BRAGA, José Ederson Melo. Problemas variacionais de fronteira livre com duas fases e resultados do tipo Phragmén-Lindelof regidos por equações elípticas não lineares singulares/degeneradas. 2015. 126 f. Tese (Doutorado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2015-11-27T16:20:15Z No. of bitstreams: 1 2015_tese_jembraga.pdf: 26015791 bytes, checksum: 81b3be9d5afc13c4662dde0e0fc555da (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-11-27T17:03:58Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_tese_jembraga.pdf: 26015791 bytes, checksum: 81b3be9d5afc13c4662dde0e0fc555da (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-27T17:03:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_tese_jembraga.pdf: 26015791 bytes, checksum: 81b3be9d5afc13c4662dde0e0fc555da (MD5) Previous issue date: 2015 / In this work of thesis we discuss recents results on the regularity and geometric properties of variational solutions of two phase free boundary problems governed by singular/degenerate nonlinear elliptic equations. We also discuss Phragmén-Lindelof type results for such equations classifying those solutions in half spaces. / Neste trabalho de tese discutimos resultados recentes sobre a regularidade e propriedades geométricas de soluções variacionais de problemas de fronteira livre de duas fases regidos por equações elípticas não lineares degeneradas/singulares. Discutimos também resultados do tipo Phragmém-Lindelof para tais equações classificando essas soluções em semi-espaços.

LEITÃO JÚNIOR, Raimundo Alves. Regularidade e estimativas geométricas para mínimos de funcionais descontínuos e singulares. 2012. 117 f. Tese (Doutorado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2012. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2014-02-06T12:47:23Z No. of bitstreams: 1 2013_tese_raleitaojunior.pdf: 276409 bytes, checksum: b5d2e708da081368cd44556a09d5e7d9 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-02-06T14:05:54Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2013_tese_raleitaojunior.pdf: 276409 bytes, checksum: b5d2e708da081368cd44556a09d5e7d9 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-02-06T14:05:54Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2013_tese_raleitaojunior.pdf: 276409 bytes, checksum: b5d2e708da081368cd44556a09d5e7d9 (MD5) Previous issue date: 2012 / This work consists of two parts. In the first part we study nonnegative minimizers of general degenerate elliptic functionals, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, for variational kernels F that are discontinuous in ụ with discontinuity of order ~ X{u>0}. The Euler-Lagrange equation is therefore governed by a non-homogeneous, degenerate elliptic equation with free boundary between the positive and the zero phases of the minimizer. We show optimal gradient estimate and nondegeneracy of minima. We also address weak and strong regularity properties of free boundary, ∂ red {u>0}, has H n-1- total measure. For more specific problems that arise in jet flows, we show the reduced free boundary is locally the graph of a C1,y function. In the second part of work we provide a rather complete description of the sharp regularity theory for a family of heterogeneous, two-phase variational free boundary problems, y→ min, ruled by nonlinear, degenerate elliptic operators. Included in such family are heterogeneous jets and cavities problems of Prandtl-Batchelor type, y = 0; singular degenerate elliptic equations and obstacle type systems, y = 1. Linear versions of these problems have been subjects of intense research for the past four decades or so. The nonlinear counterparts treated in this present work introduce substantial new difficulties since the most of the classical theories developed earlier, such that as monotonicity and almost monotonicity formulae, are no longer available. Nonetheless, the innovative solutions designed in this work provide new answers even in the classical context of linear, nondegenerate equations. / Este trabalho é constituído de duas partes. Na primeira parte estudamos mínimos não negativos de funcionais elípticos degenerados, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, para núcleos variacionais F que são descontínuos em u com descontinuidade de ordem ~ X{u>0}. A equação de Euler-Lagrange é governada por uma equação elíptica degenerada e não-homogênea, com fronteira livre entre as fases positiva e zero do mínimo. Mostraremos estimativa gradiente ótima e não-degenerescência do mínimo. Também trataremos de propriedades de regularidade fracas e fortes de fronteira livre. Provaremos que o conjunto {u>0} tem localmente perímetro finito e que a fronteira livre reduzida ∂ red {u>0} tem medida Hn-1-total. Para problemas mais específicos que aparecem em Jet flows, provaremos que a fronteira livre reduzida é localmente o gráfico de uma função C1,y. Na segunda parte do trabalho forneceremos uma descrição bastante completa da teoria de regularidade ótima para uma família de problemas de fronteira livre de duas fases, heterogêneos, y→ min, governados por operadores elípticos degenerados e não-lineares. Incluídos em tal família estão os problemas de Jet flows heterogêneos e os problemas de cavidades do tipo Prandtl-Batchelor, y = 0; equações elípticas degeneradas singulares e sistemas do tipo obstáculo y =1.Versões lineares destes problemas têm sido objeto de intensa pesquisa nas últimas quatro décadas ou mais. As contrapartidas não-lineares tratadas neste trabalho introduzem novas e consideráveis dificuldades, pois a maioria das teorias desenvolvidas anteriormente, tais como fórmulas de monotonicidade e de quase monotonicidade não estão disponíveis. Contudo, as soluções inovadoras desenvolvidas neste trabalho fornecem novas respostas mesmo no contexto clássico de equações lineares e não-degeneradas.

