L'étude des propriétés analytiques des fonctions L de formes modulaires est un thème profond de la théorie des nombres. Jusqu'à présent, les propriétés ont essentiellement été établies dans le cas des formes de niveau premier ou sans facteur carré. L'objet de cette thèse est d'établir les bases de l'analyse dans le cas arithmétiquement opposé des niveaux primaires, c'est-à-dire puissances d'un nombre premier. La famille de fonctions L considérée est alors celle obtenue en faisant varier la valuation du niveau. En particulier, on établit une formule de trace qui permet de calculer le troisième moment des valeurs centrales de fonctions L de formes modulaires et d'étudier l'annulation de ces valeurs centrales. / The study of the analytical properties of the modular L-functions is a deep subject in number theory. Up to now, the properties have essentially been established in the case of prime or squarefree level. The aim of this thesis is to give the analytic properties in the arithmetically opposite case of prime power level. The family of L-functions under consideration is the one obtained when the valuation of the level is varying. In particular, we provide a trace formula that allows to compute the third moment of the central values of modular L-functions and to study the vanishing of these L values.

Cette thèse est consacrée à l’étude de la répartition des coefficients de fonctions L automorphes de GL(m) avec m = 2. D’une part, nous avons traité le premier changement de signes de ces coefficients, i.e. des problèmes de type Linnik, et obtenu des majorations du type polynômial. D’autre part, nous avons étudié les sommes longues et courtes des coefficients de fonctions L de GL(m) sur les nombres premiers pour tester leur décompensation, respectivement. / In the thesis we have studied the distribution of the coefficients of automorphic L-functions for GL(m) with m = 2. On the one hand, we have treated the first sign change of these coefficients, i.e. the Linnik-type problems, and obtained the polynomial-type estimates. On the other hand, we studied the long and short summations of coefficients of L-functions for GL(m) on the prime numbers to test their decompensation, respectively.

Cette thèse vise à approfondir les analogies entre les valeurs propres de matrices aléatoires sur les groupes compacts et les zéros de fonctions L, en particulier la fonction zêta.

Thèse ou mémoire avec insertion d'articles / Ce mémoire a pour but d'introduire le lecteur aux divers outils qui facilitent l'étude des formes modulaires et des valeurs spéciales de leur fonction L associée. Le premier chapitre de cet écrit rassemble plusieurs notions de base sur les formes modulaires et leur fonction L. C'est dans le second chapitre que seront introduits trois outils incontournables qui permettent d'étudier les valeurs spéciales des fonctions L. Le premier de ces outils est les symboles modulaires. Ces intégrales complexes récupèrent certaines des valeurs spéciales convoitées et ont l'avantage d'être calculables numériquement. Un second outil présenté dans ce chapitre est les éléments de Mazur-Tate p-adiques. On propose au lecteur d'explorer quelques-unes de leurs propriétés fondamentales en suivant les expositions de [MT87], de [PW11] et de [MTT86]. Puis, on emploiera les méthodes issues de l'interpolation p-adique pour étudier ces valeurs spéciales à l'aide de la fonction L p-adique. On propose au lecteur d'étudier trois constructions équivalentes de cet objet afin d'en obtenir une meilleure compréhension. Le troisième chapitre de ce mémoire est un article de recherche qui présente de nombreux calculs explicites qui peuvent être réalisés avec les symboles modulaires et les éléments de Mazur-Tate. L'emphase est mise sur les invariants d'Iwasawa p-adiques associés à la fonction t de Ramanujan. Le quatrième chapitre généralise les concepts abordés dans les chapitres précédents aux formes modulaires de Bianchi. Ce chapitre s'adresse davantage aux lecteurs et aux lectrices qui maîtrisent bien les bases de la théorie des formes modulaires classiques et qui désirent être introduits et introduites à une généralisation de cette théorie. Le chapitre final de ce mémoire se veut être un appendice qui rassemble quelques résultats élémentaires à propos des nombres p-adiques et des fractions continues. Ces résultats sont placés à la fin du mémoire simplement pour en améliorer la lisibilité. / The main goal of this Master's thesis is to introduce to the reader to some of the tools involved in the study of modular forms and special values of their L functions. The first chapter of this document gathers many basic notions on modular forms and L functions. In the second chapter, we introduce three main tools for studying special values of L functions. The first of these tools is modular symbols. These complex integrals recover some of the interesting special L-values. Moreover, they are numerically computable. A second tool introduced in this chapter is p-adic Mazur-Tate elements. We propose the reader to study some of their fundamental properties by following the expositions of [MT87], [PW11] and [MTT86]. At the end of this chapter, we use the techniques of p-adic interpolation to study these special values using the p-adic L function. We will describe three equivalent constructions of this object to help the reader get a better understanding. The third chapter of this Master's thesis is a research article containing many explicit computations using modular symbols and Mazur-Tate elements. We put the emphasis on p-adic Iwasawa invariants associated to Ramanujan's t function. The fourth chapter generalises the concepts discussed in previous chapters to Bianchi modular forms. This chapter assumes a more thorough understanding of the basics of the theory of modular forms and introduces the reader to a vast generalization of this theory. The final chapter is an appendix gathering some important elementary results on p-adic numbers and continued fractions. These results are placed at the end of this thesis simply to improve readability.

