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Grand-canonical inverse-temperature calculations of a single mode Bose-Hubbard model are presented, using the Gaussian phase space representation. Simulation of 100 particles is achieved in the ground state, having started with a low-particle-number thermal state. A preliminary foray into a three-mode lattice is made, but the sampling error appears to be too large for the simple approach taken here to be successful in larger systems. The quantum (real-time) dynamics of a one-dimensional Bose gas with two-particle losses are investigated. The Positive-P equations for this system are unstable, and this causes Positive-P simulations to `die' after a certain amount of time. Gauges are used to (sometimes partially) stabilise the equations. The effects on simulation times of various gauges, branching methods, and non-square diffusion matrix factorisations on simulation times are investigated. Despite the absence of repulsive inter-particle interactions, it is observed that $g^{(2)}$ rises above 1 at a finite particle separation. A phase space method for spin systems is introduced, based on SU(2) coherent states. This is essentially a spin analogue of the Positive-P method. The system of stochastic differential equations arising out of this method require weighted averages to be taken, and the weights can vary exponentially, leading to inefficient sampling. For the case of the Ising model, a transform is made to a set of equations which relaxes (in a dummy time variable) to the partition function at a given temperature, and allows unweighted ensemble averages to be taken. This allows accurate simulations to be achieved at a range of temperatures, with nearest-neighbour correlation functions agreeing with theory. This represents a proof of principle for the use of stochastic phase space methods in spin systems, and furthermore the method should be suited to open spin systems, at least for a small number of qubits.

The work presented in this thesis revolves around spectral inequalities and their applications in quantum mechanics. In Paper A, the ground state energy of an atom confined to two dimensions is analyzed in the limit when the charge of the nucleus Z becomes very large. The main result is a two-term asymptotic expansion of the ground state energy in terms of Z. Paper B deals with Hardy inequalities for the kinetic energy of a particle in the presence of an external magnetic field. If the magnetic field has a non-trivial radial component, we show that Hardy’s classical lower bound can be improved by an extra term depending on the magnetic field. In Paper C we study interacting Bose gases and prove Lieb-Thirring type estimates for several types of interaction potentials, such as the hard-sphere interaction in three dimensions, the hard-disk interaction in two dimensions as well as homogeneous potentials. / <p>QC 20140520</p>

Les systèmes quantiques unidimensionnels à N corps présentent des comportements particuliers et intrigants liés à leur dimensionnalité réduite, qui amplifie l’effet des fluctuations et des corrélations. Les expériences de gaz d’atomes ultra-froids permettent d’isoler et de contrôler efficacement les paramètres du système et de simuler des systèmes modèles pour lesquels il existe de nombreux outils théoriques. Je présenterai ici les résultats des études réalisées pendant ma thèse de Doctorat, visant à explorer le comportement de gaz de Bose unidimensionnels (gaz de Lieb-Liniger) à l’équilibre et hors équilibre. Je donnerai notamment un aperçu de la boite à outils aujourd’hui disponible permettant de caractériser les propriétés thermodynamiques d’un gaz de Lieb-Liniger, et présenterai une étude détaillée du mode de respiration d’un tel système. / One-dimensional quantum many-body systems exhibit peculiar and intriguing behaviors as a consequence of the reduced dimensionality, which enhances the effect of fluctuations and correlations. The high degree of isolation and controllability of experiments manipulating ultra-cold atomic gases allows for the experimental simulation of text-book models, for which many theory tools are available for quantitative comparison. I will present instances of such efforts carried out during my PhD thesis, namely, the studies performed to investigate the behavior of 1D Bose gas (Lieb-Liniger gas) at equilibrium and beyond. An overview of the toolbox available to date to characterize the equilibrium thermodynamics of a Lieb-Liniger gas will be shown, followed by a detailed study of the breathing mode of such a system.

