Thesis (Ph.D.) - University of St Andrews, January 2007.

Thesis: Ph. D., Massachusetts Institute of Technology, Department of Mathematics, 1981 / Bibliography: leaves 102-103. / by Javier Bracho. / Ph. D. / Ph.D. Massachusetts Institute of Technology, Department of Mathematics

Ma, Man Shun. / Thesis (M.Phil.)--Chinese University of Hong Kong, 2011. / Includes bibliographical references (leaves 75-76). / Abstracts in English and Chinese. / Chapter 1 --- Introduction --- p.6 / Chapter 2 --- Basic notions in Riemannian geometry --- p.10 / Chapter 2.1 --- Basic manifold theory --- p.11 / Chapter 2.2 --- "Connection, curvature" --- p.19 / Chapter 2.3 --- Submanifold theory --- p.29 / Chapter 3 --- Basic facts in symplectic and complex geometry --- p.33 / Chapter 3.1 --- "Symplectic manifolds, Lagrangian submanifolds" --- p.34 / Chapter 3.2 --- Kahler and Calabi-Yau manifolds --- p.39 / Chapter 3.3 --- Calibration --- p.49 / Chapter 4 --- Mean curvature flow --- p.52 / Chapter 4.1 --- Basic equations in Lagrangian immersions --- p.53 / Chapter 4.2 --- Evolution equation for --- p.57 / Chapter 4.3 --- Evolution equations for H and θ --- p.62 / Chapter 5 --- Lagrangian angle of a foliation --- p.67 / Chapter 5.1 --- "Proof of equation (5.1), (5.2)" --- p.68 / Chapter 5.2 --- Main theorem --- p.70 / Chapter 5.3 --- Examples of invariant solution --- p.73 / Bibliography --- p.75

FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nesta dissertaÃÃo abordamos o problema de injetividade de difeomorsmos locais em dimensÃo dois, do ponto de vista da geometria de curvatura negativa. O teorema principal fornece um conjunto de condiÃÃes sucientes para injetividade de um difeomorfismo local f : M1 → M2, entre superfÃcies de Hadamard, que se baseiam inteiramente em certas condiÃÃes de transversalidade simples de serem satisfeitas por folheaÃÃes defifinidas pelos horociclos associados a mÃtrica de curvatura nÃo positiva variÃvel em M1 e M2 , e o pull-back por f de tais folheaÃÃes. O Teorema fornece tambem uma definiÃÃo geomÃtrica para alguns dos resultados sobre a conjectura de estabilidade global assintÃtica, em particular, apresenta uma extensÃo parcial da condiÃÃo espectral para o caso de variedades de Hadamard. / In this work, we study the problem of injectivity of a local dieomorphism on dimension two of the point of view of the geometry of negative curvature. The main theorem provides a set of sucient conditions for injectivity of a local diffeomorphism f : M1 → M2 , between Hadamard surfaces, which depends on certain transversality conditions to be satisfied by simple foliations defined by horocycles associated to the metric with non positive curvature varying in M1 and M2 , and the pull-back in f of such foliations. This result gives a geometric definition for some of the results about the global asymptotic stability conjecture, in particular, it has a partial extension of the spectral condition for the case of Hadamard manifolds.