La recherche d'annulateurs du groupe des classes d'idéaux d'une extension abélienne de Q est un sujet classique et remonte à des travaux de Kummer et Stickelberger. La conjecture de Brumer-Stark porte sur les extensions abéliennes de corps de nombres et prédit qu'un élément de l'anneau de groupe du groupe de Galois, appelé élément de Brumer-Stickelberger, est un annulateur du groupe des classes de l'extension. De plus, elle stipule que les générateurs des idéaux principaux obtenus possèdent des propriétés bien particulières. Cette thèse est dédiée à la généralisation de cette conjecture aux extensions de corps de nombres galoisiennes mais non abéliennes. Dans un premier temps, nous nous focalisons sur l'étude de l'analogue non abélien de l'élément de Brumer, nécessaire à l'établissement d'une conjecture non abélienne. La seconde partie est consacrée à l'énoncé de la conjecture de Brumer-Stark non abélienne et à ses reformulations, ainsi qu'aux propriétés qu'elle vérifie. Nous nous intéressons notamment aux propriétés de changement d'extension. Nous étudions ensuite le cas spécifique des extensions dont le groupe de Galois possède un sous-groupe abélien H distingué d'indice premier. Sous la validité de la conjecture de Brumer-Stark associée à certaines extensions abéliennes, nous en déduisons deux résultats suivant la parité du cardinal de H : dans le cas impair, nous démontrons la conjecture de Brumer-Stark non abélienne, et dans le cas pair, nous établissons un résultat d'abélianité permettant d'obtenir, sous des hypothèses supplémentaires, la conjecture non abélienne. Enfin nous effectuons des vérifications numériques de la conjecture non abélienne permettant de démontrer cette conjecture dans les exemples testés.

Cette thèse s'intéresse aux fonctions L, à leurs aspects explicites et à leurs applications Dans le premier chapitre, nous donnons une définition précise de ce que nous appelons une fonction L ainsi que leurs principales propriétés, notamment concernant les invariants appelés paramètres locaux. Ensuite, nous traitons le cas des fonctions L d'Artin. Pour celles-ci, nous avons créé un programme dans le logiciel PARI/GP donnant les coefficients et les invariants d'une fonction L d'Artin lorsque le corps de base est Q.Le deuxième chapitre explicite un théorème dû à Henryk Iwaniec et Emmanuel Kowalski permettant de différencier deux fonctions L générales en considérant leurs paramètres locaux pour tous les premiers jusqu'à une certaine borne théorique.Dans la suite, nous constaterons que distinguer la somme des paramètres locaux de fonctions L d'Artin revient à séparer les caractères associés par les automorphismes de Frobenius. Ce sera l'objet du troisième chapitre qui est à relier au théorème de Chebotarev. En appliquant notre résultat à des caractères conjugués du groupe alterné, on obtient une borne sur un nombre premier p donnant l'écriture de la factorisation modulo p d'un polynôme répondant à certains critères. Ce travail est à comparer avec un résultat de Joël Bellaïche (2013). Nous illustrons enfin numériquement nos résultats en étudiant l'évolution de la borne sur des polynômes de la forme X^n+uX+v avec n=5, 7 et 13. / This thesis focuses on L-functions, their explicit aspects and their applications.In the first chapter, we give a precise definition of L-functions and their main properties, especially about the invariants called local parameters. Then, we deal with Artin L-functions. For them, we have created a computer program in PARI/GP which gives the coefficients and the invariants for an Artin L-function above Q.In the second chapter, we make explicit a theorem of Henryk Iwaniec and Emmanuel Kowalski, which distinguishes between two L-functions by considering their local parameters for primes up to a theoretical bound.Actually, distinguishing between sums of local parameters of Artin L-functions is the same as separating the associated characters by the Frobenius automorphism. This is the subject of the third chapter, that can be related to Chebotarev Theorem. By applying the result to conjugate characters of the alternating group, we get a bound for a prime p giving the factorization modulo $p$ of a certain polynomial. This work has to be compared with a result from Joël Bellaïche (2013).Finally, we numerically illustrate our results by studying the evolution of the bound on polynomials X^n+uX+v, for n=5, 7 and 13.

