Cette thèse est une étude de la géométrie de l'interaction dans le facteur hyperfini (GdI5), introduite par Jean-Yves Girard, et de ses liens avec les constructions plus anciennes. Nous commençons par montrer comment obtenir des adjonctions purement géométriques comme une identité entre des ensembles de cycles apparaissant entre des graphes. Il est alors possible, en choisis- sant une fonction qui mesure les cycles, d'obtenir une adjonction numérique. Nous montrons ensuite comment construire, sur la base d'une adjonction numérique, une géométrie de l'interaction pour la logique linéaire multiplicative additive où les preuves sont interprétées par des graphes. Nous expliquons également comment cette construction permet de définir une sémantique dénotationnelle de MALL, et une notion de vérité. Nous étudions finalement une généralisation de ce cadre utilisant des outils de théorie de la mesure afin d'interpréter les exponentielles et le second ordre. Les constructions sur les graphes étant paramétrées par une fonction de mesure des cycles, nous entreprenons ensuite l'étude de deux cas particuliers. Le premier s'avère être une version combinatoire de la GdI5, et nous obtenons donc une interprétation géométrique de l'orthogonalité basée sur le déterminant de Fuglede-Kadison. Le second cas particulier est une version combinatoire des constructions plus anciennes de la géométrie de l'interaction, où l'orthogonalité est basée sur la nilpotence. Ceci permet donc de comprendre le lien entre les différentes versions de la géométrie de l'interaction, et d'en déduire que les deux adjonctions -- qui semblent à première vue si différentes -- sont des conséquences d'une même identité géométrique. Nous étudions ensuite la notion de vérité subjective. Nous commençons par considérer une version légè- rement modifiée de la GdI5 avec une notion de vérité dépendant du choix d'une sous-algèbre maximale commutative (masa). Nous montrons qu'il existe une correspondance entre la classification des masas introduite par Dixmier (regulière, semi-régulière, singulière) et les fragments de la logique linéaire que l'on peut interpréter dans cette géométrie de l'interaction. Nous étudions alors la vérité subjective de la GdI5, qui dépends du choix d'une représentation du facteur hyperfini de type II1, à la lumière de ce résultat. Finalement, nous détaillerons une proposition de Girard pour étudier les classes de complexité et dé- taillons la caractérisation obtenue par ce dernier de la classe de complexité co-NL, en montrant comment coder un problème complet pour cette classe à l'aide d'opérateurs.

Issue des travaux sur la logique linéaire et l'analyse calculatoire de la logique classique, la notion de polarités semble jouer un rôle essentiel dans l'étude actuelle des systèmes logiques. La polarisation est une contrainte qui simplifie les objets tout en conservant une expressivité suffisante d'un point de vue informatique.<br /><br />L'objet de cette thèse est d'étudier et d'exploiter cette nouvelle structure afin en particulier de mettre à jour les relations entre la logique classique et la logique linéaire (LL). L'introduction des polarités dans LL permet de mieux appréhender ce vaste système et de prolonger le développement de différents outils trop complexes en l'absence de cette contrainte. Nous définissons ainsi, pour la logique linéaire polarisée (LLP), des réseaux de preuve intégrant les connecteurs additifs de manière satisfaisante, une sémantique des jeux polarisés qui réconcilie jeux et dualité, une géométrie de l'interaction parallèle et d'autres sémantiques dénotationnelles basées sur des notions connues (espaces de corrélation, catégories de contrôle).<br /><br />Il est important de montrer que malgré cette contrainte, LLP reste un système suffisamment expressif. Pour cela nous étudions en détail les traductions des différents systèmes de logique classique déterministe connus (LC, lambda-mu calcul, ...) aussi bien en appel par nom qu'en appel par valeur. De surcroît, les traductions obtenues pour ces systèmes sont plus simples que celles vers LL.<br /><br />Enfin la souplesse de ces traductions nous permet d'analyser plus finement certaines propriétés de la logique classique tout comme LL permet d'analyser la logique intuitionniste. On peut ainsi étudier un équivalent linéaire des CPS-traductions.

