Orientador: Roberto Venegeroles Nascimento / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC. Programa de Pós-Graduação em Matemática

Orientador: João Carlos da Motta Ferreira / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC. Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, 2013

No presente trabalho, estudamos a propriedade da c0-extensão no contexto de espaços de funções contínuas denidas numa reta compacta e tomando valores em R. Nosso principal resultado é que se K é uma reta compacta, então todo subespaço fechado e com dual separável de C(K) possui a propriedade da c0-extensão em C(K) e portanto, o espaço C(K) tem a propriedade de Sobczyk. Também apresentamos uma caracterização das funções phi: K --> L contínuas, crescentes e sobrejetoras entre retas compactas para as quais a subálgebra de Banach phi*C(L) possui a propriedade da c0-extensão em C(K). / In this work, we study the c0-extension property in the context of spaces of continuous real-valued functions defined in a compact line. Our main result states that if K is a compact line, then every closed subspace of C(K) with separable dual has the c0-extension property in C(K) and therefore, the space C(K) has the Sobczyk property. We also present a characterization of the continuous order-preserving surjective maps phi : K --> L between compact lines such that the Banach subalgebra phi*C(L) has the c0-extension property in C(K).

Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, denotamos por C0(K,X) o espaço de todas as funções a valores em X contínuas sobre K que se anulam no infinito, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone 1937, estabelecemos que se C0(K1,X) é isomorfo a C0(K2,X), onde X é um espaço de Banach de cotipo finito e tal que X é separável ou X* tem a propriedade de Radon-Nikodým, então ou K1 e K2 são ambos finitos ou K1 e K2 tem a mesma cardinalidade. Trata-se de uma extensão vetorial de um resultado de Cengiz 1978, o caso escalar X = R ou X = C. Demonstramos também que se K1 e K2 são intervalos compactos de ordinais e X é um espaço de Banach de cotipo finito, então a existência de um isomorfismo T de C(K1,X) em C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3 implica que uma certa soma topológica finita de K1 é homeomorfa a alguma soma topológica finita de K2. Mais ainda, se Xn não contém subespaço isomorfo a Xn+1 para todo n &isin; N, então K1 é homeomorfo a K2. Em outras palavras, obtemos um teorema tipo Banach-Stone vetorial que é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Mostramos que se existe um isomorfismo T de C(K1) em um subespaço de C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3, então a cardinalidade do &alpha;-ésimo derivado de K2 ou é finita ou é maior do que a cardinalidade do &alpha;-ésimo derivado de K1, para todo ordinal &alpha;. Em seguida, seja n um inteiro positivo, &Gamma; um conjunto infinito munido da topologia discreta e X um espaço de Banach de cotipo finito. Estabelecemos que se o n-ésimo derivado de K for não vazio, então a distância de Banach-Mazur entre C0(K,X) e C0(&Gamma;,X) é maior ou igual a 2n + 1. Também demonstramos que para quaisquer inteiros positivos n e k, a distância de Banach-Mazur entre C([1,&omega;nk],X) e C0(N,X) é exatamente 2n+1. Estes resultados fornecem extensões vetoriais para alguns teoremas de Cambern de 1970. Para um ordinal enumerável &alpha;, denotando por C(&alpha;) o espaço de Banach das funções contínuas no intervalo de ordinal [1, &alpha;], obtemos cotas superiores H(n, k) e cotas inferiores G(n, k) para as distâncias de Banach-Mazur entre os espaços C(&omega;) e C(&omega;nk), 1 < n, k < &omega;, verificando H(n, k) - G(n, k) < 2. Estas estimativas fornecem uma resposta para uma questão de Bessaga e Peczynski de 1960 sobre as distâncias de Banach-Mazur entre C(&omega;) e cada um dos espaços C(&alpha;), &omega;<&alpha;<&omega;&omega;. / For a locally compact Hausdorff space K and a Banach space X, we denote by C0(K,X) the space of X-valued continuous functions on K which vanish at infinity, endowed with the supremum norm. In the spirit of the classical 1937 Banach-Stone theorem, we prove that if C0(K1,X) is isomorphic to C0(K2,X), where X is a Banach space having finite cotype and such that X is separable or X* has the Radon-Nikodým property, then either K1 and K2 are finite or K1 and K2 have the same cardinality. It is a vector-valued extension of a 1978 Cengiz result, the scalar case X = R or X = C. We also prove that if K1 and K2 are compact ordinal spaces and X is Banach space having finite cotype, then the existence of an isomorphism T from C(K1,X) onto C(K2,X) with ||T||||T-1|| < 3 implies that some finite topological sum of K1 is homeomorphic to some finite topological sum of K2. Moreover, if Xn contains no subspace isomorphic to Xn+1 for every n &isin; N, then K1 is homeomorphic to K2. In other words, we obtain a vector-valued Banach-Stone theorem which is an extension of a 1970 Gordon theorem and at same time an improvement of a 1988 Behrends and Cambern theorem. We show that if there is an embedding T of a C(K1) into C(K2,X) with ||T||||T-1|| < 3, then the cardinality of the &alpha;-th derivative of K2 is either finite or greater than the cardinality of the &alpha;-th derivative of K1, for every ordinal &alpha;. Next, let n be a positive integer, &Gamma; an infinite set with the discrete topology and X is a Banach space having finite cotype. We prove that if the n-th derivative of K is not empty, then the Banach Mazur distance between C0(K,X) and C0(&Gamma;,X) is greater than or equal to 2n + 1. Thus, we also show that for every positive integers n and k, the Banach Mazur distance between C([1,&omega;nk],X) and C0(N,X) is exactly 2n+1. These results provide vector-valued versions of some 1970 Cambern theorems. For a countable ordinal &alpha;, writing C(&alpha;) for the Banach space of continuous functions on the interval of ordinal [1, &alpha;], we give lower bounds H(n, k) and upper bounds G(n, k) on the Banach- Mazur distances between C(&omega;) and C(&omega;nk), 1 < n, k < &omega;, such that H(n, k) - G(n, k) < 2. These estimates provide an answer to a 1960 Bessaga and Peczynski question on the Banach-Mazur distances between C(&omega;) and each of the C(&alpha;) spaces, &omega;<&alpha;<&omega;&omega;.

