Doctora en Ingeniería Eléctrica / El presente trabajo aborda el problema del análisis de estabilidad, convergencia y desempeño de los sistemas adaptables fraccionarios, utilizando el enfoque de los modelos de error, problema que no ha sido abordado ni reportado en la literatura técnica hasta la fecha. Los modelos de error fraccionarios surgen al introducir las derivadas de orden fraccionario en los esquemas adaptables clásicos, ya sea describiendo la planta a controlar o identificar, o bien en las leyes de ajuste de los parámetros. Como parte del desarrollo del trabajo, se estudiaron los cuatro modelos de error conocidos hasta el momento, pero desde el punto de vista fraccionario. En todos los casos, el primer paso fue realizar exhaustivos estudios por simulación, que permitieron tener un nivel de comprensión inicial del desempeño de estos modelos de error, en cuanto a estabilidad y convergencia de los errores. Para analizar la estabilidad de estos modelos de error, fue preciso generar resultados matemáticos generales, los que también constituyen un importante aporte de esta Tesis Doctoral. Estos resultados permitieron completar el análisis de los Modelos de Error Fraccionarios 1 y 4 en su totalidad, y para ciertos casos particulares de los Modelos de Error Fraccionarios 2 y 3. En relación a la demostración de convergencia del error de salida a cero, se obtuvieron resultados analíticos para casos particulares en el Modelo de Error Fraccionario 1, y se expusieron de manera concreta las principales dificultades que han impedido, hasta el momento, generalizar estos resultados a los demás casos. También se obtuvieron otros resultados analíticos válidos para los cuatro modelos de error, que permiten afirmar que el promedio del cuadrado de la norma del error de salida, tiene una tendencia decreciente. Esto puede resultar de utilidad en algunas aplicaciones desde el punto de vista práctico. Respecto de la convergencia del error paramétrico, se logró determinar que ella está relacionada con alguna forma de excitación persistente, particular para los sistemas adaptables fraccionarios, pero no se logró dar cabal respuesta a esta interrogante. Sin embargo, se obtuvieron resultados analíticos parciales para el caso del Modelo de Error Fraccionario 1 escalar, quedando los restantes casos como parte del trabajo futuro a desarrollar en esta línea de investigación. No obstante, se expusieron las conclusiones intuitivas al respecto, obtenidas de los estudios por simulación. Finalmente, este trabajo se complementó con el diseño, implementación y análisis de dos aplicaciones de controladores fraccionarios. El primero corresponde al control por referencia a modelo de orden fraccionario para un regulador automático de voltaje, mientras que el segundo es un compendio de tres estrategias de control fraccionario para el control de posición en un sistema de levitación magnética, conocido como Anillo de Thomson.

Doctor en Ingeniería Eléctrica / La presente Tesis Doctoral explora el problema de la determinación de funciones de Lyapunov cuadráticas comunes (CQLF, por su sigla en inglés), en el marco de los sistemas conmutados, y el problema de la identificación en línea y control adaptable, en el marco de los sistemas adaptables basados en modelos de error. Ambos en el área de los sistemas dinámicos lineales y no lineales, y son resueltos aquí bajo el enfoque de la optimización basada en una herramienta llamada Optimización por Enjambre de Partículas (PSO, por su sigla en inglés). Los problemas anteriormente mencionados son de gran importancia y trascendencia en la actualidad, pues el primero entrega los elementos para la determinación de la estabilidad de sistemas lineales conmutados, y el segundo se relaciona con el control de plantas de parámetros desconocidos. Estos dos problemas poseen soluciones parciales, tanto desde el punto de vista de la optimización como de otros enfoques. Sin embargo, las soluciones existentes poseen beneficios demostrados, pero también limitaciones marcadas, que los siguen justificando como problemas abiertos. En cuanto al problema de la determinación de CQLFs, en la presente Tesis Doctoral se desarrollan dos nuevas metodologías: i) una metodología basada