La question à laquelle la thèse tente de répondre est la suivante: étant donné un schéma relatif X sur un anneau de valuation discrète R et un G'-torseur y' au dessus de la fibre générique X' de X, existe-t-il un R-schéma en groupes G et un G-torseur Y au dessus de X qui étende le torseur de départ ? On aborde cette question sous l'angle du schéma en groupes fondamental introduit par Nori pour un schéma propre et réduit sur un corps k et généralisé par Gasbarri au cas d'un schéma réduit et irréductible fidèlement plat sur un schéma de Dedekind. On montre que le morphisme naturel f du schéma en groupes fondamental de X' dans la fibre générique du schéma en groupe fondamental de X est toujours surjectif pour la topologie fpqc et que tout torseur peut être étendu ssi f est un isomorphisme. Les deux premiers chapitres de la thèse sont consacrés à l'introduction des outils nécessaires pour accomplir ce programme. En particulier la définition tannakienne du schéma en groupes fondamental et du torseur universel de Nori est revisitée. Dans le troisième chapitre, la preuve des résultats mentionnés ci-dessus est donnée. Le quatrième chapitre est quant à lui consacré à une question connexe : étant donné un morphisme f entre deux schémas Y et X sur un corps k t.q. l'image directe F du faisceau structural de Y est essentiellement fini, est-il possible de définir une clôture galoisienne? On montre que le torseur universel associé à la sous-catégorie tannakienne de la catégorie des fibrés essentiellement finis engendrée par F joue le rôle de clôture galoisienne. / The question we try to answer in this thesis is the following: let X be a relative scheme over a discrete valuation ring R and y' a G'-torsor over the generic fibre X' of X. Does it exist an R-group scheme G and a G-torsor Y over X whose generic fibre is isomorphic to the given torsor? We face this problem by means of the fundamental group scheme introduced by Nori for a reduced scheme X complete over a field and then generalized by Gasbarri for an irreducible and reduced scheme faithfully flat over a Dedekind scheme. We prove that the natural morphism f between the fundamental group scheme of X' and the generic fibre of the fundamental group scheme of X is always surjective for the fpqc topology. Moreover we prove that any torsor can be extended iff f is an isomorphism. The firstt two chapters of the thesis are devoted to an introduction of the objects used in the last two chapters. ln particular the tannakian definition of the fundamental group scheme and of the universal torsor of Nori are revisited. ln the third chapter a proof of the results mentioned before is given. The fourth chapter is devoted to a related question: let f be a morphism between two schemes Y and X over a field k.s.t. the direct image F of the structural sheaf of Y is essentially finite, is it possible to defme a Galois cIosure? We prove that the universal torsor associated to the sub-category of the category of essentially finite vector bundles generated by F is the desired Galois closure.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

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Les 10 catégories sont parmi les découvertes les plus importantes d'Aristote. Le but de ce mémoire sera de retrouver les principes et la démarche qui mènent à leur découverte. La difficulté réside dans l'extrême concision du texte des Catégories. Nous nous aiderons des autres textes d'Aristote, des dictionnaires étymologiques et des traités de grammaire. De plus, nous construirons les exemples donnés par Aristote et nous les visualiserons. La découverte des catégories passe d'une part par l'observation de phrases vraies où un être est dit synonymement d'un autre être. Cela est le signe que le premier subordonne le second et qu'il est une cause formelle. Puisqu'on peut remonter de subordonnant en subordonnant mais qu'il ne peut y avoir une infinité de causes, il y a une limite: la catégorie. D'autre part, puisqu'on observe que certains êtres existent dans un sujet et d'autres non, il ne peut y avoir une seule limite qui existerait des deux manières en même temps. Il y a donc au moins deux catégories. Et leur nombre total est fini puisqu'elles sont des causes.

