L'objectif de cette thèse s?inscrit dans une perspective d?extension des théorèmes de renouvellement du cas indépendant au cas de fonctionnelles additives markoviennes. Cette thèse prolonge les travaux de Yves Guivarc'h en dimension 1 et de Martine Babillot en dimension supérieure. Comme dans ces travaux, la chaîne de Markov qui génère la fonctionnelle additive est supposée fortement ergodique. Les preuves s?appuient sur la méthode spectrale de Nagaev-Guivarc'h, qui met en jeu des techniques de transformée de Fourier et de théorie de perturbation d'opérateurs. L'analyse de Fourier (Chapitre 2) s'inspire du travail de Martine Babillot, mais en remplaçant les arguments de distributions et le recours aux fonctions de Bessel modifiées par des calculs plus élémentaires. Les outils d'analyse fonctionnelle sont présentés au Chapitre 3. Dans le Chapitre 4, les théorèmes de renouvellement markoviens de M. Babillot et Y. Guivarc'h sont alors déduits des résultats des deux précédents chapitres. Dans les Chapitres 5 et 6, on applique la méthode spectrale en remplaçant la théorie usuelle de perturbation d'opérateurs par le théorème de Keller et Liverani. Cette nouvelle approche, inspirée des travaux récents de Hubert Hennion, Loïc Hervé et Françoise Pène, permet d'améliorer significativement les énoncés des théorèmes de renouvellement en termes de conditions de moment. En particulier, pour les modèles suivants - les chaînes de Markov V-géométriquement ergodiques, - les chaînes de Markov rho-mélangeantes, - les modèles itératifs lipschitziens, on démontre que les hypothèses se réduisent à des conditions de moment (presque) optimales (en comparaison avec le cas indépendant). Les applications aux modèles itératifs lipschitziens (chapitre 6) sont relatives aux fonctionnelles additives associées à une chaîne double prenant en compte les transformations lipschitziennes aléatoires sous-jacentes. Les résultats de ce chapitre sont obtenus en généralisant la définition des espaces de fonctions Lipschitz à poids introduits par Emile Le Page.

Nous avons utilisé les données gravimétriques de Mars Global Surveyor pour étudier la ligne de rivage martienne Deuteronilus. Les variations du potentiel de pesanteur le long de ce contact et l'estimation des limites géographiques de celui-ci permettent de mettre en évidence la déformation de la planète au Noachien supérieur et de déterminer les caractéristiques de l'océan martien primordial. L'hypsométrie de la topographie de Mars traduit des phénomènes qui, sur Terre, sont associés à des processus d'isostasie thermique et qui, ici, correspondent à la région qui a abrité cet océan.<br />La seconde partie de ce travail traite de la dynamique interne des planètes telluriques et de son lien avec les observables géophysiques. En l'absence de données sismologiques, la mesure du champ de gravité d'une planète et de son relief fournit une contrainte de premier ordre sur la nature de la structure interne. Nous proposons donc le calcul systématique du géoïde et de la topographie dynamique associés à des modèles numériques 3D sphériques de la dynamique interne (convection thermique pour un fluide à viscosité variable). Une méthode spectrale de calcul est proposée dans un cadre adimensionné. L'analyse spectrale<br />de modèles synthétiques de structure interne permet d'évaluer le rôle de certains paramètres clés de la dynamique interne (variations de viscosité, chauffage interne).

Etude th'eorique de l'interaction entre un atome à deux ou trois électrons actifs et un champ laser de fort éclairement (10^13 à 10^15 W.cm−2) et de durée d'impulsion ultra-brève (femto à attoseconde) dans le domaine spectral XUV. Notre approche est basée sur la résolution de l' équation de Schrödinger dépendante du temps (ESDT). Nous utilisons une méthode spec- trale pour résoudre l'ESDT avec des fonctions d'onde construites sur des B- splines. Nous étudions particulièrement la double ionisation à deux photons (TPDI) de l'hélium dans l'état fondamental ainsi que dans l' état excité 1s2s. Plusieurs modèles sont d'eveloppés pour traiter le cas des impulsions ultra- brèves. Enfin nous abordons la TPDI du Lithium, système à trois électrons actifs. Nous comparons la double ionisation à deux photons dans le régime séquentiel pour Li et He(1s2s) ; le régime direct est également abordé