en PSO para la determinación de la no-existencia de una CQLF, y ii) una metodología basada en PSO para el cálculo de una CQLF. Ambas metodologías presentan evidentes mejoras comparativas respecto de las mejores soluciones actuales, con base en indicadores de desempeño objetivos. En el ámbito de los sistemas adaptables, el principal producto de la presente Tesis Doctoral es una metodología basada en PSO para el diseño de leyes de ajuste paramétrico en sistemas adaptables de tiempo discreto, representados por modelos de error. Desde este punto de vista, la investigación se centra en las propiedades de estabilidad que presenta el uso de PSO en sistemas adaptables, además de estudiar las ventajas comparativas respecto de técnicas tradicionalmente usadas como gradiente y mínimos cuadrados.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En este trabajo se aborda el problema de encontrar soluciones regulares para algunas EDPs elípticas e hipo-elípticas no lineales y estudiar sus propiedades cualitativas. En una primera etapa, se considera la ecuación $$ -\Delta u = \lambda e^u, $$ $\lambda > 0$, en un dominio exterior con condición de Dirichlet nula. Un esquema de reducción finito-dimensional permite encontrar infinitas soluciones regulares cuando $\lambda$ es suficientemente pequeño. En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones de la ecuación no local $$ (-\Delta)^s u = u^{p \pm \epsilon}, u > 0, $$ en un dominio acotado y suave, con condición de Dirichlet nula; donde $s > 0$ y $p:=(N+2s)/(N-2s) \pm \epsilon$ es cercano al exponente crítico ($\epsilon > 0$ pequeño). Para hallar soluciones, se utiliza un esquema de reducción finito-dimensional en espacios de funciones adecuados, donde el término principal de la función reducida se expresa a partir de las funciones de Green y de Robin del dominio. La existencia de soluciones dependerá de la existencia de puntos críticos de este término principal y de una condición de no degeneración. Por último, se considera un problema no local en el grupo de Heisenberg $H$. En particular, se buscan propiedades de rigidez para soluciones estables de $$ (-\Delta_H)^s v = f(v) en H, $$ $s \in (0,1)$. Como paso fundamental, se prueba una desigualdad del tipo Poincaré en conexión con un problema elíptico degenerado en $R^4_+$. Esta desigualdad se usará en un procedimiento de extensión para dar un criterio bajo el cual los conjuntos de nivel de las soluciones del problema anterior son superficies mínimas en $H$, es decir, tienen $H$-curvatura media nula.

Ingeniero Civil Matemático / Esta memoria tiene como objetivo el análisis de un modelo de transmisión de datos bajo el contexto de network coding. El modelo fue inspirado en un estudio de comunicación en redes inalámbricas. En el escenario a estudiar, se desea enviar información particionada en paquetes, que llegan a un transmisor, a múltiples receptores. Se considera que el tiempo está particionado en períodos de tiempo iguales. Los paquetes, modelados como vectores de un espacio vectorial, llegan al transmisor mediante un proceso de Bernoulli de tasa $\lambda$. El transmisor puede enviar, en cada período, una combinación lineal de paquetes por igual a cada uno de los receptores. Las transmisiones pueden fallar en cada período con probabilidad $1-\mu$ de manera independiente entre cada receptor. Los receptores deben ser capaces de recuperar cada paquete de información original. En el contexto descrito, el principal parámetro de estudio es el retraso de decodificación de un paquete, definido como el tiempo esperado que transcurre entre que llega el paquete al transmisor y el instante en que un receptor logra decodificarlo (es decir, ser capaz de calcular una combinación lineal entre las transmisiones que el receptor ha recibido, cuyo resultado sea el paquete en consideración). El caso de interés del análisis del retraso de decodificación, es cuando el factor de carga $\rho = \lambda/\mu$, con $\lambda < \mu$, $\rho \rightarrow 1$. En primer lugar, se analiza el caso en que existen dos receptores. El transmisor ocupa un esquema de codificación propuesto en la literatura para calcular las combinaciones lineales de paquetes que se van a enviar. Se demuestra que el tiempo