On s’intéresse dans cette thèse à l’étude des fonctions thêta intervenant dans la preuve de l’équation fonctionnelle des fonctions L de Dirichlet. En particulier, on adapte certains résultats obtenus dans le cadre des fonctions L au cas des fonctions thêta. S. Chowla a conjecturé que les fonctions L de Dirichlet associées à des caractères χ primitifs ne doivent pas s’annuler au point central de leur équation fonctionnelle. De façon analogue, il est conjecturé que les fonctions thêta ne s'annulent pas au point 1. Dans le but de prouver cette conjecture pour beaucoup de caractères, on étudie les moments de fonctions thêta dans plusieurs familles. On se focalise sur deux familles importantes. La première considérée est l’ensemble des caractères de Dirichlet modulo p où p est un nombre premier. On prouve des formules asymptotiques pour les moments d'ordre 2 et 4 en se ramenant à des problèmes de nature diophantienne. La seconde famille considérée est celle des caractères primitifs et quadratiques associés à des discriminants fondamentaux d inférieurs à une certaine borne fixée. On donne une formule asymptotique pour le premier moment et une majoration pour le moment d'ordre 2 en utilisant des techniques de transformée de Mellin ainsi que des estimations sur les sommes de caractères. Dans les deux cas, on en déduit des résultats de non-annulation des fonctions thêta. On propose également un algorithme qui, pour beaucoup de caractères, se révèle en pratique efficace pour prouver la non-annulation sur l'axe réel positif des fonctions thêta ce qui entraîne la non-annulation sur le même axe des fonctions L associées. / In this thesis, we focus on the study of theta functions involved in the proof of the functional equation of Dirichlet L- functions. In particular, we adapt some results obtained for L-functions to the case of theta functions. S. Chowla conjectured that Dirichlet L- functions associated to primitive characters χ don’t vanish at the central point of their functional equation. In a similar way to Chowla’s conjecture, it is conjectured that theta functions don't vanish at the central point of their functional equation for each primitive character. With the aim of proving this conjecture for a lot of characters, we study moments of theta functions in various families. We concentrate on two important families. The first one which we consider is the family of all Dirichlet characters modulo p where p is a prime number. In this case, we prove asymptotic formulae for the second and fourth moment of theta functions using diophantine techniques. The second family which we consider is the set of primitive quadratic characters associated to a fundamental discriminant less than a fixed bound. We give an asymptotic formula for the first moment and an upper bound for the second moment using techniques of Mellin transforms and estimation of character sums. In both cases, we deduce some results of non-vanishing. We also give an algorithm which, in practice, works well for a lot of characters to prove the non-vanishing of theta functions on the positive real axis. In this case, this implies in particular that the associated L-functions don’t vanish on the same axis.

Nous étudions, dans cette thèse, la construction des fonctions L p-adiques des motifs sur $\Q$ et, plus particulièrement, des formes modulaires.Dans les premiers trois chapitres on étend des constructions de Perrin-Riou pour construire, pour une représentation p-adique de de Rham $V$ du groupe de Galois absolu $\mathscr{G}_\qp$ de $\qp$ (ou, plus généralement, un alpha gamma-module de de Rham sur l'anneau de Robba) et un système compatible d'éléments globaux, une fonction L p-adique. On montre, en utilisant des lois de réciprocité montrées par Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger et Nakamura, que ces fonctions interpolent des valeurs arithmétiques intéressantes aux caractères localement algébriques.Dans les derniers trois chapitres, on se spécialise au cas de dimension $2$. On démontre, en s'inspirant des techniques de Nakamura et des nouvelles techniques de changement de poids de Colmez introduites pour l'étude des vecteurs localement algébriques dans la correspondance de Langlands L p-adique pour $\mathrm{GL}_2(\qp)$, une équation fonctionnelle pour notre fonction L p-adique. Comme une application de cette équation fonctionnelle, on fournit les argument manquants dans les travaux de Nakamura, complétant la preuve de la conjecture $\epsilon$ locale de Kato pour les représentations de dimension $2$. Pour le motif associé à une forme modulaire, on utilise tous ces résultats pour interpréter les valeurs interpolées par la fonction L p-adique en termes des valeurs spéciales de la fonction $L$ complexe de cette forme. / This thesis studies the construction of $p$-adic $L$-functions associated to motives over $\Q$ and, in particular, to modular forms.In the first three chapters we generalize some constructions of Perrin-Riou in order to construct, for any $p$-adic de Rham representation $V$ of the absolute Galois group $\mathscr{G}_\qp$ of $\qp$ (or, more generally, any de Rham $(\varphi, \Gamma)$-module over the Robba ring) and any compatible system of global elements, a $p$-adic $L$-function. We show, by the use of some reciprocity laws proved by Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger and Nakamura, that these functions interpolate interesting arithmetic values at locally algebraic characters.The last three chapters deal with the particular case of dimension $2$. We show, inspired by some techniques of Nakamura and certain weight change techniques introduced by Colmez for the study of locally algebraic vectors in the $p$-adic Langlads correspondence for $\mathrm{GL}_2(\qp)$, that our $p$-adic $L$-function satisfies a functional equation. As an application of our functional equation, we fulfil the missing arguments in the work of Nakamura, providing a complete proof of Kato's local $\epsilon$-conjecture for $2$-dimensional representations. For the motive associated to a modular form, we use these results to interpret the interpolated values of the $p$-adic $L$-function in terms of special values of the complex $L$-function of the form.

