Dans ce mémoire, on se propose de décrire certains résultats de l'auteur sur les propriétés $p$-adiques des fonctions $L$ associées à des caractères sur les corps finis, à la suite des travaux de Dwork, Robba, Adolphson et Sperber, Wan, entre autres. On parlera aussi de sommes de caractères (et de leurs fonctions $L$) définies sur certains anneaux locaux.

Cette thèse porte sur des questions liées à la conjecture de parité. On démontre la conjecture de p-parité pour un certain twist d'une courbe elliptique sur un corps local. On en déduit des résultats globaux d'invariance de la conjecture de p-parité (pour une courbe elliptique) par certaines extensions. Avec l'objectif de généraliser les résultats précédents, on démontre une formule pour les signes locaux des représentations essentiellement symplectiques et modérément ramifiées du groupe de Weil. Cette formule généralise celle, déjà connue, pour les courbes elliptiques ayant potentiellement bonne réduction. Finalement, on fait un premier pas vers la généralisation escomptée en comparant les nombres de Tamagawa et les constantes de régulation pour certains prémotifs.

Le présent mémoire traite une variation de la mesure de Mahler où l'intégrale de définition est réalisée sur un tore plus général. Notre travail est basé sur une famille de polynômes tempérée originellement étudiée par Boyd, P_k (x, y) = x + 1/x + y + 1/y + k avec k ∈ R_{>4}. Pour le k = 4 cas, nous utilisons des valeurs spéciales du dilogarithme de Bloch-Wigner pour obtenir la mesure de Mahler de P_4 sur un tore arbitraire (T_ {a, b})^2 = {(x, y) ∈ C* X C* : | x | = a, | y | = b } avec a, b ∈ R_{> 0}. Ensuite, nous établissons une relation entre la mesure de Mahler de P_8 sur un tore (T_ {a, √a} )^2 et sa mesure de Mahler standard. La combinaison de cette relation avec des résultats de Lalin, Rogers et Zudilin conduit à une formule impliquant les mesures de Mahler généralisées de ce polynôme données en termes de L' (E, 0). Au final, nous proposons une stratégie pour prouver des résultats similaires dans le cas général k> 4 sur (T_ {a, b})^2 avec certaines restrictions sur a, b. / In this thesis we consider a variation of the Mahler measure where the defining integral is performed over a more general torus. Our work is based on a tempered family of polynomials originally studied by Boyd, Boyd P_k (x, y) = x + 1/x + y + 1/y + k with k ∈ R_{>4}. For the k = 4 case we use special values of the Bloch-Wigner dilogarithm to obtain the Mahler measure of P_4 over an arbitrary torus (T_ {a, b})^2 = {(x, y) ∈ C* X C* : | x | = a, | y | = b } with a, b ∈ R_{> 0}. Next we establish a relation between the Mahler measure of P_8 over a torus(T_ {a, √a} )^2 and its standard Mahler measure. The combination of this relation with results due to Lalin, Rogers, and Zudilin leads to a formula involving the generalized Mahler measure of this polynomial given in terms of L'(E, 0). In the end, we propose a strategy to prove some similar results for the general case k > 4 over (T_ {a, b})^2 with some restrictions on a, b.

Ce mémoire s'emploie à étudier les corps quadratiques réels ainsi qu'un élément particulier de tels corps quadratiques réels : l'unité fondamentale. Pour ce faire, le mémoire commence par présenter le plus clairement possible les connaissances sur différents sujets qui sont essentiels à la compréhension des calculs et des résultats de ma recherche. On introduit d'abord les corps quadratiques ainsi que l'anneau de ses entiers algébriques et on décrit ses unités. On parle ensuite des fractions continues puisqu'elles se retrouvent dans un algorithme de calcul de l'unité fondamentale. On traite ensuite des formes binaires quadratiques et de la formule du nombre de classes de Dirichlet, laquelle fait intervenir l'unité fondamentale en fonction d'autres variables. Une fois cette tâche accomplie, on présente nos calculs et nos résultats. Notre recherche concerne la répartition des unités fondamentales des corps quadratiques réels, la répartition des unités des corps quadratiques réels et les moments du logarithme de l'unité fondamentale. (Le logarithme de l'unité fondamentale est appelé le régulateur.) / This memoir aims to study real quadratic fields and a particular element of such real quadratic fields : the fundamental unit. To achieve this, the memoir begins by presenting as clearly as possible the state of knowledge on different subjects that are essential to understand the computations and results of my research. We first introduce quadratic fields and their rings of algebraic integers, and we describe their units. We then talk about continued fractions because they are present in an algorithm to compute the fundamental unit. Afterwards, we proceed with binary quadratic forms and Dirichlet's class number formula, which involves the fundamental unit as a function of other variables. Once the above tasks are done, we present our calculations and results. Our research concerns the distribution of fundamental units in real quadratic fields, the disbribution of units in real quadratic fields and the moments of the logarithm of the fundamental unit. (The logarithm of the fundamental unit is called the regulator.)