esperado del retraso de decodificación es $O\left( \frac{1}{1-\rho} \right)$, siendo una cota asintóticamente óptima. Se introduce el uso de funcionales de Lyapunov sobre cadenas de Markov, que permiten estudiar y acotar esperanzas que dependen del funcional. Posteriormente, se estudia si es posible para el caso de dos receptores realizar transmisiones, en períodos específicos, que den prioridad al receptor que ha recibido menos paquetes, con el objetivo de acotar el retraso de decodificación de los paquetes que le falta por decodificar a tal receptor. Aquí, se introduce la técnica de coupling de cadenas de Markov en el contexto de network coding. Por último, se avanza en el análisis de un esquema de codificación para el caso de tres receptores propuesto en la literatura. Se generalizan resultados que permiten obtener cotas para el caso de dos receptores utilizando funcionales de Lyapunov, adecuando las hipótesis a las que se tienen en el esquema de codificación en consideración.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Este trabajo se concentra principalmente en estudiar el método de reducción de Lyapunov-Schmidt y sus aplicaciones al estudio de existencia de soluciones a problemas semilineales elípticos. En particular, utilizamos exitosamente este método para estudiar la ecuación de Allen-Cahn \Delta u + u(1-u^2)=0, en R^N en diferentes contextos. La geometría de los conjuntos de nivel de soluciones enteras de esta ecuación, presenta una estructura variada y compleja. En particular, esta ecuación esta presente en la famosa conjetura de E. De Giorgi, la cual afirma que si la dimensión del espacio es tal que 2\leq N\leq 8, las soluciones acotadas de esta ecuación que son monótonas en una dirección, tienen por conjuntos nivel a una familia de hiperplanos paralelos entre si, es decir, la solución depende solo de una variable. Gran progreso se ha alcanzado en la demostración de esta conjetura durante las \'ultimas décadas. La monotonía de las soluciones esta relacionada con sus propiedades de estabilidad. En el programa de entender el conjunto de soluciones enteras de esta ecuación, es interesante estudiar soluciones que tienes índice de Morse finito, de las cuales para nuestro conocimiento, pocos ejemplos se conocen hasta ahora. En la primera parte de esta investigación, utilizamos el método de reducción, en esencia no variacional, para construir una familia de soluciones acotadas axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, con la propiedad de tener múltiples transiciones sobre una dilatación grande de una catenoide. De nuestro desarrollo, se evidencia contundentemente que estas soluciones tienen indice de Morse grande a medida que la catenoide se vuelve más y más dilatada. Motivados por este descubrimiento y utilizando el mismo método, continuamos este trabajo construyendo una nueva familia de soluciones axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, cuyo conjunto nodal consiste en dos componentes conexas que provienen del grafo y su reflexión respecto al eje z, de una solución suave y radialmente simétrica de la ecuación de Liouville en R2. De igual forma, encontramos fuerte evidencia para afirmar que el índice de Morse de esta familia de soluciones es finito. Luego, presentamos el estudio de la ecuación no homogénea de Allen-Cahn en R2, en la cual presentamos otra aplicación del método reducción construyendo, bajo ciertas condiciones geométricas, una familia de soluciones cuyos conjuntos nodales, fuera de una bola grande de R2, tienen dos componentes conexas que son asintóticamente semirrectas no paralelas entre si. Finalmente, y en contraste, consideramos el contexto variacional presentando resultados de existencia de múltiples soluciones para un sistema elíptico de ecuaciones con un acoplamiento simétrico. La aplicación del método de reducción variacional, permite luego aplicar de forma clásica el teorema de paso de montaña simétrico. La importancia del método de reducción, en este caso, radica en que las propiedades de simetría del sistema de ecuaciones, las cuales provienen de la forma del sistema, en lugar de las no linealidades, son heredadas por ecuación reducida.

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