Thèse de doctorat : Mathématiques : Lille 1 : 2003. / N° d'ordre (Lille) : 3295. Résumé en français et en anglais. Bibliogr. p. 244-247.

Cette thèse comprend deux parties indépendantes. Dans la première partie, nous développons une approche fondée sur la théorie des formes de Jacobi dont l'indice est un réseau pour classifier les formes modulaires réflexives sur des réseaux de niveau arbitraire. Les formes modulaires réflexives ont des applications en géométrie algébrique, en algèbre de Lie et en arithmétique. La classification des formes modulaires réflexives est un problème ouvert et a été étudiée par Borcherds, Gritsenko, Nikulin, Scheithauer et Ma depuis 1998. Dans cette partie, nous établissons de nouvelles conditions nécessaires à l'existence d'une forme modulaire réflexive. Nous prouvons la non-existence de formes modulaires réflexives et de formes modulaires 2-réflexives sur des réseaux de grand rang. Nous donnons également une classification complète des formes modulaires 2-réflexives sur des réseaux contenant deux plans hyperboliques.La deuxième partie est consacrée à l’étude des formes de Jacobi de $W(E_8)$-invariantes. Ce type de formes de Jacobi a une signification dans les variétés de Frobenius, la théorie de Gromov-Witten et la théorie des cordes. En 1992, Wirthm\"{u}ller a prouvé que l’espace des formes de Jacobi pour tout système de racines irréductible excepté $E_8$ est une algèbre polynomiale. Très peu de choses sont connues dans le cas de $E_8$. Dans cette partie, nous montrons que l'anneau bigradué des formes de Jacobi $W(E_8)$-invariantes n'est pas une algèbre polynomiale et prouvons que chacune de ces formes de Jacobi peut être exprimée uniquement sous la forme d'un polynôme en neuf formes de Jacobi algébriquement indépendantes introduites par Sakai avec des coefficients méromorphes $\SL_2(\ZZ)$-modulaires. Ce dernier résultat implique que, à indice fixé, l’espace des formes de Jacobi $W(E_8)$-invariantes est un module libre sur l’anneau des formes $\SL_2(\ZZ)$-modulaires et que le nombre de générateurs peut être calculé via une série génératrice. Nous déterminons et construisons tous les générateurs pour des indices petits. Ces résultats étendent un théorème de type de Chevalley au cas du réseau $E_8$. / This thesis consists of two independent parts. In the first part we develop an approach based on the theory of Jacobi forms of lattice index to classify reflective modular forms on lattices of arbitrary level. Reflective modular forms have applications in algebraic geometry, Lie algebra and arithmetic. The classification of reflective modular forms is an open problem and has been investigated by Borcherds, Gritsenko, Nikulin, Scheithauer and Ma since 1998. In this part, we establish new necessary conditions for the existence of a reflective modular form. We prove non-existence of reflective modular forms and 2-reflective modular forms on lattices of large rank. We also give a complete classification of 2-reflective modular forms on lattices containing two hyperbolic planes. The second part is devoted to the study of Weyl invariant $E_8$ Jacobi forms. This type of Jacobi forms has significance in Frobenius manifolds, Gromov--Witten theory and string theory. In 1992, Wirthm\"{u}ller proved that the space of Jacobi forms for any irreducible root system not of type $E_8$ is a polynomial algebra. But very little has been known about the case of $E_8$. In this paper we show that the bigraded ring of Weyl invariant $E_8$ Jacobi forms is not a polynomial algebra and prove that every such Jacobi form can be expressed uniquely as a polynomial in nine algebraically independent Jacobi forms introduced by Sakai with coefficients which are meromorphic $\SL_2(\ZZ)$ modular forms. The latter result implies that the space of Weyl invariant $E_8$ Jacobi forms of fixed index is a free module over the ring of $\SL_2(\ZZ)$ modular forms and that the number of generators can be calculated by a generating series. We determine and construct all generators of small index. These results give a proper extension of the Chevalley type theorem to the case of $E_8$.

Texte remanié de: Dissertation--Mathematik--Mainz--Johannes Gutenberg-Universität, 2005. / Bibliogr. p. 187-191.