[pt] Este trabalho originou-se com um problema industrial, o de recobrimento de um cabo por uma camada de verniz. A questão era modelar o processo de recobrimento de modo que este pudesse ser controlado, evitando perdas e otimizando a produção. O problema é descrito e resolvido nesta tese. Além disso, é formulada uma teoria de interfaces, como as existentes em escoamentos com fronteiras livres ou móveis, onde a tensão superficial desempenha um papel dominante. A formulação da teoria é feita com base na Mecânica do Contínuo, e a interface é modelada como um corpo bidimensional que separa e interage com corpos tridimensionais, dos quais faz parte. A teoria desenvolvida é aplicada em vários problemas com superfície livre para demonstrar a versatilidade da mesma. Uma as contribuições a destacar é o desenvolvimento de um código para o cálculo de superfícies capilares de equilíbrio. / [en] This work was originated with an industrial problem, the process of coating of rods with a enamel. The task was described mathematically the process such as it can be controlled, in order to avoid losses and to optimating the production. In this work the problem is formulated and solved. Furthermore, a theory of interfaces is formulated, like that exist in free or moving boundary flows, when the surface tension is a dominating force. The formulation of the theory is made within the continuous media mechanics point of view, and the interface is modeled as a bidimensional body separating and interacting with tridimensional bodies. Of course, the interface is a part of the bodies. The theory is developed and applied to several free boundary problems in order to show its adaptability. One of the principal goals of this work is the development of an algorithm and the computational program for computing equilibrium capillary surfaces.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Este trabalho à constituÃdo de duas partes. Na primeira parte estudamos mÃnimos nÃo negativos de funcionais elÃpticos degenerados, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, para nÃcleos variacionais F que sÃo descontÃnuos em u com descontinuidade de ordem ~ X{u>0}. A equaÃÃo de Euler-Lagrange à governada por uma equaÃÃo elÃptica degenerada e nÃo-homogÃnea, com fronteira livre entre as fases positiva e zero do mÃnimo. Mostraremos estimativa gradiente Ãtima e nÃo-degenerescÃncia do mÃnimo. TambÃm trataremos de propriedades de regularidade fracas e fortes de fronteira livre. Provaremos que o conjunto {u>0} tem localmente perÃmetro finito e que a fronteira livre reduzida ∂ red {u>0} tem medida Hn-1-total. Para problemas mais especÃficos que aparecem em Jet flows, provaremos que a fronteira livre reduzida à localmente o grÃfico de uma funÃÃo C1,y. Na segunda parte do trabalho forneceremos uma descriÃÃo bastante completa da teoria de regularidade Ãtima para uma famÃlia de problemas de fronteira livre de duas fases, heterogÃneos, y→ min, governados por operadores elÃpticos degenerados e nÃo-lineares. IncluÃdos em tal famÃlia estÃo os problemas de Jet flows heterogÃneos e os problemas de cavidades do tipo Prandtl-Batchelor, y = 0; equaÃÃes elÃpticas degeneradas singulares e sistemas do tipo obstÃculo y =1.VersÃes lineares destes problemas tÃm sido objeto de intensa pesquisa nas Ãltimas quatro dÃcadas ou mais. As contrapartidas nÃo-lineares tratadas neste trabalho introduzem novas e considerÃveis dificuldades, pois a maioria das teorias desenvolvidas anteriormente, tais como fÃrmulas de monotonicidade e de quase monotonicidade nÃo estÃo disponÃveis. Contudo, as soluÃÃes inovadoras desenvolvidas neste trabalho fornecem novas respostas mesmo no contexto clÃssico de equaÃÃes lineares e nÃo-degeneradas. / This work consists of two parts. In the first part we study nonnegative minimizers of general degenerate elliptic functionals, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, for variational kernels F that are discontinuous in ụ with discontinuity of order ~ X{u>0}. The Euler-Lagrange equation is therefore governed by a non-homogeneous, degenerate elliptic equation with free boundary between the positive and the zero phases of the minimizer. We show optimal gradient estimate and nondegeneracy of minima. We also address weak and strong regularity properties of free boundary, ∂ red {u>0}, has H n-1- total measure. For more specific problems that arise in jet flows, we show the reduced free boundary is locally the graph of a C1,y function. In the second part of work we provide a rather complete description of the sharp regularity theory for a family of heterogeneous, two-phase variational free boundary problems, y→ min, ruled by nonlinear, degenerate elliptic operators. Included in such family are heterogeneous jets and cavities problems of Prandtl-Batchelor type, y = 0; singular degenerate elliptic equations and obstacle type systems, y = 1. Linear versions of these problems have been subjects of intense research for the past four decades or so. The nonlinear counterparts treated in this present work introduce substantial new difficulties since the most of the classical theories developed earlier, such that as monotonicity and almost monotonicity formulae, are no longer available. Nonetheless, the innovative solutions designed in this work provide new answers even in the classical context of linear, nondegenerate equations.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Esta tese trata do controle nulo local de um problema de fronteira-livre para a equaÃÃo do calor semilinear 1D com controles distribuÃdos (apoiado localmente no espaÃo) ou controles de fronteira (atuando em x = 0). provamos que, se o tempo final T à fixado e o estado inicial à suficientemente pequeno, existe controles que dirigem o estado exatamente para descansar no tempo t = T. AlÃm disso, analisamos a controlabilidade nulo de um sistema nÃo-linear 1D que modela a interaÃÃo de um fluido e sua fronteira. O fluido à governado pela equaÃÃo de Burgers viscosa e os controles distribuÃdos. Por Ãltimo, vamos lidar com o sistema de Navier-Stokes e Boussinesq 3D, definido em um cubo. Neste contexto, provamos um resultado sobre a sua controlabilidade aproximada global por meio de controles de fronteira que atuam em alguma parte da faces do cubo. / This Thesis deals with the local null control of a free-boundary problem for the 1D semilinear heat equation with distributed controls (locally supported in space) or boundary controls (acting at x = 0). we prove that, if the final time T is fixed and the initial state is sufficiently small, there exists controls that drive the state exactly to rest at time t = T. Furthermore, we analyze the null controllability of a 1D nonlinear system which models the interaction of a fluid and its boundary. The fluid is governed by the viscous Burgers equation and the distributed controls. Lastly, we deal with the 3D Navier-Stokes and Boussinesq system, posed in a cube. In this context, we prove a result concerning its global approximate controllability by means of boundary controls which act in some part of cube faces.