Le résultat principal de ce texte est une généralisation de la formule de Gross-Zagier p-adique de Perrin-Riou au cas de courbes de Shimura sur les corps totalement réels. Soit F un corps totalement réel. Soit f une forme modulaire de Hilbert sur F de poids parallel 2, qui est une forme nouvelle et est ordinaire en p. Soit E est une extension quadratique totalement imaginaire de F de discriminant premier à p et au conducteur de f. On peut construire une fonction L p-adique qui interpole valeurs spéciales de la fonction L complexe associée à f, E et caractères de Hecke d'ordre fini de E. La formule p-adique de Gross-Zagier relie la dérivée centrale de cette fonction L p-adique à la hauteur d'un divisor de Heegner sur une certaine courbe de Shimura. La stratégie de la preuve est proche de celle du travail original de Perrin-Riou. Dans la partie analytique, on construit le noyau analytique par calculs adéliques; dans la partie géométrique, on décompose le noyau géométrique en deux parties: places hors de p et places divisant p. Pour les places hors de p, les hauteurs p-adiques sont essentiellement des nombres d'intersection et sont calculées dans les travaux de S. Zhang, et il s'avère que cette partie est bien liée au noyau analytique. Pour les places divisant p, on utilise la méthode dans le travail de J. Nekovar pour montrer que la contribution de cette partie est nulle. / The main result of this text is a generalization of Perrin-Riou's p-adic Gross-Zagier formula to the case of Shimura curves over totally real fields. Let F be a totally real field. Let f be a Hilbert modular form over F of parallel weight 2, which is a new form and is ordinary at p. Let E be a totally imaginary quadratic extension of F of discriminant prime to p and to the conductor of f. We may construct a p-adic L function that interpolates special values of the complex L functions associated to f, E and finite order Hecke characters of E. The p-adic Gross-Zagier formula relates the central derivative of this p-adic L function to the p-adic height of a Heegner divisor on a certain Shimura curve. The strategy of the proof is close to that of the original work of Perrin-Riou. In the analytic part, we construct the analytic kernel via adelic computations, in the geometric part, we decompose the geometric kernel into two parts: places outside p and places dividing p. For places outside p, the p-adic heights are essentially intersection numbers and are computed in works of S. Zhang, and it turns out that this part is closely related to the analytic kernel. For places dividing p, we use the method in the work of J. Nekovar to show that the contribution of this part is zero.

Le but de cette thèse est d'étudier les zéros exceptionnels des fonctions L p-adiques de Rankin-Selberg. Autrement dit, pour un couple de formes modulaires nous étudierons l'annulation de la fonction p-adique interpolant la fonction L de Rankin-Selberg associée à ce couple. Lorsque la fonction s'annule, on exprime alors la dérivée de la fonction L p-adique en fonction de l'invariant L,des périodes p-adique et infinie et du terme principal de la fonction complexe de Rankin-Selberg. / The aim of this thesis is to study the extra zeros of the p-adic L functions of Rankin-Selberg. In other words, for a couple of modular forms we study the zeros of the p-adic function interpolating the Rankin-Selberg L function associated to this couple. When the function has a zero we express the value of the derivate in terms of the L invariant, p-adic and infinite periods and the principal term of the complex Rankin-Selberg function.