Des sémantiques élégantes et des implémentations efficaces des langages de programmation fonctionnels peuvent être décrits par les mêmes structures mathématiques, notamment dans la correspondance Curry-Howard, où le programmes, les types et l’exécution, coïncident aux preuves, formules et normalisation. Une telle flexibilité est aiguisé par l’approche déconstructive et géométrique de la logique linéaire (LL) et les réseaux de preuve, et de la réduction optimale et les graphes de partage (SG).En adaptent la géométrie de l’interaction de Girard, cette thèse propose une géométrie de l’interaction des ressources (GoRI), une sémantique dynamique et dénotationnelle, qui décrit algébriquement par leurs chemins, les termes du calcul des ressources (RC), une variation linéaire et non-déterministe du lambda calcul (LC). Les séries infinis dans RC sont aussi le domaine du développement de Taylor-Ehrhard-Regnier, une linéarisation du LC. La thèse explique la relation entre ce dernier et la réduction démontrant qu’ils commutent, et présente une version développé de la formule d’exécution pour calculer les chemins du LC typé.Les SG sont un modèle d’implémentation du LC, dont les pas sont locales et asynchrones, et le partage implique et les termes et les contextes. Bien que les tests ont montré des accélérations exceptionnelles, jusqu à exponentielles, par rapport aux implémentations traditionnelles, les SG n’ont pas que des avantages. La thèse montre que, dans le cas restreint des réseaux élémentaires, où seule le cœur des SG est requis, les désavantages sont au plus quadratique, donc inoffensifs. / Elegant semantics and efficient implementations of functional programming languages can both be described by the very same mathematical structures, most prominently with in the Curry-Howard correspondence, where programs, types and execution respectively coincide with proofs, formulæ and normalisation. Such a flexibility is sharpened by the deconstructive and geometrical approach pioneered by linear logic (LL) and proof-nets, and by Lévy-optimal reduction and sharing graphs (SG).Adapting Girard’s geometry of interaction, this thesis introduces the geometry of resource interaction (GoRI), a dynamic and denotational semantics, which describes, algebra-ically by their paths, terms of the resource calculus (RC), a linear and non-deterministic variation of the ordinary lambda calculus. Infinite series of RC-terms are also the domain of the Taylor-Ehrhard-Regnier expansion, a linearisation of LC. The thesis explains the relation between the former and the reduction by proving that they commute, and provides an expanded version of the execution formula to compute paths for the typed LC. SG are an abstract implementation of LC and proof-nets whose steps are local and asynchronous, and sharing involves both terms and contexts. Whilst experimental tests on SG show outstanding speedups, up to exponential, with respect to traditional implementations, sharing comes at price. The thesis proves that, in the restricted case of elementary proof-nets, where only the core of SG is needed, such a price is at most quadratic, hence harmless. / Semantiche eleganti ed implementazioni efficienti di linguaggi di programmazione funzionale possono entrambe essere descritte dalle stesse strutture matematiche, più notevolmente nella corrispondenza Curry-Howard, dove i programmi, i tipi e l’esecuzione coincidono, nell’ordine, con le dimostrazioni, le formule e la normalizzazione. Tale flsesibilità è acuita dall’approccio decostruttivo e geometrico della logica lineare (LL) e le reti di dimostrazione, e della riduzione ottimale e i grafi di condivisione (SG).Adattando la geometria dell’interazione di Girard, questa tesi introduce la geometria dell’interazione delle risorse (GoRI), una semantica dinamica e denotazionale che descrive, algebricamente tramite i loro per-corsi, i termini del calcolo delle risorse (RC), una variante lineare e non-deterministica del lambda calcolo ordinario. Le serie infinite di termini del RC sono inoltre il dominio dell’espansione di Taylor-Ehrhard-Regnier, una linearizzazione del LC. La tesi spiega la relazione tra quest’ultima e la riduzione dimostrando che esse commutano, e fornisce una versione espansa della for-mula di esecuzione per calcolare i percorsi del LC tipato. I SG sono un modello d’implementazione del LC, i cui passi sono loc-ali e asincroni, e la cui condivisione riguarda sia termini che contesti. Sebbene le prove sperimentali sui SG mostrino accellerazioni eccezionali, persino esponenziali, rispetto alle implementazioni tradizionali, la condivisione ha un costo. La tesi dimostra che, nel caso ristretto delle reti elementari, dove è necessario solo il cuore dei SG, tale costo è al più quad-ratico, e quindi innocuo.

La Géométrie de l'Interaction (GdI) de Girard est une sémantique des langage de programmations tenant compte de leur dynamique de réduction.<br />Dans un premier temps, on présente les réseaux d'interaction de Lafont comme une instance particulière de GdI. Puis, on définis un cadre général d'étude de la GdI à partir d'un ensemble de symboles et de règles d'interaction.<br />Dans un second temps, on introduit une notion de concision associée à la GdI et on montre dans quelle mesure cette notion fait du sens à l'aide d'une famille d'exemple basée sur les entiers de Church.<br />Dans un dernier temps, on présente les réseaux d'interaction différentiels d'Ehrhard et Regnier et on définit leur GdI. On montre que la théorie usuelle de Danos-Regnier est entièrement récupérée.

