Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / A hypersurface in a manifold, both with nonempty boundary, is called free boundary hypersurface if it is a critical point of the area functional restricted to all admissible variations which preserve volume. A variation is admissible if the boundary and the interior of the manifold contains the boundary and the interior of the hypersurfaces of the variation, respectively. It is well known that free boundary hypersurface has constant mean curvature. In this work we study free boundary hypersurfaces in bounded convex domains in the euclidean space. More precisely, we prove the results obtained by A. Ros and E. Vergasta [18] and I. nunes [15]. As the main result we prove that a stable free boundary surface in the unit ball of the three-dimensional euclidian space has to be either the totally geodesic disc or a spherical cap. / Uma hipersupefície de uma variedade, ambas com fronteira não vazia, é chamada de hipersupefície com fronteira livre se é ponto crítico do funcional área restrito a todas as variações admissíveis que preservam volume. Uma variação é dita admissível se a fronteira e o interior da variedade contém as fronteiras e os inteiores das hipersupefícies da variação, respectivamente. É bem conhecido que hipersupefícies com fronteira livre possuem curvatura média constante. Neste trabalho estudamos hipersuperfíce com fronteira livre em domínios convexos limitados do espaço euclidiano. Mais especificamente, expomos com detalhes os resultados obtidos por A. Ros-E. Vergasta e I. Nunes. Provamos como resultado principal que toda superfícies de fronteira livre estável na bola unitária do espaço euclidiano tridimensional é um disco totalmente geodésico ou uma calota esférica. / São Cristóvão, SE

Orientador: Jose Luiz Boldrini / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-15T18:45:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Fortunato_Meire_M.pdf: 2133008 bytes, checksum: 765913ccca70e83fff69f576fc664d3d (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Nesta dissertação detalhamos a análise matemática feita no artigo de X. Chen, A. Friedman, A free boundary problem for an elliptic-hyperbolic system: an application to tumor growth, SIAM J. Math. Anal. 35, 2003, pp. 974-986, o qual considera um problema de fronteira livre para um sistema de equações diferenciais parciais de caráter elíptico-hiperbólico relacionado com o chamado problema de Hele-Shaw. O problema modela o crescimento de um tumor e leva em conta as seguintes possibilidades de estado para suas células: proliferantes, quiescentes ou necróticas; leva-se também em conta a concentração de nutrientes disponível. Estas equações valem em um domínio que varia com o tempo de uma forma em que a velocidade da fronteira depende das outras variáveis do problema. Como resultado da análise tem-se a existência local no tempo e a unicidade de soluções clássicas do sistema / Abstract: In this dissertation we detail the analysis done in the article by X. Chen, A. Friedman, A free boundary problem for an elliptic-hyperbolic system,: an application to tumor growth, SIAM J. Math. Anal. 35, 2003, which considers a free boundary value problem for an elliptic-hyperbolic system of partial differential equations related to the Hele-Shaw problem. The present problem models the growth of a tumor and takes in consideration the following possibilities for the state of a tumor cell: proliferating, quiescent or necrotic; the model also takes in consideration the available nutrient concentration. The equations hold in a time varying domain in such way that the boundary velocity depends on the other variables of the problem. As a result of the analysis, we obtain the local in time existence, as well as uniqueness, of classical solutions for the system / Mestrado / Analise Aplicada / Mestre em Matemática

Orientador: Marcelo da Silva Montenegro / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-11T08:16:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Queiroz_OlivaineSantanade_D.pdf: 886346 bytes, checksum: 5fe477c4619e746d923fc51e7d78f55c (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Estudamos a equação - D. u = x{ u>O} ( log u + )..1 (x, u)) em um domínio limitado e suave Ç1 C JR.n, com condições de fronteira u = O em é)Ç1. Demonstramos resultados de existência e regularidade da solução maximal. A positividade dessa solução depende do parâmetro ).. e de Ç1. Se a solução maximal se anula em partes de Ç1, obtemos uma estimativa local para a medida de Hausdorff da fronteira livre. Se a singularidade log u for trocada por -u-(3, com O < (3 < 1, então a teoria de Alt&Caffarelli e Alt&Phillips implica que a fronteira livre é regular. Também estudamos o problema de Neumann com não-linearidade logarítmica por meio de perturbações e técnicas variacionais / Abstract: We study the equation -D.u = X{u>O} (log u+Àf(x, u)) in a smooth bounded domain fl C JRn, with boundary conditions u = O on 8fl. We obtain existence and regularity of the maximal solution. The positivity of such a solution depends on the parameter À and on the domain fl. .If the maximal solution vanishes on a set of positive measure, then we obtain local estimates for the Hausdorff measure of the free boundary. If the singularity logu is replaced by -u-!3, with O < (3 < 1, the theory of Alt&Caffarelli and Alt&Phillips implies that the free boundary is regular. We also study the Neumann problem with logarithmic nonlinearity using perturbation techniques and variational methods / Doutorado / Doutor em Matemática