Cette thèse analyse certains aspects de la dynamique hors équilibre de systèmes quantiques unidimensionnels lorsqu’ils sont soumis à des champs externes dépendant du temps. Nous considérons plus particulièrement le cas des forçages périodiques, et le cas d’une variation temporelle lente d’un paramètre de l’Hamiltonien qui permet de traverser une transition de phase quantique. La première partie contient une présentation des notions, des modèles et des outils nécessaires pour comprendre la suite de la thèse, avec notamment des rappels sur les modèles quantiques critiques (en particulier sur les chaines de spin et sur le modèle de Bose-Hubbard), le mécanisme de Kibble-Zurek, et la théorie de Floquet. Ensuite, nous étudions la dynamique hors équilibre des gaz de Tonks-Girardeau dans un potentiel harmonique dépendant du temps par différentes techniques : développements perturbatifs, diagonalisation numérique exacte et solutions analytiques exactes basées sur la théorie des invariants dynamiques d’Ermakov-Lewis. Enfin, nous analysons la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts markoviens soumis à des variations périodiques des paramètres du système et de l’environnement. Nous formulons une théorie de Floquet afin d’obtenir des solutions exactes des équations de Lindblad périodiques. Ce formalisme de Lindblad-Floquet est utilisé pour obtenir une caractérisation exacte du fonctionnement en temps fini des machines thermiques quantiques. / This thesis analyzes some aspects regarding the dynamics of one-dimensional quantum systems which are driven out-of-equilibrium by the presence of time- dependent external fields. Among the possible kinds of driven systems, our focus is dedicated to the slow variation of a Hamiltonian’s parameter across a quantum phase transition and to the case of a time-periodic forcing. To begin with, we prepare the background and the tools needed in the following. This includes a brief introduction to quantum critical models (in particular to the xy spin chain and to the Bose-Hubbard model), the Kibble-Zurek mechanism and Floquet theory. Next, we consider the non-equilibrium dynamics of Tonks-Girardeau gases in time-dependent harmonic trap potentials. The analysis is made with different techniques: perturbative expansions, numerical exact diagonalization and exact methods based on the theory of Ermakov-Lewis dynamical invariants. The last part of the thesis deals instead with the non-equilibrium dynamics of markovian open quantum systems subject to time-periodic perturbations of the system parameters and of the environment. This has led to an exact formulation of Floquet theory for a Lindblad dynamics. Moreover, within the Lindblad-Floquet framework it is possible to have an exact characterization ofthe finite-time operation of quantum heat-engines.

Bose-Einstein condensation is a collective quantum phenomenon where a macroscopic number of bosons occupies the lowest quantum state. For fixed temperature, bosons condense above a critical particle density. This phenomenon is a consequence of the Bose-Einstein distribution which dictates that excited states can host only a finite number of particles so that all remaining particles must form a condensate in the ground state. This reasoning applies to thermal equilibrium. We investigate the fate of Bose condensation in nonisolated systems of noninteracting Bose gases driven far away from equilibrium. An example of such a driven-dissipative scenario is a Floquet system coupled to a heat bath. In these time-periodically driven systems, the particles are distributed among the Floquet states, which are the solutions of the Schrödinger equation that are time periodic up to a phase factor. The absence of the definition of a ground state in Floquet systems raises the question, whether Bose condensation survives far from equilibrium. We show that Bose condensation generalizes to an unambiguous selection of multiple states each acquiring a large occupation proportional to the total particle number. In contrast, the occupation numbers of nonselected states are bounded from above. We observe this phenomenon not only in various Floquet systems, i.a. time-periodically-driven quartic oscillators and tight-binding chains, but also in systems coupled to two baths where the population of one bath is inverted. In many cases, the occupation numbers of the selected states are macroscopic such that a fragmented condensation is formed according to the Penrose-Onsager criterion. We propose to control the heat conductivity through a chain by switching between a single and several selected states. Furthermore, the number of selected states is always odd except for