Neste trabalho, fazemos uma breve introdução à Econofísica e às grandezas estatísticas relevantes para o estudo de um ativo financeiro. Estas grandezas são estudadas detalhadamente para o índice NYSE Composto. Determinamos o tempo de autocorrelação e o espectro de potência, cujos resultados indicam a presença de uma correlação de curto alcance. Através do expoente de Hurst, investigamos o tipo de correlação presente e detectamos a presença de multifractalidade. A volatilidade do índice NYSE mostrou-se análoga a um processo de Wiener. Por outro lado, a função densidade de probabilidade do índice NYSE foi ajustada por uma distribuição de Lévy simétrica com alpha = 1,47. Apresentamos os modelos de variância autoregressiva ARCH e GARCH. Em particular, focalizamos o modelo Markoviano GARCH(1,1). Este modelo tem três parâmetros de controle. Mostramos que, para o índice NYSE, o uso do tempo de autocorrelação na determinação deste conjunto de parâmetros de controle não é a melhor escolha. Resultados muito mais satisfatórios são obtidos se utilizarmos o sexto momento padronizado, uma vez que o ganho no ajuste da função de autocorrelação temporal é muito mais expressivo. A proposta de utilização do sexto momento é robusta e se aplica tanto ao modelo GARCH Gaussiano quanto ao modelo GARCH Exponencial. Desenvolvemos uma técnica de expansão em série para obter o sexto momento padronizado em função dos três parâmetros de controle. Obtivemos uma expressão analítica exata para a curtose do modelo GARCH Exponencial. Ambas as versões Gaussiana e Exponencial apresentam um desempenho equivalente na descrição da função densidade de probabilidade e da função de autocorrelação temporal. Porém, no que tange às leis de escala temporal, medidas através da probabilidade de retorno à origem, o modelo Exponencial tem, clara e inequivocamente, um melhor desempenho que o modelo Gaussiano, pois apresenta um expoente da lei de escala temporal em bom acordo com o expoente do índice NYSE. / In this thesis, we briefly give an introduction to Econophysics and discuss some important statistical quantities used in the study of a financial asset. This quantities are meticulously studied for the NYSE Composite Index. For its time series, we determine the time autocorrelation and the power spectrum, which show the presence of a short range correlation. By means of the Hurst exponent, we investigate the kind of autocorrelation which is present and we detected the presence of multifractality. The volatility of the NYSE Index show a behavior analogous to a Wiener process. On the other hand, the probability density function was adjusted by a symmetric Lévy distribuition with alpha = 1.47. We present the variance autoregressive ARCH and GARCH models. More specifically, we focus on the Markovian GARCH(1,1) model. This model has three control parameters. We show that, for the NYSE Index, the use of the time autocorrelation to determinate the set of control parameters is not the best choice. Instead, results much more reasonable are obtained if the standardized sixth moment is used, as can be seen by the adjust of the time autocorrelation function. The proposal of the sixth moment is robust and applies for both the Gaussian and the Exponential GARCH models. We developed a series expansion technique to get the standardized sixth moment as a function of the three control parameters. We found an exact analytic expression for the kurtosis of the Exponential GARCH model. Both the Gaussian and the Exponential versions exhibit an equivalent performance in the description of the probability density function and the time autocorrelation function. However, with respect to the time scaling laws (measured by the probability of return to the origin) the Exponential model shows, in a clear and unequivocal way, a better performance than the Gaussian model, since it gives a time horizon exponent much more close to the real NYSE exponent.