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-03-07T11:34:58Z No. of bitstreams: 1 maiconwilliamniebusodone.pdf: 9396542 bytes, checksum: 0a9d05fa621e639f71fa74726b219707 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-03-07T15:03:29Z (GMT) No. of bitstreams: 1 maiconwilliamniebusodone.pdf: 9396542 bytes, checksum: 0a9d05fa621e639f71fa74726b219707 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-07T15:03:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 maiconwilliamniebusodone.pdf: 9396542 bytes, checksum: 0a9d05fa621e639f71fa74726b219707 (MD5) Previous issue date: 2014-08-28 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Problemas de mudança de fase líquido-sólido e/ou sólido-líquido são amplamente encontrados em diversas aplicações da indústria tais como na moldagem de diferentes tipos de peças, na aplicação de sprays térmicos para tratamento de superfícies e na fundição de materiais energéticos tais como o trinitrotolueno (TNT). Neste último caso, contrações de material, trincas e formação de vazios são frequentemente observados, devendo estes comportamentos serem previstos e evitados. Sendo assim, a simulação numérica de tais processos com algoritmos capazes de acompanhar a evolução da superfície livre, e a distribuição da temperatura no corpo durante o processo de fundição é importante. Pretende-se estudar diferentes estratégias na modelagem e solução de problemas desta natureza através das equações de transporte de massa, transferência de calor e de mudança de fase por meio do método dos volumes finitos. Na metodologia usada, os processos de solidificação e fusão são tratados por meio da aproximação do método da entalpia-porosidade baseado em malhas fixas. / Phase change problems as liquid-solid and/or solid-liquid are widely found in several industrial applications such as in molding of different parts, the application of thermal spray treatment and the casting of energy materials such as trinitrotoluene (TNT). For the latter case, material contractions, cracks and empities formation are often observed and these behaviors should be anticipated and avoided. Thus, the numerical simulation of such processes with algorithms capable to follow free surface evolution and body temperature distribution during casting process is important. In this work we study strategies in modeling and solving problems of this nature through the mass transport equations, heat transfer and phase change using the finite volume method. In the methodology used, the melting and solidification process are treated by means of the enthalpy-porosity approximation method based on fixed grids.

Orientador: Olivâine Santana de Queiroz / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-20T15:36:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Almeida_FernandaPereiradaSilva_M.pdf: 1905299 bytes, checksum: 26428236d161990046f1d1f982482fe1 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Na dissertação foi estudado um problema elíptico em um domínio limitado com bordo Lipschitz. Parte da fronteira deste domínio está em movimento e oscila rapidamente na variável que representa o espaço, caracterizando-se assim como um problema de fronteira livre com multi escala. Este problema tem aplicações, por exemplo, na construção de filmes semicondutores, levando-se em consideração que a superfície do filme se altera pela deposição de vapor químico. O estudo de tal modelo nos remete a questões de existência e unicidade para um sistema elíptico com condições de bordo do tipo misto acoplado à uma equação hiperbólica através de uma condição de fronteira livre. Além disso, um resultado de aproximação por homogeneização é demonstrado. De fato, provamos uma estimativa na norma H1 para o erro que se comete ao aproximar a fronteira livre real por uma fronteira livre homogeneizada / Abstract: In this dissertation we study an elliptic problem in a bounded Lipschitz domain. Part of the boundary is moving and oscillates rapidly in the variable representing the space. Thus, we have a multi-scale free boundary problem. This problem has applications, for instance, in the construction of semiconductor films taking into account that the surface of the film is changing by chemical vapor deposition. The study of such a model leads us to questions of existence and uniqueness for a system involving an elliptic equation with mixed boundary conditions coupled to a hyperbolic equation by means of a free boundary condition. Furthermore, a result on approximation by homogenization is shown. In fact, an estimate in terms of the H1-norm of the error committed by to approximate the real free boundary problem by the homogenized one is proved / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

[pt] Nesta tese estudamos duas classes de problemas. A primeira delas diz respeito a uma equação completamente não-linear que degenera como uma potência do gradiente. A presença desta interface afeta a elipticidade do sistema e produz redução da regularidade. Combinando técnicas da análise harmônica com métodos da teoria da medida, desenvolvemos uma análise tangencial que produz resultados de regularidade para as soluções em espaços de Sobolev. Como consequência, nossos resultados implicam estimativas em espaços de Hölder para o gradiente das soluções, desconhecidas na literatura no caso de termos de fonte não-limitados. A segunda parte trata de um problema de transmissão livre, governado por operadores completamente não-lineares. Neste caso, obtemos regularidade ótima para as soluções, assim como informações sobre a fronteira livre associada. / [en] This thesis focuses on two classes of problems. Firstly, we examine fully nonlinear equation degenerating as a power of the gradient. The interface along which ellipticity collapses introduces substantial difficulties in the analysis and affects the regularity of the solutions. Through methods in harmonic analysis and measure theory we produce a geometric analysis of the problem, which leads to estimates in Sobolev spaces. Furthermore, our findings set an important open problem in the literature, namely: the H lder-continuity for the gradient of solutions in the presence of unbounded source terms. The second part of the thesis focuses on a free transmission problem driven by fully nonlinear operators. On this topic, our results include the optimal regularity of the solutions and an analysis of the associated free boundary.