Le sujet principal de cette thèse est la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme $qn+a$, avec $a$ et $q$ des entiers fixés et $n=1,2,3,\dots$ La thèse porte aussi sur la comparaison de différentes suites arithmétiques par rapport à leur comportement dans les progressions arithmétiques. Elle est divisée en quatre chapitres et contient trois articles. Le premier chapitre est une invitation à la théorie analytique des nombres, suivie d'une revue des outils qui seront utilisés plus tard. Cette introduction comporte aussi certains résultats de recherche, que nous avons cru bon d'inclure au fil du texte. Le deuxième chapitre contient l'article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, qui est le fruit de recherche conjointe avec le professeur Greg Martin. Le but de cet article est d'étudier un phénomène appelé le <<Biais de Chebyshev>>, qui s'observe dans les <<courses de nombres premiers>>. Chebyshev a observé qu'il semble y avoir plus de premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$. De manière plus générale, Rubinstein et Sarnak ont montré l'existence d'une quantité $\delta(q;a,b)$, qui désigne la probabilité d'avoir plus de premiers de la forme $qn+a$ que de la forme $qn+b$. Dans cet article nous prouvons une formule asymptotique pour $\delta(q;a,b)$ qui peut être d'un ordre de précision arbitraire (en terme de puissance négative de $q$). Nous présentons aussi des résultats numériques qui supportent nos formules. Le troisième chapitre contient l'article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. Le but est de fixer un entier $a\neq 0$ et ensuite d'étudier la répartition des premiers de la forme $qn+a$, en moyenne sur $q$. Nous montrons que l'entier $a$ fixé au départ a une grande influence sur cette répartition, et qu'il existe en fait certaines progressions arithmétiques contenant moins de premiers que d'autres. Ce phénomène est plutôt surprenant, compte tenu du théorème des premiers dans les progressions arithmétiques qui stipule que les premiers sont équidistribués dans les classes d'équivalence $\bmod q$. Le quatrième chapitre contient l'article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. Dans cet article on s'intéresse à des irrégularités similaires à celles observées au troisième chapitre, mais pour des suites arithmétiques plus générales. En effet, nous étudions des suites telles que les entiers s'exprimant comme la somme de deux carrés, les valeurs d'une forme quadratique binaire, les $k$-tuplets de premiers et les entiers sans petit facteur premier. Nous démontrons que dans chacun de ces exemples, ainsi que dans une grande classe de suites arithmétiques, il existe des irrégularités dans les progressions arithmétiques $a\bmod q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur $q$. / The main subject of this thesis is the distribution of primes in arithmetic progressions, that is of primes of the form $qn+a$, with $a$ and $q$ fixed, and $n=1,2,3,\dots$ The thesis also compares different arithmetic sequences, according to their behaviour over arithmetic progressions. It is divided in four chapters and contains three articles. The first chapter is an invitation to the subject of analytic number theory, which is followed by a review of the various number-theoretic tools to be used in the following chapters. This introduction also contains some research results, which we found adequate to include. The second chapter consists of the article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, which is joint work with Professor Greg Martin. The goal of this article is to study <<Chebyshev's Bias>>, a phenomenon appearing in <<prime number races>>. Chebyshev was the first to observe that there tends to be more primes of the form $4n+3$ than of the form $4n+1$. More generally, Rubinstein and Sarnak showed the existence of the quantity $\delta(q;a,b)$, which stands for the probability of having more primes of the form $qn+a$ than of the form $qn+b$. In this paper, we establish an asymptotic series for $\delta(q;a,b)$ which is precise to an arbitrary order of precision (in terms of negative powers of $q$). %(it can be instantiated with an error term smaller than any negative power of $q$). We also provide many numerical results supporting our formulas. The third chapter consists of the article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. We fix an integer $a \neq 0$ and study the distribution of the primes of the form $qn+a$, on average over $q$. We show that the choice of $a$ has a significant influence on this distribution, and that some arithmetic progressions contain, on average over q, fewer primes than typical arithmetic progressions. This phenomenon is quite surprising since in light of the prime number theorem for arithmetic progressions, the primes are equidistributed in the residue classes $\bmod q$. The fourth chapter consists of the article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. In this article we are interested in studying more general arithmetic sequences and finding irregularities similar to those observed in chapter three. Examples of such sequences are the integers which can be written as the sum of two squares, values of binary quadratic forms, prime $k$-tuples and integers free of small prime factors. We show that a broad class of arithmetic sequences exhibits such irregularities over the arithmetic progressions $a\bmod q$, with $a$ fixed and on average over $q$.