Thèse ou mémoire avec insertion d'articles / Ce mémoire a pour but d'introduire le lecteur aux divers outils qui facilitent l'étude des formes modulaires et des valeurs spéciales de leur fonction L associée. Le premier chapitre de cet écrit rassemble plusieurs notions de base sur les formes modulaires et leur fonction L. C'est dans le second chapitre que seront introduits trois outils incontournables qui permettent d'étudier les valeurs spéciales des fonctions L. Le premier de ces outils est les symboles modulaires. Ces intégrales complexes récupèrent certaines des valeurs spéciales convoitées et ont l'avantage d'être calculables numériquement. Un second outil présenté dans ce chapitre est les éléments de Mazur-Tate p-adiques. On propose au lecteur d'explorer quelques-unes de leurs propriétés fondamentales en suivant les expositions de [MT87], de [PW11] et de [MTT86]. Puis, on emploiera les méthodes issues de l'interpolation p-adique pour étudier ces valeurs spéciales à l'aide de la fonction L p-adique. On propose au lecteur d'étudier trois constructions équivalentes de cet objet afin d'en obtenir une meilleure compréhension. Le troisième chapitre de ce mémoire est un article de recherche qui présente de nombreux calculs explicites qui peuvent être réalisés avec les symboles modulaires et les éléments de Mazur-Tate. L'emphase est mise sur les invariants d'Iwasawa p-adiques associés à la fonction t de Ramanujan. Le quatrième chapitre généralise les concepts abordés dans les chapitres précédents aux formes modulaires de Bianchi. Ce chapitre s'adresse davantage aux lecteurs et aux lectrices qui maîtrisent bien les bases de la théorie des formes modulaires classiques et qui désirent être introduits et introduites à une généralisation de cette théorie. Le chapitre final de ce mémoire se veut être un appendice qui rassemble quelques résultats élémentaires à propos des nombres p-adiques et des fractions continues. Ces résultats sont placés à la fin du mémoire simplement pour en améliorer la lisibilité. / The main goal of this Master's thesis is to introduce to the reader to some of the tools involved in the study of modular forms and special values of their L functions. The first chapter of this document gathers many basic notions on modular forms and L functions. In the second chapter, we introduce three main tools for studying special values of L functions. The first of these tools is modular symbols. These complex integrals recover some of the interesting special L-values. Moreover, they are numerically computable. A second tool introduced in this chapter is p-adic Mazur-Tate elements. We propose the reader to study some of their fundamental properties by following the expositions of [MT87], [PW11] and [MTT86]. At the end of this chapter, we use the techniques of p-adic interpolation to study these special values using the p-adic L function. We will describe three equivalent constructions of this object to help the reader get a better understanding. The third chapter of this Master's thesis is a research article containing many explicit computations using modular symbols and Mazur-Tate elements. We put the emphasis on p-adic Iwasawa invariants associated to Ramanujan's t function. The fourth chapter generalises the concepts discussed in previous chapters to Bianchi modular forms. This chapter assumes a more thorough understanding of the basics of the theory of modular forms and introduces the reader to a vast generalization of this theory. The final chapter is an appendix gathering some important elementary results on p-adic numbers and continued fractions. These results are placed at the end of this thesis simply to improve readability.

En 2010, Dummigan et Heim ont démontré deux résultats en lien avec le nombre de classes du corps quadratique Q(√-p), dénoté h(-p), et l'espace des formes cuspidales de poids k pour SL2(ℤ), dénoté Sk(SL2(ℤ)), où p ≡ 3 (mod 4) est un premier et k = (p + 1)/2. Ainsi, dans ce mémoire, on s'intéresse à présenter les démonstrations de Dummigan et Heim avec davantage de détails et de généraliser leurs résultats. Tout d'abord, le premier résultat a_rme que la trace de la fonction L carrée symétrique, un nombre rationnel qui dépend uniquement du poids de l'espace Sk(SL2(ℤ)), possède un unique facteur de p au dénominateur si et seulement si h(-p) > 1. De plus, si h(-p) =1, alors la trace ne contient aucun facteur de p. Ainsi, en utilisant les congruences de Kummer pour les nombres de Bernoulli, on démontre qu'il est possible de généraliser ce résultat pour l'espace Sk'(SL2(ℤ) ou k' ≡ k (mod p - 1). En rapport avec ce résultat, une conjecture est énoncée et des évidences numériques avec PARI/GP sont données. Ensuite, Dummigan et Heim ont démontré, en utilisant la théorie des représentations galoisiennes, qu'il existe une forme cuspidale f = Σn≥1 anqn de poids k pour SL2 (ℤ) qui satisfait une congruence diédrale en p, c'est-à-dire p

On démontre un théorème de structure pour l'anneau des<br />formes quasi-modulaires $\widetilde{M}_*(\Gamma)$ gradué par<br />le poids, sur n'importe quel groupe discret et co-compact<br />$\Gamma \subset \rm{PSL}(2, \mathbb{R})$ : cet anneau s'avère<br />être toujours infiniment engendré. On calcule le nombre<br />de nouveaux générateurs en chaque poids. Le nombre en<br />question est fixe et est égal à $\dim_{\mathbb{C}} I<br />/ (I \cap \widetilde{I}^2)$ où $I$ et $\widetilde{I}$<br />désignent respectivement l'idéal des formes modulaires <br />sur $\Gamma$ (respectivement l'idéal des formes quasi-modulaires<br />sur $\Gamma$) en poids positifs. On construit des <br />anneaux $\widetilde{R}$ finiment engendrés en poids positif<br />et contenant les anneaux de formes quasi-modulaires sur<br />des groupes modulaires co-compacts. On étudie aussi<br />des restrictions des formes modulaires de Hilbert aux<br />courbes modulaires : on montre que l'espace engendré par<br />une suite de restrictions des formes modulaires de Hilbert<br />sur une courbe modulaire <br />est un sous-espace fermé par crochets de Rankin-Cohen de<br />l'espace des formes modulaires sur la courbe. <br />\vskip 2cm