Neste trabalho de tese discutimos resultados recentes sobre a regularidade e propriedades geomÃtricas de soluÃÃes variacionais de problemas de fronteira livre de duas fases regidos por equaÃÃes elÃpticas nÃo lineares degeneradas/singulares. Discutimos tambÃm resultados do tipo PhragmÃm-Lindelof para tais equaÃÃes classificando essas soluÃÃes em semi-espaÃos. / Neste trabalho de tese discutimos resultados recentes sobre a regularidade e propriedades geomÃtricas de soluÃÃes variacionais de problemas de fronteira livre de duas fases regidos por equaÃÃes elÃpticas nÃo lineares degeneradas/singulares. Discutimos tambÃm resultados do tipo PhragmÃm-Lindelof para tais equaÃÃes classificando essas soluÃÃes em semi-espaÃos. / In this work of thesis we discuss recents results on the regularity and geometric properties of variational solutions of two phase free boundary problems governed by singular/degenerate nonlinear elliptic equations. We also discuss PhragmÃn-Lindelof type results for such equations classifying those solutions in half spaces. / In this work of thesis we discuss recents results on the regularity and geometric properties of variational solutions of two phase free boundary problems governed by singular/degenerate nonlinear elliptic equations. We also discuss PhragmÃn-Lindelof type results for such equations classifying those solutions in half spaces.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / In this work we establish local regularity estimates for at solutions to non-convex fully nonlinear elliptic equations and we study cavitation type equations modeled within coef- icients bounded and measurable. / Neste trabalho estabelecemos estimativas de regularidade local para soluÃÃes "flat" de equaÃÃes elÃpticas totalmente nÃo-lineares nÃo-convexas e estudamos equations do tipo cavidade com coeficientes meramente mensurÃveis.

[pt] Primeiro examinamos soluções de viscosidade Lp para equações elípticas totalmente não lineares com ingredientes de fronteira mensuráveis. Ao considerar p0 < p < d, focamos nas estimativas da regularidade dos gradientes derivadas de potenciais não lineares. Encontramos condições para Lipschitz-continuidade local das soluções e continuidade do gradiente. Examinamos avanços recentes na teoria da regularidade decorrentes de estimativas potenciais (não lineares). Nossas descobertas decorrem de – e são inspiradas por – fatos fundamentais na teoria de soluções de Lp-viscosidade, e resultados do trabalho de Panagiota Daskalopoulos, Tuomo Kuusi e Giuseppe Mingione (DKM2014). Na segunda parte provamos a regularidade parcial de mapas harmônicos com peso fracamente estacionários com dados de fronteira livre em um cone. Como ponto de partida, damos uma olhada na teoria da regularidade parcial interior para mapas harmônicos fracionários de minimização de energia intrínseca do espaço euclidiano em variedades Riemannianas compactas e suaves para potências fracionárias estritamente entre zero e um. Mapas harmônicos fracionários intrínsecos podem ser estendidos para mapas harmônicos com peso, então provamos regularidade parcial para mapas harmônicos minimizantes locais com dados de fronteira (parcialmente) livres em meios-espaços, mapas harmônicos fracionários então herdam essa regularidade. / [en] We first examine Lp-viscosity solutions to fully nonlinear elliptic equations with bounded measurable ingredients. By considering p0 < p < d, we focus on gradient-regularity estimates stemming from nonlinear potentials. We find conditions for local Lipschitz-continuity of the solutions and continuity of the gradient. We survey recent breakthroughs in regularity theory arising from (nonlinear) potential estimates. Our findings follow from – and are inspired by – fundamental facts in the theory of Lp-viscosity solutions, and results in the work of Panagiota Daskalopoulos, Tuomo Kuusi and Giuseppe Mingione (DKM2014). In the second part we prove partial regularity of weakly stationary weighted harmonic maps with free boundary data on a cone. As a starting point we take a look at the interior partial regularity theory for intrinsic energy minimising fractional harmonic maps from Euclidean space into smooth compact Riemannian manifolds for fractional powers strictly between zero and one. Intrinsic fractional harmonic maps can be extended to weighted harmonic maps, so we prove partial regularity for locally minimising harmonic maps with (partially) free boundary data on half-spaces, fractional harmonic maps then inherit this regularity.