Orientadores: Paulo Regis Caron Ruffino, Pedro Jose Catuogno / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T05:12:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ledesma_DiegoSebastian_D.pdf: 1187996 bytes, checksum: 14fa7d57b88f236c0db3d7bd2f8231c8 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Neste trabalho estudamos processos estocásticos em variedades folheadas. Introduzimos primeiro uma série de operadores, que chamamos de operadores folheados, e estudamos suas propriedades. Definimos, por meio dos operadores introduzidos, os processos básicos em espaços folheados como, por exemplo, martingale folheada e movimento browniano folheado. Estudamos a relação destes processos com a geometria da folheação e caracterizamos estocasticamente quando uma folheação é harmônica ou geodésica. Definimos, integrais estocásticas de Itô e Stratonovich em folheações e desenvolvemos um cálculo estocástico proprio. Provamos uma fórmula de conversão de integral de Itô para Stratonovich e uma fórmula de Itô neste contexto. Finalmente estudamos, com particular atenção, o movimento browniano folheado e medidas harmônicas em espaços folheados. Construímos o movimento browniano folheado com o formalismo de equações diferenciais estocásticas, aplicando-o conjuntamente com o cálculo diferencial introduzido para fronecer uma nova prova do Teorema de Lucy Garnett sobre medidas harmonicas em folheações. Estudamos propriedades de medidas harmônicas e damos uma caracterização das mesmas como soluções de uma equação diferencial de segunda ordem. / Abstract: We study stochastic process on foliated manifolds. First we introduce some operators, which we call foliated, and study their properties. With these objects, we define the natural processes on foliated spaces, such as foliated martingales and foliated Brownian motion. We study how they are related with the geometry of the foliation and use them to characterize, in a probabilistic way, when the foliation is harmonic or geodesic. Then, we introduce an stochastic calculus and define the Itô and Stratonovich integrals on foliations. We prove a conversion formula and a Itô formula in this context. Finally we focus our study on the foliated Brownian motion and the harmonic measures. We give a construction of the foliated Brownian motion based on stochastic differential equations and apply the formalism developed to give a new proof of the Lucy Garnett Theorem. We study properties of the harmonic measures and we characterize them in terms of solutions of a second order differential equations. / Doutorado / Doutor em Matemática

In many areas of science, especially geophysics, geography and meteorology, the data are often directions or axes rather than scalars or unrestricted vectors. Directional statistics considers data which are mainly unit vectors lying in two- or three-dimensional space (R² or R³). One way in which directional data arise is as normals to foliations. A (codimension-1) foliation of {R} {d} is a system of non-intersecting (d-1)-dimensional surfaces filling out the whole of {R} {d}. At each point z of {R} {d}, any given codimension-1 foliation determines a unit vector v normal to the surface through z. The problem considered here is that of reconstructing the foliation from observations ({z}{i}, {v}{i}), i=1,...,n. One way of doing this is rather similar to fitting smooth splines to data. That is, the reconstructed foliation has to be as close to the data as possible, while the foliation itself is not too rough. A tradeoff parameter is introduced to control the balance between smoothness and closeness. The approach used in this thesis is to take the surfaces to be surfaces of constant values of a suitable real-valued function h on {R} {d}. The problem of reconstructing a foliation is translated into the language of Schwartz distributions and a deep result in the theory of distributions is used to give the appropriate general form of the fitted function h. The model parameters are estimated by a simplified Newton method. Under appropriate distributional assumptions on v{1},...,v{n}, confidence regions for the true normals are developed and estimates of concentration are given.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Estudamos folheaÃÃes de formas espaciais por hipersuperfÃcies completas, sob certas condiÃÃes sobre as suas curvaturas mÃdias de ordem superior. Em particular, no espaÃo euclidiano obtemos um Teorema tipo-Bernstein para grÃficos cujas curvaturas mÃdia e escalar nÃo mudam de sinal (podendo ser nÃo constantes). NÃs tambÃm estabelecemos a nÃo existÃncia de folheaÃÃes da esfera padrÃo cujas folhas sÃo completas e tÃm curvatura escalar constante, alargando assim um teorema de Barbosa, Kenmotsu e Oshikiri. Para o caso mais geral de folheaÃÃes r-mÃnimas do espaÃo euclidiano, possivelmente com um conjunto singular, somos capazes de invocar um teorema de D. Ferus para dar condiÃÃes sob as quais as folhas nÃo-singulares sÃo folheadas por hiperplanos. / We study foliations of space forms by complete hypersurfaces, under some mild conditions on its higher order mean curvatures. In particular, in Euclidean space we obtain a Bernstein-type theorem for graphs whose mean and scalar curvature do not change sign but may otherwise be nonconstant. We also establish the nonexistence of foliations of the standard sphere whose leaves are complete and have constant scalar curvature, thus extending a theorem of Barbosa, Kenmotsu and Oshikiri. For the more general case of r-minimal foliations of the Euclidean space, possibly with a singular set, we are able to invoke a theorem of Ferus to give conditions under which the nonsigular leaves are foliated by hyperplanes.