In this thesis we prove the genericity of the set of metrics on a manifold with boundary M^{n+1}, such that all free boundary constant mean curvature (CMC) embeddings \\varphi: \\Sigma^n \\to M^{n+1}, being \\Sigma a manifold with boundary, are non-degenerate (Bumpy Metrics), (Theorem 2.4.1). We also give sufficient conditions to obtain a free boundary CMC deformation of a CMC inmersion (Theorems 3.2.1 and 3.2.2), and a stability criterion for this type of immersions (Theorem 3.3.3 and Corollary 3.3.5). In addition, given a one-parametric family, {\\varphi _t : \\Sigma \\to M} , of free boundary CMC immersions, we give criteria for the existence of smooth bifurcated branches of free boundary CMC immersions for the family {\\varphi_t}, via the implicit function theorem when the kernel of the Jacobi operator J is non-trivial, (Theorems 4.2.3 and 4.3.2), and we study stability and instability problems for hypersurfaces in this bifurcated branches (Theorems 5.3.1 and 5.3.3). / Nesta tese, provamos a genericidade do conjunto de métricas em uma variedade com fronteira M^{n+1}, de modo que todos os mergulhos de curvatura média constante (CMC) e fronteira livre \\varphi : \\Sigma^n \\to M^{n+1}, sendo \\Sigma uma variedade com fronteira, sejam não-degenerados (Métricas Bumpy), (Teorema 2.4.1). Nós também fornecemos condições suficientes para obter uma deformação CMC e fronteira livre de uma imersão CMC (Teoremas 3.2.1 and 3.2.2), e um critério de estabilidade para este tipo de imersões (Teorema 3.3.3 and Corolario 3.3.5). Além disso, dada uma família 1-paramétrica, {\\varphi _t : \\Sigma \\to M} , de imersões de CMC e fronteira livre, damos os critérios para a existência de ramos de bifurcação suaves de imersões CMC e fronteira livre para a familia {\\varphi_t}, por meio de o teorema da função implícita quando o kernel do operador Jacobi J é não-trivial, (Teoremas 4.2.3 and 4.3.2), e estudamos o problema da estabilidade e instabilidade para hipersuperfícies em naqueles ramos de bifurcação (Teoremas 5.3.1 and 5.3.3).