Neste trabalho estudamos algumas propriedades do espaço das funções contínuas munido da topologia da convergência pontual. Começamos estudando o espaço Cp(X) de forma geral, verificando que propriedades topológicas principais valem em Cp(X), usando teoremas de dualidade entre X e Cp(X). Em seguida estudamos a relação da estrutura topológica de X e a estrutura algébrica e topológica de Cp(X), onde o Teorema de Nagata é fundamental. Observamos algumas propriedades de X que são preservadas por l-equivalência ou t-equivalência, ou seja, que são determinadas pela estrutura linear topológica, ou pela estrutura topológica de Cp(X), respectivamente. Por último estudamos as condições para que Cp(X) seja um espaço de Lindelöf. Concluímos com a prova de Okunev de que o número de Lindelöf de Cp(X) é igual ao número de Lindelöf de Cp(X)xCp(X), para espaços fortemente zero-dimensionais X. / In this work we study some properties of the space of continuous functions endowed with the topology of pointwise convergence. We begin by studying the space Cp(X) in general terms, verifying that the main topological properties are valid in Cp(X), using duality theorems between X and Cp(X). Next we study the relationship between the topological structure of X and the algebraic as well as topological structure of Cp(X), in which the Nagata theorem theorem is essential. We observe some properties of X, which are preserved by l-equivalence or t-equivalence, i.e., which are respectively determined either by the linear topological structure of Cp(X) or by its topological one. Finally we study in which conditions Cp(X) is a Lindelöf space. We conclude with the proof of Okunev that the Lindelöf number of Cp(X) is equal to the Lindelöf number of Cp(X)xCp(X), for strongly zero-dimensional spaces X.

Orientador: Eduardo Sebastiani Ferreira / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-12T16:45:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Nascimento_CarlosOciranSilva_M.pdf: 1149568 bytes, checksum: 55e0d949e2788fe967b2b439442bc9f1 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Este trabalho é voltado para a área de História da Matemática, notadamente a do século XIX, tendo como um dos objetivos, fornecer material para o ensino de Cálculo e História da matemática, tomando como base o resgate da vida e obra do matemático maranhense Joaquim Gomes de Souza, com foco em uma de suas proposições, a saber: Redução de Funções Descontínuas à Forma de Funções Contínuas. Tal resultado tem relação direta com a série de Fourier, convergência de séries, continuidade, derivada, culminando com o exemplo de função contínua sem derivada de Weierstrass. Constitui-se, dessa forma, material com o fim de auxiliar pesquisadores, professores e alunos nessas disciplinas. / Abstract: This work belongs to the area of History of Mathematics, especially to the one of the nineteenth century, with the main objective of providing educational materials for the teaching of Calculus and History of the mathematics, recovering the life and work of the mathematician from Maranhão, Joaquim Gomes de Souza, with a focus on one of their propositions, namely: Reduction of discontinuous Functions to the form of Continuous Functions. This result is related has directey with the convergence of series, continuity, derivative, culminating with the example of continuous function without derivative of the Weierstrass. constituting, this way, material to support researchers, teachers and students in this discipline. / Mestrado / Historia da Matematica / Mestre em Matemática

Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, denotamos por C0(K,X) o espaço de todas as funções a valores em X contínuas sobre K que se anulam no infinito, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone 1937, estabelecemos que se C0(K1,X) é isomorfo a C0(K2,X), onde X é um espaço de Banach de cotipo finito e tal que X é separável ou X* tem a propriedade de Radon-Nikodým, então ou K1 e K2 são ambos finitos ou K1 e K2 tem a mesma cardinalidade. Trata-se de uma extensão vetorial de um resultado de Cengiz 1978, o caso escalar X = R ou X = C. Demonstramos também que se K1 e K2 são intervalos compactos de ordinais e X é um espaço de Banach de cotipo finito, então a existência de um isomorfismo T de C(K1,X) em C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3 implica que uma certa soma topológica finita de K1 é homeomorfa a alguma soma topológica finita de K2. Mais ainda, se Xn não contém subespaço isomorfo a Xn+1 para todo n &isin; N, então K1 é homeomorfo a K2. Em outras palavras, obtemos um teorema tipo Banach-Stone vetorial que é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Mostramos que se existe um isomorfismo T de C(K1) em um subespaço de C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3, então a cardinalidade do &alpha;-ésimo derivado de K2 ou é finita ou é maior do que a cardinalidade do &alpha;-ésimo derivado de K1, para todo ordinal &alpha;. Em seguida, seja n um inteiro positivo, &Gamma; um conjunto infinito munido da topologia discreta e X um espaço de Banach de cotipo finito. Estabelecemos que se o n-ésimo derivado de K for não vazio, então a distância de Banach-Mazur entre C0(K,X) e C0(&Gamma;,X) é maior ou igual a 2n + 1. Também demonstramos que para quaisquer inteiros positivos n e k, a distância de Banach-Mazur entre C([1,&omega;nk],X) e C0(N,X) é exatamente 2n+1. Estes resultados fornecem extensões vetoriais para alguns teoremas de Cambern de 1970. Para um ordinal enumerável &alpha;, denotando por C(&alpha;) o espaço de Banach das funções contínuas no intervalo de ordinal [1, &alpha;], obtemos cotas superiores H(n, k) e cotas inferiores G(n, k) para as distâncias de Banach-Mazur entre os espaços C(&omega;) e C(&omega;nk), 1 < n, k < &omega;, verificando H(n, k) - G(n, k) < 2. Estas estimativas fornecem uma resposta para uma questão de Bessaga e Peczynski de 1960 sobre as distâncias de Banach-Mazur entre C(&omega;) e cada um dos espaços C(&alpha;), &omega;<&alpha;<&omega;&omega;. / For a locally compact Hausdorff space K and a Banach space X, we denote by C0(K,X) the space of X-valued continuous functions on K which vanish at infinity, endowed with the supremum norm. In the spirit of the classical 1937 Banach-Stone theorem, we prove that if C0(K1,X) is isomorphic to C0(K2,X), where X is a Banach space having finite cotype and such that X is separable or X* has the Radon-Nikodým property, then either K1 and K2 are finite or K1 and K2 have the same cardinality. It is a vector-valued extension of a 1978 Cengiz result, the scalar case X = R or X = C. We also prove that if K1 and K2 are compact ordinal spaces and X is Banach space having finite cotype, then the existence of an isomorphism T from C(K1,X) onto C(K2,X) with ||T||||T-1|| < 3 implies that some finite topological sum of K1 is homeomorphic to some finite topological sum of K2. Moreover, if Xn contains no subspace isomorphic to Xn+1 for every n &isin; N, then K1 is homeomorphic to K2. In other words, we obtain a vector-valued Banach-Stone theorem which is an extension of a 1970 Gordon theorem and at same time an improvement of a 1988 Behrends and Cambern theorem. We show that if there is an embedding T of a C(K1) into C(K2,X) with ||T||||T-1|| < 3, then the cardinality of the &alpha;-th derivative of K2 is either finite or greater than the cardinality of the &alpha;-th derivative of K1, for every ordinal &alpha;. Next, let n be a positive integer, &Gamma; an infinite set with the discrete topology and X is a Banach space having finite cotype. We prove that if the n-th derivative of K is not empty, then the Banach Mazur distance between C0(K,X) and C0(&Gamma;,X) is greater than or equal to 2n + 1. Thus, we also show that for every positive integers n and k, the Banach Mazur distance between C([1,&omega;nk],X) and C0(N,X) is exactly 2n+1. These results provide vector-valued versions of some 1970 Cambern theorems. For a countable ordinal &alpha;, writing C(&alpha;) for the Banach space of continuous functions on the interval of ordinal [1, &alpha;], we give lower bounds H(n, k) and upper bounds G(n, k) on the Banach- Mazur distances between C(&omega;) and C(&omega;nk), 1 < n, k < &omega;, such that H(n, k) - G(n, k) < 2. These estimates provide an answer to a 1960 Bessaga and Peczynski question on the Banach-Mazur distances between C(&omega;) and each of the C(&alpha;) spaces, &omega;<&alpha;<&omega;&omega;.