On étudie dans cette thèse une structure de semi-anneau dont le produit est basé sur la règle de résolution de la programmation logique. Cet objet mathématique a été initialement introduit dans le but de modéliser la procédure d'élimination des coupures de la logique linéaire, dans le cadre du programme de géométrie de l'interaction. Il fournit un cadre algébrique et abstrait, tout en étant présenté sous une forme syntaxique et concrète, dans lequel mener une étude théorique du calcul. On reviendra dans un premier temps sur l'interprétation interactive de la théorie de la démonstration dans ce semi-anneau, via l'axiomatisation catégorique de l'approche de la géométrie de l'interaction. Cette interprétation établit une traduction des programmes fonctionnels vers une forme très simple de programmes logiques. Dans un deuxième temps, on abordera des problématiques de théorie de la complexité: bien que le problème de la nilpotence dans le semi-anneau étudié soit indécidable en général, on fera apparaître des restrictions qui permettent de caractériser le calcul en espace logarithmique (déterministe et non-déterministe) et en temps polynomial (déterministe). / We study in this thesis a semiring structure with a product based on the resolution rule of logic programming. This mathematical object was introduced initially in the setting of the geometry of interaction program in order to model the cut-elimination procedure of linear logic. It provides us with an algebraic and abstract setting, while being presented in a syntactic and concrete way, in which a theoretical study of computation can be carried on. We will review first the interactive interpretation of proof theory within this semiring via the categorical axiomatization of the geometry of interaction approach. This interpretation establishes a way to translate functional programs into a very simple form of logic programs. Secondly, complexity theory problematics will be considered: while the nilpotency problem in the semiring we study is undecidable in general, it will appear that certain restrictions allow for characterizations of (deterministic and non-deterministic) logarithmic space and (deterministic) polynomial time computation.

Cette thèse est une étude de la géométrie de l'interaction dans le facteur hyperfini (GdI5), introduite par Jean-Yves Girard, et de ses liens avec les constructions plus anciennes. Nous commençons par montrer comment obtenir des adjonctions purement géométriques comme une identité entre des ensembles de cycles apparaissant entre des graphes. Il est alors possible, en choisissant une fonction qui mesure les cycles, d'obtenir une adjonction numérique. Nous montrons ensuite comment construire, sur la base d'une adjonction numérique, une géométrie de l'interaction pour la logique linéaire multiplicative additive où les preuves sont interprétées par des graphes. Nous expliquons également comment cette construction permet de définir une sémantique dénotationnelle de MALL, et une notion de vérité. Nous étudions finalement une généralisation de ce cadre afin d'interpréter les exponentielles et le second ordre. Les constructions sur les graphes étant paramétrées par une fonction de mesure des cycles, nous entreprenons ensuite l'étude de deux cas particuliers. Le premier s'avère être une version combinatoire de la GdI5, et nous obtenons donc une interprétation géométrique de l'orthogonalité basée sur le déterminant de Fuglede-Kadison. Le second cas particulier est une version combinatoire des constructions plus anciennes de la géométrie de l'interaction, où l'orthogonalité est basée sur la nilpotence. Ceci permet donc de comprendre le lien entre les différentes versions de la géométrie de l'interaction, et d'en déduire que les deux adjonctions — qui semblent à première vue si différentes — sont des conséquences d'une même identité géométrique. / This work is a study of the geometry of interaction in the hyperfinite factor introduced by Jean-Yves Girard, and of its relations with ancient constructions. We start by showing how to obtain purely geometrical adjunctions as an identity between sets of cycles appearing between graphs. It is then possible, by chosing a function that measures those cycles, to obtain a numerical adjunction. We then show how to construct, on the basis of such a numerical adjunction, a geometry of interaction for multiplicative additive linear logic where proofs are interpreted as graphs. We also explain how to define from this construction a denotational semantics for MALL, and a notion of truth. We extend this setting in order to deal with exponential connectives and show a full soundness result for a variant of elementary linear logic (ELL). Since the constructions on graphs we define are parametrized by a function that measures cycles, we then focus our study to two particular cases. The first case turns out to be a combinatorial version of GoI5, and we thus obtain a geometrical caracterisation of its orthogonality which is based on Fuglede-Kadison determinant. The second particular case we study will giveus a refined version of older constructions of geometry of interaction, where orthogonality is based on nilpotency. This allows us to show how these two versions of GoI, which seem quite different, are related and understand that the respective adjunctions are both consequences of a unique geometrical property. In the last part, we study the notion of subjective truth.

Cette recherche en informatique théorique construit de nouveaux ponts entre logique linéaire et théorie de la complexité. Elle propose deux modèles de machines abstraites qui permettent de capturer de nouvelles classes de complexité avec la logique linéaire, les classes des problèmes efficacement parallélisables (NC et AC) et celle des problèmes solutionnables avec peu d'espace, dans ses versions déterministes et non-déterministes (L et NL). La représentation des preuves de la logique linéaire comme réseaux de preuves est employée pour représenter efficacement le calcul parallèle des circuits booléens, y compris à profondeur constante. La seconde étude s'inspire de la géométrie de l'interaction, une délicate reconstruction de la logique linéaire à l'aide d'opérateurs d'une algèbre de von Neumann. Nous détaillons comment l'interaction d'opérateurs représentant des entiers et d'opérateurs représentant des programmes peut être reconnue nilpotente en espace logarithmique. Nous montrons ensuite comment leur itération représente un calcul effectué par des machines à pointeurs que nous définissons et que nous rattachons à d'autres modèles plus classiques. Ces deux études permettent de capturer de façon implicite de nouvelles classes de complexité, en dessous du temps polynomial.