fine-tuning. We provide a criterion, whether a single state (e.g., Bose condensation) or several states are selected. In open systems, which exchange also particles with their environment, the nonequilibrium steady state is determined by the interplay between the particle-number-conserving intermode kinetics and particle-number-changing pumping and loss processes. For a large class of model systems, we find the following generic sequence when increasing the pumping: For small pumping, no state is selected. The first threshold, where the stimulated emission from the gain medium exceeds the loss in a state, is equivalent to the classical lasing threshold. Due to the competition between gain, loss and intermode kinetics, further transitions may occur. At each transition, a single state becomes either selected or deselected. Counterintuitively, at sufficiently strong pumping, the set of selected states is independent of the details of the gain and loss. Instead, it is solely determined by the intermode kinetics like in closed systems. This implies equilibrium condensation when the intermode kinetics is caused by a thermal environment. These findings agree well with observations of exciton-polariton gases in microcavities. In a collaboration with experimentalists, we observe and explain the pump-power-driven mode switching in a bimodal quantum-dot micropillar cavity. / Die Bose-Einstein-Kondensation ist ein Quantenphänomen, bei dem eine makroskopische Zahl von Bosonen den tiefsten Quantenzustand besetzt. Die Teilchen kondensieren, wenn bei konstanter Temperatur die Teilchendichte einen kritischen Wert übersteigt. Da die Besetzungen von angeregten Zuständen nach der Bose-Einstein-Statistik begrenzt sind, bilden alle verbleibenden Teilchen ein Kondensat im Grundzustand. Diese Argumentation ist im thermischen Gleichgewicht gültig. In dieser Arbeit untersuchen wir, ob die Bose-Einstein-Kondensation in nicht wechselwirkenden Gasen fern des Gleichgewichtes überlebt. Diese Frage stellt sich beispielsweise in Floquet-Systemen, welche Energie mit einer thermischen Umgebung austauschen. In diesen zeitperiodisch getriebenen Systemen verteilen sich die Teilchen auf Floquet-Zustände, die bis auf einen Phasenfaktor zeitperiodischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung. Die fehlende Definition eines Grundzustandes wirft die Frage nach der Existenz eines Bose-Kondensates auf. Wir finden eine Generalisierung der Bose-Kondensation in Form einer Selektion mehrerer Zustände. Die Besetzung in jedem selektierten Zustand ist proportional zur Gesamtteilchenzahl, während die Besetzung aller übrigen Zustände begrenzt bleibt. Wir beobachten diesen Effekt nicht nur in Floquet-Systemen, z.B. getriebenen quartischen Fallen, sondern auch in Systemen die an zwei Wärmebäder gekoppelt sind, wobei die Besetzung des einen invertiert ist. In vielen Fällen ist die Teilchenzahl in den selektierten Zuständen makroskopisch, sodass nach dem Penrose-Onsager Kriterium ein fragmentiertes Kondensat vorliegt. Die Wärmeleitfähigkeit des Systems kann durch den Wechsel zwischen einem und mehreren selektierten Zuständen kontrolliert werden. Die Anzahl der selektierten Zustände ist stets ungerade, außer im Falle von Feintuning. Wir beschreiben ein Kriterium, welches bestimmt, ob es nur einen selektierten Zustand (z.B. Bose-Kondensation) oder viele selektierte Zustände gibt. In offenen Systemen, die auch Teilchen mit der Umgebung austauschen, ist der stationäre Nichtgleichgewichtszustand durch ein Wechselspiel zwischen der (Teilchenzahl-erhaltenden) Intermodenkinetik und den (Teilchenzahl-ändernden) Pump- und Verlustprozessen bestimmt. Für eine Vielzahl an Modellsystemen zeigen wir folgendes typisches Verhalten mit steigender Pumpleistung: Zunächst ist kein Zustand selektiert. Die erste Schwelle tritt auf, wenn der Gewinn den Verlust in einer Mode ausgleicht und entspricht der klassischen Laserschwelle. Bei stärkerem Pumpen treten weitere Übergänge auf, an denen je ein einzelner Zustand entweder selektiert oder deselektiert wird. Schließlich ist die Selektion überraschenderweise unabhängig von der Charakteristik des Pumpens und der Verlustprozesse. Die Selektion ist vielmehr ausschließlich durch die Intermodenkinetik bestimmt und entspricht damit den oben beschriebenen geschlossenen Systemen. Ist die Kinetik durch ein thermisches Bad hervorgerufen, tritt wie im Gleichgewicht eine Grundzustands-Kondensation auf. Unsere Theorie ist in Übereinstimmung mit experimentellen Beobachtungen von Exziton-Polariton-Gasen in Mikrokavitäten. In einer Kooperation mit experimentellen Gruppen konnten wir den Modenwechsel in einem bimodalen Quantenpunkt-Mikrolaser erklären.