On montre que la variété de Hecke associée aux formes de Hilbert sur un corps totalement réel F est lisse aux points correspondant à certaines séries thêta de poids 1 et on donne aussi un critère pour que le morphisme de poids soit étale en ces points. Lorsque les séries thêta sont à multiplication réelle, on construit des formes surconvergentes propres généralisée qui ne sont pas classiques et l'on exprime leurs coefficients de Fourier à l'aide de logarithmes p-adiques de nombres algébriques. Si F = Q, on complète les résultats de Bellaïche-Dimitrov aux points où la courbe de Coleman-Mazur est lisse mais pas étale au-dessus de l'espace des poids en donnant un critère précis pour que l'indice de ramification soit égale à 2. Notre approche utilise la théorie des déformations et pseudo-déformations galoisiennes. / We show that the Eigenvariety attached to Hilbert modular forms over a totally real field F is smooth at the points corresponding to certain classical weight one theta series and we give a precise criterion for etaleness over the weight space at those points. In the case where the theta series has real multiplication, we construct a non-classical overconvergent generalised eigenform and compute its Fourier coefficient in terms of p-adic logarithms of algebraic numbers. When F = Q, we complete the work of Bellaïche-Dimitrov at the points where the Eigencurve is smooth but not etale over the weight space by giving a precise criterion for the ramication index to be 2. Our approach uses deformations and pseudo-deformations of Galois representations.

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première, on s'intéresse à la résolution de certaines équations diophantiennes par la méthode modulaire. On traite plus particulièrement le cas des équations de Fermat de type (5,5,p) ainsi que celui des équations de la forme F(x,y)=z^p où p est un nombre premier et F une cubique rationnelle. La deuxième partie est consacrée à l'arithmétique des courbes elliptiques. Dans le cas d'une courbe définie sur une extension finie de Q_2 ayant mauvaise réduction additive avec potentiellement bonne réduction, on s'intéresse à la détermination de son défaut de semi-stabilité. On énonce un résultat partiel valable pour toute extension finie de Q_2. Dans le cas des extensions quadratiques ramifiées de Q_2, on obtient un résultat complet. Par ailleurs, si E est une courbe elliptique définie sur un corps de nombres K, on s'intéresse, dans le dernier chapitre, à l'ensemble des nombres premiers p pour lesquels l'action du groupe de Galois absolu de K sur le sous-groupe des points de p-torsion de E est réductible. Lorsque cet ensemble est fini, on obtient un critère permettant en pratique de le déterminer explicitement.

Cette thèse étudie l'existence de points de torsion pour les modules de Drinfeld de rang 2 sur des extensions finies de F_q(T), pour q puissance d'un nombre premier. Notre approche suit celle de Mazur et Merel pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres : nous introduisons un quotient de la jacobienne d'une courbe modulaire de Drinfeld, défini à l'aide d'un symbole modulaire de Teitelbaum particulier, et étudions ses propriétés. Sous une hypothèse de dualité entre algèbre de Hecke et formes modulaires pour F_q[T], ainsi qu'une hypothèse technique mineure, on montre le résultat suivant : s'il existe un module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus q de F_q(T), muni d'un point de torsion d'ordre un idéal premier n de F_q[T], alors le degré de n est au plus max(q,4). Nous utilisons pour cela une description de l'action de l'algèbre de Hecke sur les symboles modulaires de Teitelbaum et sur les formes modulaires pour F_q[T]. Lorsque le degré de n est petit, on obtient des résultats non conditionnels : il n'existe aucun module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus 2 (resp. au plus 3) de F_q(T) possédant un point de torsion d'ordre un idéal premier de degré 3 (resp. de degré 4 si q est au moins 7). Cela confirme partiellement une conjecture de Poonen et Schweizer de borne uniforme sur la torsion des modules de Drinfeld.

On étudie les valeurs spéciales de fonctions $L$ attachées aux formes modulaires, tordues par des caractères de Dirichlet de conducteur arbitraire. On construit des distributions à valeurs algébriques à partir de distributions à valeurs modulaires. On prouve sur ces dernières des résultats de congruence et d'admissibilité. On obtient alors les distributions scalaires en appliquant une forme linéaire, ce qui permet de montrer qu'elles vérifient elles aussi de bonnes propriétés. On établit ensuite un lien entre ces distributions scalaires et les valeurs spéciales qui nous intéressent, ce qui permet d'établir de nouvelles congruences entre elles.