Orientador: Paulo Régis Caron Ruffino / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-23T11:21:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Costa_PauloHenriquePereirada_D.pdf: 1382380 bytes, checksum: 975aac3916932e92b8fe92b185b6eb9f (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Seja (M,?) uma variedade Riemanniana compacta folheada. Consideramos uma família de semigrupos Feller compatível em C(Mn) associada as leis de um processo Markoviano de n-pontos. Com algumas condições (Le Jan e Raimond [34]) existe um fluxo estocástico de aplicações mensuráveis em M. Estudamos aqui a degenerescência desses semigrupos tais que o fluxo de aplicações seja folheado, ou seja, cada trajetória permanece na folha em que começou q.s. e portanto cria uma obstrução geométrica natural para a coalescência de trajetórias em folhas distintas. Como uma aplicação dessa teoria, um princípio de médias é provado para uma perturbação de primeira ordem transversal as folhas. Estimativas de taxas de convergências também são dadas / Abstract: Let (M,?) be a compact Riemannian foliated manifold. We consider a family of compatible Feller semigroups in C(Mn) associated to laws of the n-point motion. Under some assumptions (Le Jan and Raimond [34]) there exists a stochastic flow of measurable mappings in M. We study the degeneracy of these semigroups such that the flow of mappings is foliated, i.e. each trajectory lays in a single leaf of the foliation a.s, hence creating a geometrical obstruction for coalescence of trajectories in different leaves. As an application, an averaging principle is proved for a first order perturbation transversal to the leaves. Estimates for the rate of convergence are calculated / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

This thesis is concerned principally with tangential geometry and the applications of these concepts to tangentially symplectic foliations. The subject of tangential geometry is still at an elementary stage. The author here systematises current concepts and results and extends them, leading to the definition of vertical connections and vertical G-structures. Tangentially symplectic foliations are then characterised in terms of vertical symplectic forms. Some significant particular cases are discussed.

Orientador: Paulo Regis Caron Ruffino / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-20T22:03:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 GonzalesGargate_IvanItalo_D.pdf: 724522 bytes, checksum: bb313a00b360e7bea2a2411b759c7389 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Nesta tese, estudamos um princípio de médias em equações diferenciais estocásticas sobre variedades folheadas com folhas compactas. Começaremos introduzindo o princípio de médias sobre equações diferenciais ordinárias reais. A título de comparação vamos rever conceitos básicos de variedade simplética com a finalidade de comparar/estender os resultados obtidos por Xue-Mei Li sobre um princípio de médias para um sistema Hamiltoniano estocástico completamente integrável. Nosso principal resultado é generalizar estas idéias para o caso de uma variedade M = (-a; a)n x N, onde N é uma variedade compacta sem bordo. Em particular mostraremos nossos resultados para o caso que a folheação é gerada por uma submersão de M sobre Rn. Finalmente apresentamos alguns exemplos / Abstract: In this thesis, we study the averaging principle for stochastic differential equations on foliated manifolds with compact leaves. We begin by introducing the averaging principle over real ordinary differential equations. For comparison we will review basic concepts of symplectic manifold in order to compare/extend the results obtained by Xue-Mei Li about a averaging principle for a completely integrable stochastic Hamiltonian system. Our main result is to generalize these ideas to the case of a manifold M = (-a; a)n x N, where N is a compact manifold without boundary. In particular our results show for the case that foliation is generated by an submersion of M over Rn. Finally we present some examples / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática