among which the Floquet operator is well-known. The first half of this thesis concerns toy models of static higher-order topological phases that are topologically characterized in terms of unitary operators. We find that a class of these systems called quadrupole topological insulators exhibit a wider range of topological phases than known previously. In the second half of this dissertation, we study reflection matrices of higher-order topological phases and show that they can exhibit the same topological features as Floquet systems. Our findings suggest a new route to experimental realizations of Floquet systems, the one that avoids noise-induced decoherence inevitable in many other experimental setups.