La position centrale occupée par les Théories Quantiques des Champs Topologiques (TQFTs) dans l’étude de la topologie en basse dimension est due à leur structure extraordinairement riche, qui permet différentes interactions et applications à des questions de nature géométrique. Depuis leur première apparition, un grand effort a été mis dans l’extension des invariants quantiques de 3-variétés en TQFTs et en TQFT Étendues (ETQFTs). Cette thèse s’attaque à ce problème dans deux cadres généraux différents. Le premier est l’étude des invariants quantiques semi-simples de Witten, Reshetikhin et Turaev issus de catégories modulaires. Bien que les ETQFTs correspondantes étaient connues depuis un certain temps, une réalisation explicite basée sur la construction universelle de Blanchet, Habegger, Masbaum et Vogel apparaît ici pour la première fois. L’objectif est de tracer la route à suivre dans la deuxième partie de la thèse, où la même procédure est appliquée à une nouvelle famille d’invariants quantiques non semi-simples due à Costantino, Geer et Patureau. Ces invariants avaient déjà été étendus en TQFTs graduées par Blanchet, Costantino, Geer and Patureau, mais seulement pour une famille explicite d’exemples. Nous posons la première pierre en introduisant la définition de catégorie modulaire relative, un analogue non semi-simple aux catégories modulaires. Ensuite, nous affinons la construction universelle pour obtenir des ETQFTs graduées étendant à la fois les invariants quantiques de Costantino, Geer et Patureau et les TQFTs graduées de Blanchet, Costantino, Geer et Patureau dans ce cadre général / The central position held by Topological Quantum Field Theories (TQFTs) in the study of low dimensional topology is due to their extraordinarily rich structure, which allows for various interactions with and applications to questions of geometric nature. Ever since their first appearance, a great effort has been put into extending quantum invariants of 3-dimensional manifolds to TQFTs and Extended TQFTs (ETQFTs). This thesis tackles this problem in two different general frameworks. The first one is the study of the semisimple quantum invariants of Witten, Reshetikhin and Turaev issued from modular categories. Although the corresponding ETQFTs were known to exist for a while, an explicit realization based on the universal construction of Blanchet, Habegger, Masbaum and Vogel appears here for the first time. The aim is to set a golden standard for the second part of the thesis, where the same procedure is applied to a new family of non-semisimple quantum invariants due to Costantino, Geer and Patureau. These invariants had been previously extended to graded TQFTs by Blanchet, Costantino, Geer an Patureau, but only for an explicit family of examples. We lay the first stone by introducing the definition of relative modular category, a non-semisimple analogue to modular categories. Then, we refine the universal construction to obtain graded ETQFTs extending both the quantum invariants of Costantino, Geer and Patureau and the graded TQFTs of Blanchet, Costantino, Geer and Patureau in this general setting

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

En algèbre de dimension 2, les 2-groupes symétriques (groupoïdes monoïdaux symétriques où tout objet a un inverse à isomorphisme près) jouent un rôle similaire à celui des groupes abéliens en algèbre de dimension 1. Le but de ce travail est de définir une notion de catégorie abélienne en dimension 2 qui soit aux 2-groupes symétriques ce que la notion de catégorie abélienne ordinaire est aux groupes abéliens. On donnera deux solutions à ce problème. La première, les catégories enrichies dans les groupoïdes abéliennes, est une généralisation des catégories abéliennes ordinaires. Dans un tel contexte, on peut développer la théorie des suites exactes et de l'homologie d'une façon proche de l'homologie dans une catégorie abélienne : on y démontre plusieurs lemmes de diagrammes classiques ainsi que l'existence de la longue suite exacte d'homologie associée à une extension de complexes de chaînes. Cela généralise des résultats connus pour les 2-groupes symétriques. L'autre solution, les catégories enrichies dans les groupoïdes 2-abéliennes (qui sont également abéliennes au sens du paragraphe précédent), imite les propriétés des 2-groupes symétriques plus spécifiques à la dimension 2, en particulier l'existence de deux systèmes de factorisation : surjectif/plein et fidèle, et plein et surjectif/fidèle. De plus, dans une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne, la catégorie des objets discrets est équivalente à celle des objets connexes et ces catégories sont abéliennes. Les exemples incluent, outre les 2-groupes symétriques, les 2-modules sur un 2-anneau, qui forment une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne. Par ailleurs, les groupoïdes internes, foncteurs internes et transformations naturelles internes à une catégorie abélienne (et, en particulier, les 2-espaces vectoriels au sens de Baez-Crans) forment une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne si et seulement si l'axiome du choix est satisfait dans la catégorie abélienne.

Ce mémoire présente des éléments de réponse aux problèmes que posent les postprédicaments dans le traité des Catégories. Une première partie est consacrée à une brève analyse de l'histoire récente de ces questions. On saisit mieux alors le défi auquel engagent les postprédicaments : expliquer comment ils sont reliés au propos (skopos) des Catégories. La solution à ce problème exigeant la compréhension du skopos, il est nécessaire d'en faire une présentation sommaire. Cela impose une deuxième partie qui permet d'apprécier que le traité vise à fournir des notions essentielles en vue de la définition. En troisième partie, on présente les liens qui se trouvent entre les postprédicaments et le skopos : d'abord par les observations des anciens commentateurs à ce sujet, puis par cm examen des postprédicaments qui permet de mieux comprendre leur utilité pour définir et leur rôle complémentaire vis-à-vis des notions introduites dans la première partie du traité.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.