Le sujet principal de cette thèse est la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme $qn+a$, avec $a$ et $q$ des entiers fixés et $n=1,2,3,\dots$ La thèse porte aussi sur la comparaison de différentes suites arithmétiques par rapport à leur comportement dans les progressions arithmétiques. Elle est divisée en quatre chapitres et contient trois articles. Le premier chapitre est une invitation à la théorie analytique des nombres, suivie d'une revue des outils qui seront utilisés plus tard. Cette introduction comporte aussi certains résultats de recherche, que nous avons cru bon d'inclure au fil du texte. Le deuxième chapitre contient l'article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, qui est le fruit de recherche conjointe avec le professeur Greg Martin. Le but de cet article est d'étudier un phénomène appelé le <<Biais de Chebyshev>>, qui s'observe dans les <<courses de nombres premiers>>. Chebyshev a observé qu'il semble y avoir plus de premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$. De manière plus générale, Rubinstein et Sarnak ont montré l'existence d'une quantité $\delta(q;a,b)$, qui désigne la probabilité d'avoir plus de premiers de la forme $qn+a$ que de la forme $qn+b$. Dans cet article nous prouvons une formule asymptotique pour $\delta(q;a,b)$ qui peut être d'un ordre de précision arbitraire (en terme de puissance négative de $q$). Nous présentons aussi des résultats numériques qui supportent nos formules. Le troisième chapitre contient l'article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. Le but est de fixer un entier $a\neq 0$ et ensuite d'étudier la répartition des premiers de la forme $qn+a$, en moyenne sur $q$. Nous montrons que l'entier $a$ fixé au départ a une grande influence sur cette répartition, et qu'il existe en fait certaines progressions arithmétiques contenant moins de premiers que d'autres. Ce phénomène est plutôt surprenant, compte tenu du théorème des premiers dans les progressions arithmétiques qui stipule que les premiers sont équidistribués dans les classes d'équivalence $\bmod q$. Le quatrième chapitre contient l'article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. Dans cet article on s'intéresse à des irrégularités similaires à celles observées au troisième chapitre, mais pour des suites arithmétiques plus générales. En effet, nous étudions des suites telles que les entiers s'exprimant comme la somme de deux carrés, les valeurs d'une forme quadratique binaire, les $k$-tuplets de premiers et les entiers sans petit facteur premier. Nous démontrons que dans chacun de ces exemples, ainsi que dans une grande classe de suites arithmétiques, il existe des irrégularités dans les progressions arithmétiques $a\bmod q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur $q$. / The main subject of this thesis is the distribution of primes in arithmetic progressions, that is of primes of the form $qn+a$, with $a$ and $q$ fixed, and $n=1,2,3,\dots$ The thesis also compares different arithmetic sequences, according to their behaviour over arithmetic progressions. It is divided in four chapters and contains three articles. The first chapter is an invitation to the subject of analytic number theory, which is followed by a review of the various number-theoretic tools to be used in the following chapters. This introduction also contains some research results, which we found adequate to include. The second chapter consists of the article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, which is joint work with Professor Greg Martin. The goal of this article is to study <<Chebyshev's Bias>>, a phenomenon appearing in <<prime number races>>. Chebyshev was the first to observe that there tends to be more primes of the form $4n+3$ than of the form $4n+1$. More generally, Rubinstein and Sarnak showed the existence of the quantity $\delta(q;a,b)$, which stands for the probability of having more primes of the form $qn+a$ than of the form $qn+b$. In this paper, we establish an asymptotic series for $\delta(q;a,b)$ which is precise to an arbitrary order of precision (in terms of negative powers of $q$). %(it can be instantiated with an error term smaller than any negative power of $q$). We also provide many numerical results supporting our formulas. The third chapter consists of the article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. We fix an integer $a \neq 0$ and study the distribution of the primes of the form $qn+a$, on average over $q$. We show that the choice of $a$ has a significant influence on this distribution, and that some arithmetic progressions contain, on average over q, fewer primes than typical arithmetic progressions. This phenomenon is quite surprising since in light of the prime number theorem for arithmetic progressions, the primes are equidistributed in the residue classes $\bmod q$. The fourth chapter consists of the article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. In this article we are interested in studying more general arithmetic sequences and finding irregularities similar to those observed in chapter three. Examples of such sequences are the integers which can be written as the sum of two squares, values of binary quadratic forms, prime $k$-tuples and integers free of small prime factors. We show that a broad class of arithmetic sequences exhibits such irregularities over the arithmetic progressions $a\bmod q$, with $a$ fixed and on average over $q$.

