Zugl.: Karlsruhe, Univ., Diss., 2009 / Hergestellt on demand

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2006. / Submitted by wesley oliveira leite (leite.wesley@yahoo.com.br) on 2009-11-25T16:08:33Z No. of bitstreams: 1 2006_TheoAllanDarnZapata.pdf: 585718 bytes, checksum: 6c3355de7df60627ab844ddbb518297a (MD5) / Approved for entry into archive by Joanita Pereira(joanita) on 2009-12-07T17:06:59Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2006_TheoAllanDarnZapata.pdf: 585718 bytes, checksum: 6c3355de7df60627ab844ddbb518297a (MD5) / Made available in DSpace on 2009-12-07T17:06:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2006_TheoAllanDarnZapata.pdf: 585718 bytes, checksum: 6c3355de7df60627ab844ddbb518297a (MD5) Previous issue date: 2006 / Neste trabalho estabelecemos propriedades analíticas e aritméticas de duas L- funções automór cas para o grupo modular, as de Hecke-Maass e Rankin-Selberg. A partir das quais, obtemos limitantes superiores para somas de coe cientes de formas automór cas cuspidais. ________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work we estabilish analytical and arithmetical proprieties of two auto- morphic L-functions for the modular group, those of Hecke-Maass and Rankin- Selberg. From these, we obtain upper bounds for sums of the coe cients of auto- morphic cusp forms.

Le but de cette thèse est d'étudier les zéros exceptionnels des fonctions L p-adiques de Rankin-Selberg. Autrement dit, pour un couple de formes modulaires nous étudierons l'annulation de la fonction p-adique interpolant la fonction L de Rankin-Selberg associée à ce couple. Lorsque la fonction s'annule, on exprime alors la dérivée de la fonction L p-adique en fonction de l'invariant L,des périodes p-adique et infinie et du terme principal de la fonction complexe de Rankin-Selberg. / The aim of this thesis is to study the extra zeros of the p-adic L functions of Rankin-Selberg. In other words, for a couple of modular forms we study the zeros of the p-adic function interpolating the Rankin-Selberg L function associated to this couple. When the function has a zero we express the value of the derivate in terms of the L invariant, p-adic and infinite periods and the principal term of the complex Rankin-Selberg function.

On étudie les valeurs spéciales de fonctions $L$ attachées aux formes modulaires, tordues par des caractères de Dirichlet de conducteur arbitraire. On construit des distributions à valeurs algébriques à partir de distributions à valeurs modulaires. On prouve sur ces dernières des résultats de congruence et d'admissibilité. On obtient alors les distributions scalaires en appliquant une forme linéaire, ce qui permet de montrer qu'elles vérifient elles aussi de bonnes propriétés. On établit ensuite un lien entre ces distributions scalaires et les valeurs spéciales qui nous intéressent, ce qui permet d'établir de nouvelles congruences entre elles.

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Ce rapport présente mes travaux dans la direction du programme de Langlands géométrique. Ceux-ci abordent plusieurs aspects de ce thème: méthode de Rankin-Selberg locale et globale, les foncteurs de Whittaker et de Bessel pour GSp_4, catégorification et la version géométrique de la multiplicité un pour les models de Bessel, les faisceaux Théta et programme de Langlands géométrique pour le groupe métaplectique, correspondance de Howe géométrique.

Cette thèse établit des formules asymptotiques robustes pour le second moment harmonique ramolli des fonctions $L$ de Rankin-Selberg. La principale contribution est une amélioration substancielle de la longueur admissible du ramollisseur qui est réalisée grâce à la résolution d'un problème de convolution avec décalage additif par une méthode spectrale considérée en moyenne. Une première conséquence est une nouvelle borne de sous-convexité pour les fonctions L de Rankin-Selberg par rapport au niveau qui possède de nombreuses applications arithmétiques déjà connues. En outre, une infinité de fonctions L de Rankin-Selberg ayant au plus huit zéros réels non-triviaux est exhibée et de nouvelles estimations non-triviales du rang analytique de la famille étudiée sont obtenues.