Le but de cette thèse est d'étudier la somme et le zéro dans deux principaux cadres : les isomorphismes de types et la normalisation de lambda-termes. Les isomorphismes de type avaient déjà été étudiés dans le cadre du lambda-calcul simplement typé avec paires surjectives mais sans somme. Pour aborder le cas avec somme et zéro, j'ai commencé par restreindre l'étude au cas des isomorphismes linéaires, dans le cadre de la logique linéaire, ce qui a conduit à une caractérisation remarquablement simple de ces isomorphismes, obtenue grâce à une méthode syntaxique sur les réseaux de preuve. Le cadre plus général de la logique intuitionniste correspond au problème ouvert de la caractérisation des isomorphismes dans les catégories bi-cartésiennes fermées. J'ai pu apporter une contribution à cette étude en montrant qu'il n'y a pas d'axiomatisation finie de ces isomorphismes. Pour cela, j'ai tiré partie de travaux en théorie des nombres portant sur un problème énoncé par Alfred Tarski et connu sous le nom du « problème des égalités du lycée ». Pendant tout ce travail sur les isomorphismes de types, s'est posé le problème de trouver une forme canonique pour représenter les lambda-termes, que ce soit dans le but de nier l'existence d'un isomorphisme par une étude de cas sur la forme du terme, ou pour vérifier leur existence dans le cas des fonctions très complexes que j'étais amené à manipuler. Cette réflexion a abouti à poser une définition « extensionnelle » de forme normale pour le lambda-calcul avec somme et zéro, obtenue par des méthodes catégoriques grâce aux relations logiques de Grothendieck, apportant ainsi une nouvelle avancée dans l'étude de la question réputée difficile de la normalisation de ce lambda-calcul. Enfin je montrerai comment il est possible d'obtenir une version « intentionnelle » de ce résultat en utilisant la normalisation par évaluation. J'ai pu ainsi donner une adaptation de la technique d' évaluation partielle dirigée par les types pour qu'elle produise un résultat dans cette forme normale, ce qui en réduit considérablement la taille et diminue aussi beaucoup le temps de normalisation dans le cas des isomorphismes de types considérés auparavant.

Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes faisant intervenir des formes normales de champs de vecteurs et des phénomènes exponentiellement petits. Dans le premier chapitre on démontre tout d'abord deux théorèmes de normalisation avec restes exponentiellement petits pour des champs de vecteurs analytiques au voisinage d'un point d'équilibre, dans le cas non autonome périodique. Le premier théorème de normalisation permet de construire une quasi-variété invariante à un exponentiellement petit près, tandis que le deuxième met le champ de vecteur sous la forme normale de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss à un exponentiellement petit près. Dans le deuxième chapitre on travaille près d'un point d'équilibre d'une famille de systèmes hamiltoniens au voisinage d'une résonance 0²iw. On démontre l'existence d'une famille d'orbites périodiques entourant l'équilibre puis l'existence d'orbites homoclines à plusieurs boucles à chacune de ces orbites périodiques, aussi proche de cet équilibre que l'on veut à l'exception de l'équilibre lui-même. La démonstration est basée sur la preuve d'un théorème de forme normale hamiltonien inspiré des formes normales de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss ainsi que sur une normalisation locale hamiltonienne s'appuyant sur un résultat de Moser. On obtient ensuite le résultat grâce à des arguments géométriques liés à la petite dimension et à un théorème KAM qui permet de confiner les boucles. Pour le même problème dans le cadre d'un champ de vecteurs réversible non hamiltonien, l'apparition d'exponentiellement petits lors de la perturbation de l'orbite homocline de la forme normale empêche la démonstration de l'existence d'orbites homoclines à des orbites périodiques de taille exponentiellement petite. Le même phénomène apparait ici mais l'obstacle est contourné grâce à des arguments géométriques spécifiques aux système Hamiltoniens.

Nous définissons des formes normales géodésiques pour les séries générales des groupes de réflexions complexes G(de,e,n). Ceci nécessite l'élaboration d'une technique combinatoire afin de déterminer des décompositions réduites et de calculer la longueur des éléments de G(de,e,n) sur un ensemble générateur donné. En utilisant ces formes normales géodésiques, nous construisons des intervalles dans G(e,e,n) qui permettent d'obtenir des groupes de Garside. Certains de ces groupes correspondent au groupe de tresses complexe B(e,e,n). Pour les autres groupes de Garside, nous étudions certaines de leurs propriétés et nous calculons leurs groupes d'homologie sur Z d'ordre 2. Inspirés par les formes normales géodésiques, nous définissons aussi de nouvelles présentations et de nouvelles bases pour les algèbres de Hecke associées aux groupes de réflexions complexes G(e,e,n) et G(d,1,n) ce qui permet d'obtenir une nouvelle preuve de la conjecture de liberté de BMR (Broué-Malle-Rouquier) pour ces deux cas. Ensuite, nous définissons des algèbres de BMW (Birman-Murakami-Wenzl) et de Brauer pour le type (e,e,n). Ceci nous permet de construire des représentations de Krammer explicites pour des cas particuliers des groupes de tresses complexes B(e,e,n). Nous conjecturons que ces représentations sont fidèles. Enfin, en se basant sur nos calculs heuristiques, nous proposons une conjecture sur la structure de l'algèbre de BMW. / We define geodesic normal forms for the general series of complex reflection groups G(de,e,n). This requires the elaboration of a combinatorial technique in order to determine minimal word representatives and to compute the length of the elements of G(de,e,n) over some generating set. Using these geodesic normal forms, we construct intervals in G(e,e,n) that give rise to Garside groups. Some of these groups correspond to the complex braid group B(e,e,n). For the other Garside groups that appear, we study some of their properties and compute their second integral homology groups. Inspired by the geodesic normal forms, we also define new presentations and new bases for the Hecke algebras associated to the complex reflection groups G(e,e,n) and G(d,1,n) which lead to a new proof of the BMR (Broué-Malle-Rouquier) freeness conjecture for these two cases. Next, we define a BMW (Birman-Murakami-Wenzl) and Brauer algebras for type (e,e,n). This enables us to construct explicit Krammer's representations for some cases of the complex braid groups B(e,e,n). We conjecture that these representations are faithful. Finally, based on our heuristic computations, we propose a conjecture about the structure of the BMW algebra.