In this thesis we prove the genericity of the set of metrics on a manifold with boundary M^{n+1}, such that all free boundary constant mean curvature (CMC) embeddings \\varphi: \\Sigma^n \\to M^{n+1}, being \\Sigma a manifold with boundary, are non-degenerate (Bumpy Metrics), (Theorem 2.4.1). We also give sufficient conditions to obtain a free boundary CMC deformation of a CMC inmersion (Theorems 3.2.1 and 3.2.2), and a stability criterion for this type of immersions (Theorem 3.3.3 and Corollary 3.3.5). In addition, given a one-parametric family, {\\varphi _t : \\Sigma \\to M} , of free boundary CMC immersions, we give criteria for the existence of smooth bifurcated branches of free boundary CMC immersions for the family {\\varphi_t}, via the implicit function theorem when the kernel of the Jacobi operator J is non-trivial, (Theorems 4.2.3 and 4.3.2), and we study stability and instability problems for hypersurfaces in this bifurcated branches (Theorems 5.3.1 and 5.3.3). / Nesta tese, provamos a genericidade do conjunto de métricas em uma variedade com fronteira M^{n+1}, de modo que todos os mergulhos de curvatura média constante (CMC) e fronteira livre \\varphi : \\Sigma^n \\to M^{n+1}, sendo \\Sigma uma variedade com fronteira, sejam não-degenerados (Métricas Bumpy), (Teorema 2.4.1). Nós também fornecemos condições suficientes para obter uma deformação CMC e fronteira livre de uma imersão CMC (Teoremas 3.2.1 and 3.2.2), e um critério de estabilidade para este tipo de imersões (Teorema 3.3.3 and Corolario 3.3.5). Além disso, dada uma família 1-paramétrica, {\\varphi _t : \\Sigma \\to M} , de imersões de CMC e fronteira livre, damos os critérios para a existência de ramos de bifurcação suaves de imersões CMC e fronteira livre para a familia {\\varphi_t}, por meio de o teorema da função implícita quando o kernel do operador Jacobi J é não-trivial, (Teoremas 4.2.3 and 4.3.2), e estudamos o problema da estabilidade e instabilidade para hipersuperfícies em naqueles ramos de bifurcação (Teoremas 5.3.1 and 5.3.3).

O presente trabalho trata da formulação, algoritmização e implementação numérica de um problema não-linear de controle de fronteira livre sujeito a restrições também não lineares definido em [Fri 94] e relativo ao modelo de funcionamento de um conversor catalítico monolítico cerâmico. São apresentados resultados de algumas simulações numéricas, usando um programa em FORTRAN77, no ambiente de estações de trabalho SUN e DEC alfa 3000.

O presente trabalho trata da formulação, algoritmização e implementação numérica de um problema não-linear de controle de fronteira livre sujeito a restrições também não lineares definido em [Fri 94] e relativo ao modelo de funcionamento de um conversor catalítico monolítico cerâmico. São apresentados resultados de algumas simulações numéricas, usando um programa em FORTRAN77, no ambiente de estações de trabalho SUN e DEC alfa 3000.

O presente trabalho trata da formulação, algoritmização e implementação numérica de um problema não-linear de controle de fronteira livre sujeito a restrições também não lineares definido em [Fri 94] e relativo ao modelo de funcionamento de um conversor catalítico monolítico cerâmico. São apresentados resultados de algumas simulações numéricas, usando um programa em FORTRAN77, no ambiente de estações de trabalho SUN e DEC alfa 3000.