La recherche d’annulateurs du groupe des classes d’idéaux d’une extension abélienne de Q est un sujet classique et remonte à des travaux de Kummer et Stickelberger. La conjecture de Brumer-Stark porte sur les extensions abéliennes de corps de nombres et prédit qu’un élément de l’anneau de groupe du groupe de Galois, appelé élément de Brumer-Stickelberger, est un annulateur du groupe des classes de l’extension. De plus, elle stipule que les générateurs des idéaux principaux obtenus possèdent des propriétés bien particulières. Cette thèse est dédiée à la généralisation de cette conjecture aux extensions de corps de nombres galoisiennes mais non abéliennes. Dans un premier temps, nous nous focalisons sur l’étude de l’analogue non abélien de l’élément de Brumer, nécessaire à l’établissement d’une conjecture non abélienne. La seconde partie est consacrée à l’énoncé de la conjecture de Brumer-Stark non abélienne et à ses reformulations, ainsi qu’aux propriétés qu’elle vérifie. Nous nous intéressons notamment aux propriétés de changement d’extension. Nous étudions ensuite le cas spécifique des extensions dont le groupe de Galois possède un sous-groupe abélien H distingué d’indice premier. Sous la validité de la conjecture de Brumer-Stark associée à certaines extensions abéliennes, nous en déduisons deux résultats suivant la parité du cardinal de H : dans le cas impair, nous démontrons la conjecture de Brumer-Stark non abélienne, et dans le cas pair, nous établissons un résultat d’abélianité permettant d’obtenir, sous des hypothèses supplémentaires, la conjecture non abélienne. Enfin nous effectuons des vérifications numériques de la conjecture non abélienne permettant de démontrer cette conjecture dans les exemples testés. / Finding annihilators of the ideal class group of an abelian extension of Q is a classical subject which goes back to work of Kummer and Stickelberger. The Brumer-Stark conjecture deals with abelian extensions of number fields and predicts that a group ring element, called the Brumer-Stickelberger element, annihilates the ideal class group of the extension under consideration. Moreover it specifies that the generators thus obtained have special properties. The aim of this work is to generalize this conjecture to non-abelian Galois extensions. We first focus on the study of a non-abelian analogue of the Brumer element, necessary to establish a non-abelian generalization of the conjecture. The second part is devoted to the statement of our non-abelian conjecture, and the properties it satisfies. We are particularly interested in extension change properties. We then study the specific case of extensions whose Galois group has an abelian normal subgroup H of prime index. If the Brumer-Stark conjecture associated to certain abelian subextensions holds, we prove two results according to the parity of the cardinal of H : in the odd case, we get the non-abelian Brumer-Stark conjecture, and in the even case, we establish an abelianity result implying under additional hypotheses the proof of the non-abelian conjecture. Thanks to PARI-GP, we finally do some numerical verifications of the nonabelian conjecture, proving its validity in the tested examples.

No description available.

No description available.

Cette thèse établit des formules asymptotiques robustes pour le second moment harmonique ramolli des fonctions $L$ de Rankin-Selberg. La principale contribution est une amélioration substancielle de la longueur admissible du ramollisseur qui est réalisée grâce à la résolution d'un problème de convolution avec décalage additif par une méthode spectrale considérée en moyenne. Une première conséquence est une nouvelle borne de sous-convexité pour les fonctions L de Rankin-Selberg par rapport au niveau qui possède de nombreuses applications arithmétiques déjà connues. En outre, une infinité de fonctions L de Rankin-Selberg ayant au plus huit zéros réels non-triviaux est exhibée et de nouvelles estimations non-triviales du rang analytique de la famille étudiée sont obtenues.