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Ce mémoire s'emploie à étudier les corps quadratiques réels ainsi qu'un élément particulier de tels corps quadratiques réels : l'unité fondamentale. Pour ce faire, le mémoire commence par présenter le plus clairement possible les connaissances sur différents sujets qui sont essentiels à la compréhension des calculs et des résultats de ma recherche. On introduit d'abord les corps quadratiques ainsi que l'anneau de ses entiers algébriques et on décrit ses unités. On parle ensuite des fractions continues puisqu'elles se retrouvent dans un algorithme de calcul de l'unité fondamentale. On traite ensuite des formes binaires quadratiques et de la formule du nombre de classes de Dirichlet, laquelle fait intervenir l'unité fondamentale en fonction d'autres variables. Une fois cette tâche accomplie, on présente nos calculs et nos résultats. Notre recherche concerne la répartition des unités fondamentales des corps quadratiques réels, la répartition des unités des corps quadratiques réels et les moments du logarithme de l'unité fondamentale. (Le logarithme de l'unité fondamentale est appelé le régulateur.) / This memoir aims to study real quadratic fields and a particular element of such real quadratic fields : the fundamental unit. To achieve this, the memoir begins by presenting as clearly as possible the state of knowledge on different subjects that are essential to understand the computations and results of my research. We first introduce quadratic fields and their rings of algebraic integers, and we describe their units. We then talk about continued fractions because they are present in an algorithm to compute the fundamental unit. Afterwards, we proceed with binary quadratic forms and Dirichlet's class number formula, which involves the fundamental unit as a function of other variables. Once the above tasks are done, we present our calculations and results. Our research concerns the distribution of fundamental units in real quadratic fields, the disbribution of units in real quadratic fields and the moments of the logarithm of the fundamental unit. (The logarithm of the fundamental unit is called the regulator.)

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Cette thèse étudie le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbeselliptiques. Son résultat diophantien principal utilise des méthodes d’intersectionarithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecturede Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant" près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liésà la courbe elliptique ; une telle démarche peut être motivée par la conjecture deLang, qui présage une minoration possible de la hauteur canonique proportionnelle,essentiellement, à la hauteur de Faltings de la courbe.Notre dissertation commence toutefois par une partie dédiée à l’explicitation duthéorème de densité de Chebotarev, qui reprend les grandes lignes d’un travail deLagarias et Odlyzko, et s’avère être cruciale dans notre approche du problème deLehmer elliptique. On obtient également des majorations des zéros de Siegel et de lanorme du plus petit idéal premier entrant en jeu dans le théorème de Chebotarev. / In this thesis we consider the problem of lower bounds for the canonical height onelliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main diophantine result isan explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for ellipticcurves with CM up to a " exponent) using arithmetic intersection, enlightening thedependence with parameters linked to the elliptic curve ; such a result can be motivatedby the conjecture of Lang, hoping for a lower bound proportional to, roughly,the Faltings height of the curve.Nevertheless, our dissertation begins with a part dedicated to a completely explicitversion of the density theorem of Chebotarev, along the lines of a previous workdue to Lagarias and Odlyzko, which will be crucial to investigate the elliptic Lehmerproblem. We also obtain upper bounds for Siegel zeros, and for the smallest primeideal whose Frobenius is in a fixed conjugacy class.