Nous considérons dans cette thèse la discrétisation par la méthode spectrale et la simulation numérique de l'écoulement d'un fluide visqueux incompressible occupant le domaine ? modélisé par les équations de Navier-Stokes. Nous avons choisi de les coupler avec l'équation de la chaleur dans le cas ou la viscosité dépend de la température avec des conditions aux limites portant sur la vitesse et la température.La méthode s'avère optimale en ce sens que l'erreur obtenue n'est limitée que par la régularité de la solution. Elle est de type spectrale. Nous donnons des estimations d'erreur a priori optimales et nous confirmons l'étude théorique par des résultats numériques. Nous considérons aussi les équations de Navier-Stokes/chaleur instationnaires dont nous proposons une discrétisation en temps et en espace en utilisant le schéma d'Euler implicite et les méthodes spectrale. Quelques expériences numériques confirment l'intérêt de la discrétisation. / In this thesis we consider the discretization by spectral method and the numerical simulation of a viscous incompressible fluid in the domain ?, the model being the Navier-Stokes equations. We have chosen to couple them with the heat equation where the viscosity of the fluid depends on the temperature, with boundary conditions which involve the velocity and the temperature. The method is proved to be optimal in the sense that the order of convergence is only limited by the regularity of the solution. The numerical analysis of the discrete problem is performed and numerical experiments are presented, they turn out to be in good coherence with the theoretical results. Finally, we consider the unsteady Navier-Stokes/heat equations which models the time-dependent flow. We propose a discretization of this problem that relies on a backward Euler's scheme in time and spectral methods in space and present some numerical experiments which confirm the interest of the discretization.

Cette thèse se donne comme ambition de montrer que la simulation numérique de transfert de chaleur et de masse dans un milieu poreux, peut être traitée de manière efficace par un programme de calcul basé sur une discrétisation spatiale de type spectral. La méthode spectrale s'avère optimale en ce sens que l'erreur obtenue n'est limitée que par la régularité de la solution. Le point de départ de cette étude est le système des équations de Darcy non linéaire et non stationnaire qui modélise l'écoulement instationnaire d'un fluide visqueux dans un milieu poreux quand la perméabilité du milieu dépend de la pression. Le deuxième problème proposé est le transfert de la chaleur dans un milieu poreux décrit par un couplage des équations de Darcy avec l'équation de la chaleur. Dans la dernière partie, la concentration de masse est prise en compte dans le milieu, nous décrivons un problème non linéaire instationnaire qui modélise le transfert de chaleur et de masse dans un milieu poreux.Dans les trois problèmes proposés, les résultats d'existence et unicité sont établis. Puis les problèmes discrets correspondants sont décrits. Nous avons prouvé des estimations d'erreur a priori et nous avons confirmé l'étude théorique par des résultats numériques. / This thesis aims to show that the numerical simulation of heat and mass transfer in porous media can be effectively treated by a numerical program which is based on a space discretization of spectral type. The spectral method is optimal in the sense that the error obtained is only limited by the regularity of the solution. The starting point of this study is the system of nonlinear unsteady Darcy equations that models the unsteady flow of a viscous fluid in a porous medium when the permeability of the medium depends on the pressure. The second problem which we study models transfer of heat in a porous medium which is described by Darcy equations coupling with the heat equation. In the last part, the concentration of mass is taken into account in the medium, we describe a nonlinear problem that models unsteady transfer of heat and mass in porous media. In the three proposed problems, the results of the existence and the uniqueness are established. Then the corresponding discrete problems are described. We prove the error a priori estimates and we confirm the theoretical study with numerical results.

Dans le cadre de la modélisation de structures comportant des paramètres incertains, nous nous intéressons aux caractéristiques spectrales des systèmes mécaniques. Alternatives aux méthodes de Monte-Carlo pour le traitement des problèmes de propagation d'incertitudes dans les modèles mécaniques structuraux, les méthodes d'éléments finis stochastiques (MEFS) connaissent un succès grandissant depuis une dizaine d'années, concrétisé par de nombreux travaux de recherche internationaux. Le présent travail s'inscrit dans le cadre de ces recherches. Dans cette optique, nous décrivons dans une première partie les caractéristiques spectrales, aussi bien les valeurs propres que les modes propres, des structures comportant des paramètres modélisés par des variables aléatoires ou par des champs aléatoires. Pour ce faire, nous utilisons la méthode spectrale des éléments finis stochastiques, que nous avons étendue au calcul des valeurs et vecteurs propres. Les propriétés du matériau sont modélisées par un développement de Karhunen-Loève, alors que les valeurs et les vecteurs propres sont développés sur la base du chaos polynomial. Une méthode de résolution adoptée est proposée pour le découplage du système d'équations. La méthode proposée, essentiellement valable pour les problèmes linéaires, présente l'intérêt de permettre la prise en compte, non seulement de variables aléatoires, mais également de champs stochastiques pour la modélisation probabiliste des paramètres incertains du modèle. Quatre applications à différents niveaux de complexité permettent de juger de ses possibilités. Nous étudions ensuite le couplage de la conception robuste et de la MEFSS, cette dernière représente un outil puissant pour l'optimisation de la performance dynamique des systèmes mécaniques, puisqu'elle permet d'obtenir, à moindre coût, la moyenne et l'écart-type de la réponse, afin d'évaluer la solution robuste. L'intérêt de l'outil présenté est illustré par deux exemples sur des structures en automobile.