Neste trabalho, fazemos uma breve introdução à Econofísica e às grandezas estatísticas relevantes para o estudo de um ativo financeiro. Estas grandezas são estudadas detalhadamente para o índice NYSE Composto. Determinamos o tempo de autocorrelação e o espectro de potência, cujos resultados indicam a presença de uma correlação de curto alcance. Através do expoente de Hurst, investigamos o tipo de correlação presente e detectamos a presença de multifractalidade. A volatilidade do índice NYSE mostrou-se análoga a um processo de Wiener. Por outro lado, a função densidade de probabilidade do índice NYSE foi ajustada por uma distribuição de Lévy simétrica com alpha = 1,47. Apresentamos os modelos de variância autoregressiva ARCH e GARCH. Em particular, focalizamos o modelo Markoviano GARCH(1,1). Este modelo tem três parâmetros de controle. Mostramos que, para o índice NYSE, o uso do tempo de autocorrelação na determinação deste conjunto de parâmetros de controle não é a melhor escolha. Resultados muito mais satisfatórios são obtidos se utilizarmos o sexto momento padronizado, uma vez que o ganho no ajuste da função de autocorrelação temporal é muito mais expressivo. A proposta de utilização do sexto momento é robusta e se aplica tanto ao modelo GARCH Gaussiano quanto ao modelo GARCH Exponencial. Desenvolvemos uma técnica de expansão em série para obter o sexto momento padronizado em função dos três parâmetros de controle. Obtivemos uma expressão analítica exata para a curtose do modelo GARCH Exponencial. Ambas as versões Gaussiana e Exponencial apresentam um desempenho equivalente na descrição da função densidade de probabilidade e da função de autocorrelação temporal. Porém, no que tange às leis de escala temporal, medidas através da probabilidade de retorno à origem, o modelo Exponencial tem, clara e inequivocamente, um melhor desempenho que o modelo Gaussiano, pois apresenta um expoente da lei de escala temporal em bom acordo com o expoente do índice NYSE. / In this thesis, we briefly give an introduction to Econophysics and discuss some important statistical quantities used in the study of a financial asset. This quantities are meticulously studied for the NYSE Composite Index. For its time series, we determine the time autocorrelation and the power spectrum, which show the presence of a short range correlation. By means of the Hurst exponent, we investigate the kind of autocorrelation which is present and we detected the presence of multifractality. The volatility of the NYSE Index show a behavior analogous to a Wiener process. On the other hand, the probability density function was adjusted by a symmetric Lévy distribuition with alpha = 1.47. We present the variance autoregressive ARCH and GARCH models. More specifically, we focus on the Markovian GARCH(1,1) model. This model has three control parameters. We show that, for the NYSE Index, the use of the time autocorrelation to determinate the set of control parameters is not the best choice. Instead, results much more reasonable are obtained if the standardized sixth moment is used, as can be seen by the adjust of the time autocorrelation function. The proposal of the sixth moment is robust and applies for both the Gaussian and the Exponential GARCH models. We developed a series expansion technique to get the standardized sixth moment as a function of the three control parameters. We found an exact analytic expression for the kurtosis of the Exponential GARCH model. Both the Gaussian and the Exponential versions exhibit an equivalent performance in the description of the probability density function and the time autocorrelation function. However, with respect to the time scaling laws (measured by the probability of return to the origin) the Exponential model shows, in a clear and unequivocal way, a better performance than the Gaussian model, since it gives a time horizon exponent much more close to the real NYSE exponent.

Wir betrachten die stochastische Differentialgleichung mit Gedächtnis (SDDE) mit Gedächtnislänge r dX(t) = b(X(u);u in [t-r,t])dt + sigma(X(u);u in [t-r,t])dB(t) mit eindeutiger schwacher Lösung. Dabei ist B eine Brownsche Bewegung, b and sigma sind stetige, lokal beschränkte Funktionen mit Definitionsbereich C[-r,0], und X(u);u in [t-r,t] bezeichnet das Segment der Werte von X(u) für Zeitpunkte u im Intervall [t,t-r]. Unser Ziel ist eine Folge von diskreten Zeitreihen Xh höherer Ordung zu konstruieren, so dass mit h gegen 0 die Zeitreihen Xh schwach gegen die Lösung X der stochastischen Differentialgleichung mit Gedächtnis konvergieren. Desweiteren werden wir Bedingungen angeben, unter denen eine gegeben Folge von Zeitreihen Xh höherer Ordung schwach gegen die Lösung X einer stochastischen Differentialgleichung mit Gedächtnis konvergiert. Als ein Beispiel werden wir den schwachen Grenzwert einer Folge von diskreten GARCH-Prozessen höherer Ordnung ermitteln. Dieser Grenzwert wird sich als schwache Lösung einer stochastischen Differentialgleichung mit Gedächtnis herausstellen. / Consider the stochastic delay differential equation (SDDE) with length of memory r dX(t) = b(X(u);u in [t-r,t])dt + sigma(X(u);u in [t-r,t])dB(t), which has a unique weak solution. Here B is a Brownian motion, b and sigma are continuous, locally bounded functions defined on the space C[-r,0], and X(u);u in [t-r,t] denotes the segment of the values of X(u) for time points u in the interval [t,t-r]. Our aim is to construct a sequence of discrete time series Xh of higher order, such that Xh converges weakly to the solution X of the stochastic differential delay equation as h tends to zero. On the other hand we shall establish under which conditions time series Xh of higher order converge weakly to a weak solution X of a stochastic differential delay equation. As an illustration we shall derive a weak limit of a sequence of GARCH processes of higher order. This limit tends out to be the weak solution of a stochastic differential delay equation.

No description available.