Soit K|Q un corps de nombres et soit ζK(s) sa fonction L complexe associée. La formule analytique du nombre de classes fournit un lien entre les valeurs spéciales de ζK(s) et les invariants du corps K. Elle admet une version Galois-équivariante. On a un schema similaire pour les courbes elliptiques. Soit E/Q une courbe elliptique et soit L(E/Q, s) sa fonction L complexe associée. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit un lien entre le comportement de L(E/Q, s) au point s = 1 et la structure des solutions rationnelles de l’équation definie par E. Comme la formule analytique du nombre de classes, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer admet une version équivariante. La conjecture de Stark elliptique formulée par H. Darmon, A. Lauder et V. Rotger propose un analogue p-adique de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer équivariante, qui nécessite certaines hypothèses. Dans leur article, les auteurs formulent la conjecture et donnent une démonstration dans certains cas où E a bonne réduction en p. Pour cela, ils utilisent la méthode de Garrett-Hida qui conduit à une factorisation de fonctions L p-adiques. Dans cette thèse on se concentre sur la conjecture de Stark elliptique et l’on montre comme il est possible d’étendre le résultat de Darmon, Lauder et Rotger. Dans le cas où E a bonne réduction en p on peut étendre le résultat en utilisant la méthode de Hida- Rankin. Cette méthode nous donne un contrôle meilleur sur les constantes apparaissant dans les formules et nous amène à une formule explicite contenant les invariants de la courbe elliptique. Pour obtenir le résultat on adapte la preuve du théorème principal de Darmon, Lauder et Rotger à notre cas et on utilise une formule p-adique de Gross et Zagier qui relie les valeurs spéciales de la fonction L padique de Bertolini-Darmon-Prasanna et les points de Heegner. Ensuite on voit comment étendre notre résultat et celui de Darmon-Lauder-Rotger au cas où E a réduction multiplicative en p. Dans ce cadre, on ne peut pas utiliser la fonction L p-adique de Bertolini-Darmon-Prasanna en raison de problèmes techniques. Pour éliminer cette difficulté on consid`ere la fonction L p-adique de Castellà. On utilise aussi la méthode de Garrett-Hida ainsi que la méthode d’Hida-Rankin et l’on obtient des résultats similaires aux cas de bonne réduction. / Let K|Q be a number field and let ζK(s) be its associated complex L-function. The analytic class number formula relates special values of ζK(s) with algebraic invariants of the field K itself. It admits a Galois equivariant refinement known as Stark conjectures. We have a very similar picture in the case of elliptic curves. Let E/Q be an elliptic curve and let L(E/Q, s) be its associated complex L-function. The conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer relates the behaviour of L(E/Q, s) at s = 1 to the structure of rational solutions of the equation defined by E. The equivariant Birch and Swinnerton- Dyer conjecture is obtained including in the picture the action of Galois groups. The elliptic Stark conjecture formulated by H. Darmon, A. Lauder and V. Rotger purposes a p-adic analogue of the equivariant Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, under several assumption. In their paper, the authors formulate the conjecture and prove it in some cases of good reduction of E at p using Garrett-Hida method and performing a factorization of p-adic L-functions. In this dissertation we focus on the elliptic Stark conjecture and we show how it is possible to extend the result of Darmon, Lauder and Rotger. In the case of good reduction of E at p we can slightly extend the result using Hida- Rankin method. This method also gives us a better control of the constants appearing in the result, thus yielding an explicit formula which contains invariants associated with the elliptic curve. To achieve the proof we mimic the main result of Darmon, Lauder and Rotger in our setting and we make use of a p-adic Gross-Zagier formula which relates special values of the Bertolini-Darmon-Prasanna p-adic L-function to Heegner points. In a second moment we extend both our result and Darmon-Lauder-Rotger result to the case of multi- plicative reduction of E at p. In this setting we cannot use Bertolini- Darmon Prasanna p-adic L-function due to some technical reasons. In order to avoid the problem we consider Castellà’s two variables p-adic L-function. We use both Garrett-Hida method and Hida-Rankin method. In the two cases we obtain formulae which are similar to those of the good reduction setting.

Sous l’hypothèse de Riemann généralisée et l’hypothèse d’indépendance linéaire, Rubinstein et Sarnak ont prouvé que les valeurs de x > 1 pour lesquelles nous avons plus de nombres premiers de la forme 4n + 3 que de nombres premiers de la forme 4n + 1 en dessous de x ont une densité logarithmique d’environ 99,59%. En général, l’étude de la différence #{p < x : p dans A} − #{p < x : p dans B} pour deux sous-ensembles de nombres premiers A et B s’appelle la course entre les nombres premiers de A et de B. Dans ce mémoire, nous cherchons ultimement à analyser d’un point de vue numérique et statistique la course entre les nombres premiers p tels que 2p + 1 est aussi premier (aussi appelés nombres premiers de Sophie Germain) et les nombres premiers p tels que 2p − 1 est aussi premier. Pour ce faire, nous présentons au préalable l’analyse de Rubinstein et Sarnak pour pouvoir repérer d’où vient le biais dans la course entre les nombres premiers 1 (mod 4) et les nombres premiers 3 (mod 4) et émettons une conjecture sur la distribution des nombres premiers de Sophie Germain. / Under the Generalized Riemann Hypothesis and the Linear Independence Hypothesis, Rubinstein and Sarnak proved that the values of x which have more prime numbers less than or equal to x of the form 4n + 3 than primes of the form 4n + 1 have a logarithmic density of approximately 99.59%. In general, the study of the difference #{p < x : p in A} − #{p < x : p in B} for two subsets of the primes A and B is called the prime number race between A and B. In this thesis, we will analyze the prime number race between the primes p such that 2p + 1 is also prime (these primes are called the Sophie Germain primes) and the primes p such that 2p − 1 is also prime. To understand this, we first present Rubinstein and Sarnak’s analysis to understand where the bias between primes that are 1 (mod 4) and the ones that are 3 (mod 4) comes from and give a conjecture on the distribution of Sophie Germain primes.