Ce travail de thèse a pour objectif de fournir un outil de modélisation rapide de l'interaction d'une source électromagnétique 3D avec une pièce de géométrie ou de propriétés physiques complexes dans le domaine des basses fréquences (régime quasi-statique). La principale application est la simulation d'un procédé de Contrôle Non Destructif (CND) d'une pièce conductrice présentant une surface ou des propriétés physiques perturbées. La plateforme logicielle CIVA, comportant un module dédié à la simulation des procédés de CND par courants de Foucault intègre à l’heure actuelle des modèles semi-analytiques limités aux géométries canoniques : pièces planes, cylindriques. Afin de lever ce verrou, le formalisme des équations de Maxwell covariantes, déjà très utilisé dans le domaine optique pour la caractérisation des réseaux de diffraction (méthode des coordonnées curvilignes) est étendu au régime quasi-statique. L’utilisation d’un nouveau système de coordonnées curvilignes non-orthogonal associé à la géométrie de la pièce conduit à écrire très facilement et de manière analytique les conditions de passage aux interfaces de formes complexes. La résolution numérique des équations de Maxwell sous leur forme covariante est abordée par une approche modale qui repose sur le calcul préalable de solutions propres d’un système d’équations différentielles en absence de source. La représentation des composantes du champ électromagnétique à partir de deux fonctions de potentiels du second ordre (SOVP) ou potentiels de Hertz dans des systèmes de coordonnées canoniques est d’abord étendue au système de coordonnées curvilignes. On obtient alors les expansions modales des composantes covariantes et contra-variantes du champ électromagnétique. Les coefficients de ces expansions modales sont déterminés ensuite en introduisant le champ d’excitation et en imposant les conditions de passage adéquates entre les différents milieux. Cette approche est ensuite couplée d'une part à un algorithme récursif (les paramètres S) afin de prendre en compte la présence d'interfaces internes complexes dans la pièce, et d'autre part à une méthode numérique d'ordre élevé (Méthode pseudo-Spectrale) afin de prendre en compte de façon rigoureuse des variations des propriétés physiques (perméabilité magnétique et/ou conductivité électrique...) du matériau avec la profondeur. La validation de la méthode numérique proposée s’appuie sur des comparaisons avec des données simulées à l'aide d'un logiciel commercial de calcul par éléments finis et des données expérimentales obtenues au laboratoire. En outre, les codes développés ont été intégrés à une version de développement de la plateforme CIVA afin de répondre aux besoins des partenaires dans le cadre du projet européen SIMPOSIUM. / This PhD work concerns the development of fast numerical tools, dedicated to the computation of the electromagnetic interaction between a low frequency 3D current source and a complex conductor, presenting rough interfaces and/or conductivity (and/or permeability) variations. The main application is the simulation of the Eddy Current non-destructive testing process applied to complex specimens. Indeed, the existing semi-analytical models currently available in the CIVA simulation platform are limited to canonical geometries. The method we propose here is based on the covariant Maxwell equations, which allow us to consider the physical equations and relationships in a non-orthogonal coordinate system depending on the geometry of the specimen. Historically, this method (cf. C-method) has been developed in the framework of optical applications, particularly for the characterization of diffraction gratings. Here, we transpose this formalism into the quasi-static regime and we thus develop an innovative formulation of the Second Order Vector Potential formalism, widely used for the computation of the quasi-static fields in canonical geometries. Then, we determine numerically a set of modal solutions of the source-free Maxwell equations in the coordinate system introduced, and this allows us to represent the unknown fields as modal expansions in source-free domains. Then, the coefficients of these expansions are computed by introducing the source fields and enforcing the boundary conditions that the total fields must verify at the interfaces between media. In order to tackle the case of a layered conductor presenting rough interfaces, the generalized SOVP formalism is coupled with a recursive algorithm called the S-matrices. On the other hand, the application case of a complex shape specimen with depth-varying physical properties is treated by coupling the modal method we developed with a high-order numerical method: pseudo-spectral method. The validation of these codes is carried out numerically by comparison with a commercial finite element software in some particular configurations. Besides, the homogeneous case is also validated by comparison with experimental data.