On étudie les valeurs spéciales de fonctions $L$ attachées aux formes modulaires, tordues par des caractères de Dirichlet de conducteur arbitraire. On construit des distributions à valeurs algébriques à partir de distributions à valeurs modulaires. On prouve sur ces dernières des résultats de congruence et d'admissibilité. On obtient alors les distributions scalaires en appliquant une forme linéaire, ce qui permet de montrer qu'elles vérifient elles aussi de bonnes propriétés. On établit ensuite un lien entre ces distributions scalaires et les valeurs spéciales qui nous intéressent, ce qui permet d'établir de nouvelles congruences entre elles.

Cette thèse montre la possibilité d'une application rigoureuse de la méthode d'intégration numérique double-exponentielle introduite par Takahasi et Mori en 1974, et sa pertinence pour les calculs à grande précision en théorie des nombres. Elle contient en particulier une étude détaillée de cette méthode, des critères simples sur son champ d'application, et des estimations rigoureuses des termes d'erreur. Des paramètres explicités et précis permettent de l'employer aisément pour le calcul garanti de fonctions définies par des intégrales. Cette méthode est également appliquée en détail au calcul de transformées de Mellin inverses de facteurs gamma intervenant dans les calculs numériques de fonctions L. Par une étude unifiée, ce travail démontre la complexité d'un algorithme de M. Rubinstein et permet de proposer des algorithmes de calcul de valeurs de fonctions L quelconques dont le résultat est garanti et dont la complexité est meilleure en la précision.

Le résultat principal de cette thèse est une formule asymptotique pour le quatrième moment des fonctions L automorphes de niveau p', où p est un nombre premier et v-x. Il prolonge le travail de Rouymi, qui a calculé les trois premiers moments de niveau p, et il généralise les résultats obtenus en niveau premier par Duke, Friedlander & Iwaniec et Kowalski, Michel & Vanderkam. / The main result of this dissertation is an asymptotic formula for the fourth moment of automorphic L-functions of prime power level p, v-x. This is a continuation of the work of Rouymi, who computed the first three moments at prime power level, and a generalisation of results obtained for prime level by Duke, Friedlander & Iwaniec and Kowalski, Michel & Vanderkam.

L'objectif de ce mémoire est de donner la construction de la fonction L p-adique associée à une forme modulaire en suivant l'exposition de [MTT86] et d'étudier les cœfficients du développement en série de puissances de cette fonction. Dans le chapitre 1, nous introduisons les nombres p-adiques. Le corps des nombres p-adiques est déni de manière arithmétique et est un outil important en théorie des nombres. Nous étudierons également les fonctions dont le domaine est les p-adiques et les distributions p-adiques. Ensuite, nous verrons les notions de base sur les formes modulaires et nous présenterons leur fonction L complexe. Dans le chapitre 2, nous construirons une distribution p-adique µf attachée à une forme modulaires avec la propriété que cette dernière interpole les valeurs de la fonction L complexe de f. Par la suite, nous dérivons l'équation fonctionnelle pour la fonction L p-adique obtenue parla distribution µf . Finalement, dans le chapitre 3, nous démontrerons des conséquences de l'équation fonctionnelle. Certains résultats de ce chapitre sont nouveaux et ont été publiés dans [DS19].