Bose-Einstein condensation is a collective quantum phenomenon where a macroscopic number of bosons occupies the lowest quantum state. For fixed temperature, bosons condense above a critical particle density. This phenomenon is a consequence of the Bose-Einstein distribution which dictates that excited states can host only a finite number of particles so that all remaining particles must form a condensate in the ground state. This reasoning applies to thermal equilibrium. We investigate the fate of Bose condensation in nonisolated systems of noninteracting Bose gases driven far away from equilibrium. An example of such a driven-dissipative scenario is a Floquet system coupled to a heat bath. In these time-periodically driven systems, the particles are distributed among the Floquet states, which are the solutions of the Schrödinger equation that are time periodic up to a phase factor. The absence of the definition of a ground state in Floquet systems raises the question, whether Bose condensation survives far from equilibrium. We show that Bose condensation generalizes to an unambiguous selection of multiple states each acquiring a large occupation proportional to the total particle number. In contrast, the occupation numbers of nonselected states are bounded from above. We observe this phenomenon not only in various Floquet systems, i.a. time-periodically-driven quartic oscillators and tight-binding chains, but also in systems coupled to two baths where the population of one bath is inverted. In many cases, the occupation numbers of the selected states are macroscopic such that a fragmented condensation is formed according to the Penrose-Onsager criterion. We propose to control the heat conductivity through a chain by switching between a single and several selected states. Furthermore, the number of selected states is always odd except for fine-tuning. We provide a criterion, whether a single state (e.g., Bose condensation) or several states are selected. In open systems, which exchange also particles with their environment, the nonequilibrium steady state is determined by the interplay between the particle-number-conserving intermode kinetics and particle-number-changing pumping and loss processes. For a large class of model systems, we find the following generic sequence when increasing the pumping: For small pumping, no state is selected. The first threshold, where the stimulated emission from the gain medium exceeds the loss in a state, is equivalent to the classical lasing threshold. Due to the competition between gain, loss and intermode kinetics, further transitions may occur. At each transition, a single state becomes either selected or deselected. Counterintuitively, at sufficiently strong pumping, the set of selected states is independent of the details of the gain and loss. Instead, it is solely determined by the intermode kinetics like in closed systems. This implies equilibrium condensation when the intermode kinetics is caused by a thermal environment. These findings agree well with observations of exciton-polariton gases in microcavities. In a collaboration with experimentalists, we observe and explain the pump-power-driven mode switching in a bimodal quantum-dot micropillar cavity. / Die Bose-Einstein-Kondensation ist ein Quantenphänomen, bei dem eine makroskopische Zahl von Bosonen den tiefsten Quantenzustand besetzt. Die Teilchen kondensieren, wenn bei konstanter Temperatur die Teilchendichte einen kritischen Wert übersteigt. Da die Besetzungen von angeregten Zuständen nach der Bose-Einstein-Statistik begrenzt sind, bilden alle verbleibenden Teilchen ein Kondensat im Grundzustand. Diese Argumentation ist im thermischen Gleichgewicht gültig. In dieser Arbeit untersuchen wir, ob die Bose-Einstein-Kondensation in nicht wechselwirkenden Gasen fern des Gleichgewichtes überlebt. Diese Frage stellt sich beispielsweise in Floquet-Systemen, welche Energie mit einer thermischen Umgebung austauschen. In diesen zeitperiodisch getriebenen Systemen verteilen sich die Teilchen auf Floquet-Zustände, die bis auf einen Phasenfaktor zeitperiodischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung. Die fehlende Definition eines Grundzustandes wirft die Frage nach der Existenz eines Bose-Kondensates auf. Wir finden eine Generalisierung der Bose-Kondensation in Form einer Selektion mehrerer Zustände. Die Besetzung in jedem selektierten Zustand ist proportional zur Gesamtteilchenzahl, während die Besetzung aller übrigen Zustände begrenzt