Neste trabalho estudamos algumas propriedades do espaço das funções contínuas munido da topologia da convergência pontual. Começamos estudando o espaço Cp(X) de forma geral, verificando que propriedades topológicas principais valem em Cp(X), usando teoremas de dualidade entre X e Cp(X). Em seguida estudamos a relação da estrutura topológica de X e a estrutura algébrica e topológica de Cp(X), onde o Teorema de Nagata é fundamental. Observamos algumas propriedades de X que são preservadas por l-equivalência ou t-equivalência, ou seja, que são determinadas pela estrutura linear topológica, ou pela estrutura topológica de Cp(X), respectivamente. Por último estudamos as condições para que Cp(X) seja um espaço de Lindelöf. Concluímos com a prova de Okunev de que o número de Lindelöf de Cp(X) é igual ao número de Lindelöf de Cp(X)xCp(X), para espaços fortemente zero-dimensionais X. / In this work we study some properties of the space of continuous functions endowed with the topology of pointwise convergence. We begin by studying the space Cp(X) in general terms, verifying that the main topological properties are valid in Cp(X), using duality theorems between X and Cp(X). Next we study the relationship between the topological structure of X and the algebraic as well as topological structure of Cp(X), in which the Nagata theorem theorem is essential. We observe some properties of X, which are preserved by l-equivalence or t-equivalence, i.e., which are respectively determined either by the linear topological structure of Cp(X) or by its topological one. Finally we study in which conditions Cp(X) is a Lindelöf space. We conclude with the proof of Okunev that the Lindelöf number of Cp(X) is equal to the Lindelöf number of Cp(X)xCp(X), for strongly zero-dimensional spaces X.

O principal objetivo deste trabalho é estudar diversas aplicações de combinatória infinita em espaços de funções contínuas, definidas em espaços compactos Hausdorff. Usando combinatória infinita para uma álgebra de Boole, por meio da dualidade de Stone, obtemos um espaço compacto Hausdorff. Com certas propriedades na álgebra de Boole é possível analisar propriedades analíticas no espaço de funções contínuas definidas em tal espaço. Especificamente, analisamos a propriedade de Grothendieck. Também analisamos a relação entre o espaço de funções contínuas e o espaço compacto Hausdorff sobre o qual é definido. Apresentamos um resultado que permite obter diversos resultados conhecidos de uma maneira uniforme (só usando fatos de topologia e teoria de conjuntos), dotando o espaço de funções contínuas de uma ordem peculiar. Finalmente, estudamos um pouco de jogos topológicos mediante diversos exemplos. / The main purpose of this work is to study some infinite combinatorics applications in spaces of continuous functions, defined in Hausdorff compact spaces. Using infinite combinatorics in Boolean algebras, through Stone duality, we obtain a compact Hausdorff space. With certain properties in Boolean algebras it is possible to analyze analytic properties in the space of continuous functions defined in such space. Specifically, we analyze the Grothendieck property. We also analyze the relationship between the space of continuous functions and the compact Hausdorff space on which it is defined. We present a result that allows to obtain several known results in a uniform way (only using facts of topology and set theory), giving the space of continuous functions a peculiar order. Finally, we study some topological games through several examples.

O principal objetivo deste trabalho é estudar diversas aplicações de combinatória infinita em espaços de funções contínuas, definidas em espaços compactos Hausdorff. Usando combinatória infinita para uma álgebra de Boole, por meio da dualidade de Stone, obtemos um espaço compacto Hausdorff. Com certas propriedades na álgebra de Boole é possível analisar propriedades analíticas no espaço de funções contínuas definidas em tal espaço. Especificamente, analisamos a propriedade de Grothendieck. Também analisamos a relação entre o espaço de funções contínuas e o espaço compacto Hausdorff sobre o qual é definido. Apresentamos um resultado que permite obter diversos resultados conhecidos de uma maneira uniforme (só usando fatos de topologia e teoria de conjuntos), dotando o espaço de funções contínuas de uma ordem peculiar. Finalmente, estudamos um pouco de jogos topológicos mediante diversos exemplos. / The main purpose of this work is to study some infinite combinatorics applications in spaces of continuous functions, defined in Hausdorff compact spaces. Using infinite combinatorics in Boolean algebras, through Stone duality, we obtain a compact Hausdorff space. With certain properties in Boolean algebras it is possible to analyze analytic properties in the space of continuous functions defined in such space. Specifically, we analyze the Grothendieck property. We also analyze the relationship between the space of continuous functions and the compact Hausdorff space on which it is defined. We present a result that allows to obtain several known results in a uniform way (only using facts of topology and set theory), giving the space of continuous functions a peculiar order. Finally, we study some topological games through several examples.