La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes définies sur un espace vectoriel à des fonctions convexes définies sur l'espace vectoriel dual. Elle est reliée à la dualité projective, aux coordonnées tangentielles en géometrie algébrique et à la construction des espaces de Banach duaux en analyse. On l'utilise aussi en mécanique statistique pour définir des potentiels thermodynamiques à partir des fonctions de variables d'état. Plus précisément, la transformation de Legendre permet de transformer une fonction d'état d'un système en une autre fonction d'état mieux adaptée à un problème particulier. Le chapitre un se veut un résumé des résultats connus à propos de la transformation de Legendre en analyse. Nous donnons plusieurs exemples afin d'illustrer les propriétés essentielles de cette transformation. Dans le chapitre deux, nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique: Les variables intensives, les variables extensives, l'énergie interne, l'entropie. Ensuite nous définissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformées de Legendre de l'énergie interne. Dans le chapitre trois, nous rappelons des résultats fondamentaux de la théorie des espèces de structures. Mentionnons en particulier le théorème de dissymétrie pour les arbres et pour les graphes, ainsi que les équations fonctionnelles fondamentales pour les CB-graphes, i.e les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inséparables B, ainsi que pour les CM-graphes, i.e les graphes connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irréductibles (2-arêtes-connexes). Dans le chapitre quatre, nous donnons la définition de la transformation de Legendre pour les espèces de structures à une sorte ou à deux sortes par rapport à une sorte. En effet, Pierre Leroux a été le premier à relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espèces de structures). Il a démontré (Leroux, 2003) que les CM-graphes sont liées au M-graphes par transformation de Legendre. Dans ce mémoire on montre par une construction originale que l'espèce M des graphes irréductibles peut être remplacée par une espèce N quelconque, avec N[0] =0. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Fonctions convexes, Ensembles convexes, Transformation de Legendre, Potentiels thermodynamiques, Énergie interne, Fonction de partition, Graphes, Isthme, Bloc, Motte, Graphes inséparables, Graphes irréductibles, Espèce de structures, Note.

Ces méthodes ont pour but commun l'étude des transitions de phase sous l'aspect analytique de singularités de fonctions. On présente les modèles discrets à spins d'Ising qui servent de support à ce travail. Les fonctions d'énergie de la physique statistique sont alors étudiées dans un contexte général d'approximations de singularités de fonctions convexes. Autour de la notion de matrice de transfert sont élaborées des propriétés de localisation de racines de polynômes. On termine par l'élaboration d'algorithmes de calcul formel de quelques fonctions fondamentales de la physique statistique: fonction de partition, énergie libre. On donne un panorama assez vaste des résultats obtenus à l'aide de ces algorithmes

L'objectif de ce travail est d'étudier l'induction en tant qu'outil exploratoire de bases d'exemples. L'induction automatique fournit une description tenant compte de l'ensemble des individus de la base d'exemples et en extrait la connaissance nécessaire à la résolution d'un problème. Il existe de nombreux algorithmes d'induction employant différents critères pragmatiques pour sélectionner une variable. Une formalisation mathématique du problème de la sélection d'une variable est proposée. Elle permet d'une part de définir une famille de "bons" critères reposant sur le choix d'une fonction strictement concave. D'autre part, les systèmes d'induction incertaine décrits dans la littérature emploient des techniques d'élagage dont le but est la construction d'arbres de classement. Une méthode d'élagage liée à un indice de qualité et adaptée à notre usage de l'induction incertaine est proposée. Elle montre en quoi la construction et l'élagage d'un arbre relèvent des mêmes concepts théoriques (l'indice de qualité fait intervenir les résultats des calculs entrepris lors de la construction de l'arbre). Un système d'induction (ARBRE) mettant enoeuvre ces résultats théoriques a été développé. il met en évidence les spécifications qui, à notre avis, sont indispensables pour un système en domaine incertain. Il permet une exploration immédiate de base d'exemples sans connaissance préalable du domaine, et représente la connaissance acquise sous la forme d'arbres d'induction. Trois problèmes médicaux réels montrent l'intérêt de l'usage d'un tel système, adapté à tout domaine où la connaissance est incertaine.