Les équations de Kadomtsev-Petviashvili (KP) décrivent les ondes de faible amplitude et de grande longueur se déplaçant à la surface de l'eau, principalement dans la direction (Ox). Quant à l'équation de Benjamin-Ono (BO), elle décrit de telles ondes se déplaçant à l'intérieur de l'eau. On s'intéresse à ces équations vue en tant qu'équations de type Benjamin-Bona-Mahony (BBM).<br />Notre travail se divise alors en trois parties. Dans la première partie, on rappelle la modélisation des différentes équations. On montre plus particulièrement que les modèles BBM s'obtiennent à partir du principe fondamental de la dynamique via une analyse asymptotique. On compare alors les solutions des équations de KP, respectivement de BO, avec les solutions des équations de type BBM.<br />Dans la seconde partie, on s'intéresse à certaines propriétés qualitatives des équations généralisées de type BBM. Des résultats de prolongement en temps des bornes sur les normes de Sobolev, de décroissance en temps et de prolongement unique des solutions sont établis.<br />Enfin, on termine avec une étude numérique des solutions des équations KP généralisées en dimension 3 d'espace. Dans cette dernière partie, en collaboration avec F. Hamidouche et S. Mefire, on inspecte numériquement les phénomènes de dispersion, d'explosion en temps fini, de comportement solitonique et d'instabilité transversale.

Cette thèse a pour objet l'analyse et la discrétisation numérique des équations tridimensionnelles de l'électromagnétisme. Ces travaux débutent par l'étude de ces équations dans un domaine b orné multiplement connexe. Un théorème d'existence général a été établi, en proposant une nouvelle approche du problème, en le reformulant à l'aide d'un opérateur approprié, tenant compte des omplexités géométriques du domaine. Dans la suite, après avoir donnée un résultat de régularité, on propose une approximation numérique de la solution par une méthode spectrale. La méthode est, d'une part, analysée numériquement dans le cas d'une décomposition conforme du domaine, et d'autre, implantée dans le cadre d'un code 3D. Des tests numériques illustrant les prévisions théoriques sont exposés et comparés à ceux obtenus par une méthode d'éléments finis de type P1 qu'on présentera sommairement. En outre, les quatre premières valeurs propres du problème discret sont calculées et comparées à celui du spectre exact. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'une décomposition de domaine par une méthode spectrale avec joints pour le problème de Maxwell. Il est utile de souligner que les paramètres physiques sont considérés dans cette partie comme pouvant être hétérogènes. On applique cette méthode à un problème type présenté. Ce dernier permet d'unifier deux approches qui habituellement sont distinguées: le problème d'évolution de Maxwell, et le problème de Maxwell en régime harmonique. Des estimations d'erreurs sont démontrées, elles reposent sur un lemme, qui est une variante du second lemme de Strang, permettant de décomposer l'erreur en la somme de trois erreurs principales: l'erreur sur la meilleure approximation, l'erreur de consistance et l'erreur d'intégration numérique. Cette dernière étant obtenue de ma ière classique, les deux autres erreurs ont nécessité une recherche plus approfondie, notamment, la définition d'opérateurs discrets et un Lemme d'augmentation de degré pour l'erreur sur la meilleure approximation. Enfin des courbes d'erreurs et des tests numériques sont exposés validant un code de calcul tridimensionnel développé pour l'approximation de la solution du problème type (pour des paramètres physiques homogènes et hétérogènes).

Les études et développement menés dans ce travail de thèse ont porté sur divers aspects du traitement de l'évolution réaliste des états de mer, notamment sur les spécificités d'une approche déterministe non-linéaire, sur la prise en compte d'un forçage par le vent et de la dissipation dans une approche à phase résolue, et sur un développement à but opérationnel des techniques de modélisations réalistes. En parvenant à une meilleure modélisation des états de mer, ils visent à permettre une meilleure interprétation des images radar rétrodiffusées par la surface de la mer. Les applications concernent entre autres la caractérisation et la prévision court terme en temps réel des conditions de mer, ainsi que la détection de cibles marines. Un modèle numérique tridimensionnel basé sur une méthode High Order Spectral sert de support à l'étude des processus non-linéaires à l'œuvre en conditions océaniques. Une première partie de cette étude permet de mettre en lumière un ensemble de critères nécessaires à la bonne mise en œuvre de cette méthode. On met notamment plus particulièrement en évidence une problématique d'initialisation liée à un besoin de simulations de référence dès les premiers instants de modélisation. Une méthode d'initialisation non-linéaire est proposée et évaluée. La prise en compte d'un forçage par le vent et de dissipation par moutonnement est ensuite proposée. La paramétrisation du couplage rétroactif océan-atmosphère et de la dissipation, en pression, à l'œuvre dans les modèles stochastiques de prévision d'état de mer est adaptée à la formulation déterministe. Une formulation récente du couplage (Bidlot et al. (2005)) est testée et validée comparativement avec la modélisation stochastique usuelle issue du modèle WAVEWATCH3. L'approche déterministe est finalement capable de prendre efficacement en compte les termes de forçage et dissipation et permet des évolutions d'états de mer réalistes. Le problème de modélisation opérationnelle des états de mer, à moindre coût calcul mais avec une prise en compte suffisamment réaliste des spécificités océaniques est abordé. Une méthode numérique est proposée et testée comparativement à l'approche complètement non-linéaire de référence.