bleibt. Wir beobachten diesen Effekt nicht nur in Floquet-Systemen, z.B. getriebenen quartischen Fallen, sondern auch in Systemen die an zwei Wärmebäder gekoppelt sind, wobei die Besetzung des einen invertiert ist. In vielen Fällen ist die Teilchenzahl in den selektierten Zuständen makroskopisch, sodass nach dem Penrose-Onsager Kriterium ein fragmentiertes Kondensat vorliegt. Die Wärmeleitfähigkeit des Systems kann durch den Wechsel zwischen einem und mehreren selektierten Zuständen kontrolliert werden. Die Anzahl der selektierten Zustände ist stets ungerade, außer im Falle von Feintuning. Wir beschreiben ein Kriterium, welches bestimmt, ob es nur einen selektierten Zustand (z.B. Bose-Kondensation) oder viele selektierte Zustände gibt. In offenen Systemen, die auch Teilchen mit der Umgebung austauschen, ist der stationäre Nichtgleichgewichtszustand durch ein Wechselspiel zwischen der (Teilchenzahl-erhaltenden) Intermodenkinetik und den (Teilchenzahl-ändernden) Pump- und Verlustprozessen bestimmt. Für eine Vielzahl an Modellsystemen zeigen wir folgendes typisches Verhalten mit steigender Pumpleistung: Zunächst ist kein Zustand selektiert. Die erste Schwelle tritt auf, wenn der Gewinn den Verlust in einer Mode ausgleicht und entspricht der klassischen Laserschwelle. Bei stärkerem Pumpen treten weitere Übergänge auf, an denen je ein einzelner Zustand entweder selektiert oder deselektiert wird. Schließlich ist die Selektion überraschenderweise unabhängig von der Charakteristik des Pumpens und der Verlustprozesse. Die Selektion ist vielmehr ausschließlich durch die Intermodenkinetik bestimmt und entspricht damit den oben beschriebenen geschlossenen Systemen. Ist die Kinetik durch ein thermisches Bad hervorgerufen, tritt wie im Gleichgewicht eine Grundzustands-Kondensation auf. Unsere Theorie ist in Übereinstimmung mit experimentellen Beobachtungen von Exziton-Polariton-Gasen in Mikrokavitäten. In einer Kooperation mit experimentellen Gruppen konnten wir den Modenwechsel in einem bimodalen Quantenpunkt-Mikrolaser erklären.

Quantum systems that are in weak contact with a thermal heat bath will ultimately relax to an equilibrium state which is characterized by the temperature of the environment only. This state is independent of the specific properties of the bath and of how it is coupled to the system. This changes completely, when the system is additionally driven. Such a driven-dissipative situation can emerge, for example, due to an additional time-periodic modulation of the system, or when it is brought into contact with a second bath of different temperature. Then, the system will run into a well-defined nonequilibrium steady state. This state, however, will depend on the very details of the environment and its coupling to the system. We study whether this freedom can be used to engineer interesting properties of quantum systems, which are not found in their equilibrium states, i.e. in the absence of a drive. We focus on bosonic quantum many-body systems. We investigate when far-from-equilibrium ideal gases feature Bose condensation in a group of single-particle states, as opposed to situations where Bose condensation is completely absent in the nonequilibrium steady state. We show that Bose condensation can be induced in a finite one-dimensional ideal gas by the competition of two heat baths whose temperatures both lie well above the equilibrium condensation temperature. This setup also allows to engineer condensation in excited single-particle states. We discuss first ideas to study similar setups in weakly interacting Bose gases. Describing the microscopic dynamics of interacting many-body systems coupled to thermal baths is extremely challenging, due to the fact that generally the full many-body spectrum is inaccessible. Using ideas from semiclassics, we develop an approximation to the dynamics that yields good results at high and intermediate bath temperatures. We also investigate the transient dynamics of driven-dissipative quantum systems. Our studies are motivated by a result that is well known for isolated quantum systems: for a system whose dynamics is generated by a time-periodic Hamiltonian, the stroboscopic dynamics (observed at integer multiples of the driving period) can always be understood as if it would stem from a time-independent Hamiltonian, the Floquet Hamiltonian. For open quantum systems in contact with an environment, we ask if a similar mapping to an effective generator, the Floquet Lindbladian, is always possible. For a simple qubit model we show that there are two extended parameter regions, one in which the Floquet Lindbladian exists, and one in which it does not. We discuss problems of analytical expansions that can give rise to this Floquet Lindbladian and discuss how we can interpret the region where it does not exist. These results are important for dissipative Floquet engineering and open up new perspectives for the control of open quantum systems via time-periodic driving.:1. Introduction 2. Master equation for open quantum systems 3. Existence of the Floquet Lindbladian 4. Number of Bose-selected modes in driven-dissipative ideal Bose gases 5. High-temperature nonequilibrium Bose condensation induced by a hot needle 6. Weakly interacting Bose gases far from thermal equilibrium 7. Summary and outlook / Quantensysteme, die in schwacher Wechselwirkung mit einem thermischen Wärmebad stehen, relaxieren stets in einen Gleichgewichtszustand, welcher allein durch die Temperatur der Umgebung beschrieben ist. Dieser Zustand ist unabhängig von den spezifischen Eigenschaften des Bades, und davon wie dieses an das System gekoppelt ist. Dies ändert sich, wenn das System zusätzlich angetrieben wird. Ein solches getrieben-dissipatives Szenario kann beispielsweise durch einen zusätzlichen zeitperiodischen Antrieb entstehen, oder wenn das System mit einem zweiten Bad unterschiedlicher Temperatur in Kontakt gebracht wird. In diesem Fall läuft das System in einen wohldefinierten stationären Nichtgleichgewichtszustand. Dieser Zustand hängt jedoch von den Details der Umgebung, und davon wie diese an das System gekoppelt ist, ab. Es wird untersucht ob diese Freiheit genutzt werden kann um interessante Eigenschaften von Quantensystemen zu konstruieren, die in deren Gleichgewichtszuständen, d.h. in Abwesenheit des Antriebs, nicht zu finden sind. Der Fokus der Arbeit liegt auf bosonischen Quantenvielteilchensystemen. Es wird ergründet unter welchen Bedingungen ideale Gase fernab des thermischen Gleichgewichts Bose Kondensation in einer Gruppe von Einteilchenzuständen aufweisen, im Gegensatz zu Szenarien in denen überhaupt keine Bose Kondensation im stationären Nichtgleichgewichtszustand auftritt. Weiterhin wird gezeigt, dass Bose Kondensation in einem eindimensionalen idealen Gas durch das Wechselspiel zweier Wärmebäder induziert werden kann. Die Temperatur beider Bäder liegt dabei weit über der Kondensationstemperatur des Gleichgewichts. Diese Anordnung erlaubt außerdem kontrollierte Kondensation in angeregten Einteilchenzuständen. Erste Ideen für das theoretische Studium ähnlicher Anordnungen für schwach wechselwirkende Bosegase werden diskutiert. Eine Beschreibung der mikroskopischen Dynamik wechselwirkender Vielteilchensysteme ist extrem anspruchsvoll, da typischerweise das volle Vielteilchenspektrum unzugänglich ist. Unter Zurhilfenahme semiklassischer Ideen wird eine Näherung der Dynamik entwickelt, welche eine gute Beschreibung für hohe und intermediäre Temperaturen liefert. Weiterhin wird die transiente Dynamik getrieben-dissipativer Quantensysteme untersucht. Die Motivation bietet ein bekanntes Resultat für abgeschlossene Quantensysteme: Für ein System, dessen Dynamik durch einen zeitperiodischen Hamiltonoperator bestimmt ist, kann die stroboskopische Dynamik (unter Beobachtung zu Zeiten, die Vielfache der Antriebsperiode sind) immer so verstanden werden als würde sie von einem zeitunabhängigen Hamiltonoperator, dem Floquet Hamiltonian, induziert. Für offene Quantensysteme im Kontakt mit einer Umgebung wird untersucht ob eine ähnliche Abbildung auf einen effektiven Generator, den Floquet Lindbladian, existiert. Für ein einfaches Qubit Modell wird gezeigt, dass es zwei ausgedehnte Parameterregionen gibt, eine in welcher der Floquet Lindbladian existiert und eine weitere in der dieser nicht existiert. Es werden Probleme von analytischen Entwicklungen des Floquet Lindbladian diskutiert. Auch wird eine Interpretation der Region gegeben, in der dieser nicht existiert. Diese Resultate sind maßgeblich für dissipatives Floquetengineering und eröffnen neue Blickwinkel auf die zeitperiodische Kontrolle offener Quantensysteme.:1. Introduction 2. Master equation for open quantum systems 3. Existence of the Floquet Lindbladian 4. Number of Bose-selected modes in driven-dissipative ideal Bose gases 5. High-temperature nonequilibrium Bose condensation induced by a hot needle 6. Weakly interacting Bose gases far from thermal equilibrium 7. Summary and outlook