OLIVEIRA, Jobson de Queiroz. Propriedades estocásticas em variedades riemannianas. 2012. 65 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2012. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2013-02-14T12:51:34Z No. of bitstreams: 1 2012_tese_jqoliveira.pdf: 2332458 bytes, checksum: c1f1caff649443193c6020e447c4526b (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2013-02-14T12:52:36Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_tese_jqoliveira.pdf: 2332458 bytes, checksum: c1f1caff649443193c6020e447c4526b (MD5) / Made available in DSpace on 2013-02-14T12:52:36Z (GMT). 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More precisely if a Riemannian submersion has minimal fiber and the total space is stochastically complete (parabolic ) then the basis is also stochastically complete ( parabolic ). Conversely, if the Riemannian submersion has compact minimal fiber and the basis is stochastically complete ( parabolic, Feller ) then the total space also is. We also proved that if a Riemannian submersion has compact minimal fiber then the total space is Feller if, and only if the the basis is Feller. In the second part we studied the Barkry Emery Ricci tensor Ricf, wich is a natural extension of the Ricci tensor in the context of weighted manifolds. We studied the following: suppose that Ricf has a lower bound –cG where G is a smooth nonnegative function and c a positive constant. Such lower bound allow us to obtain some geometric and topological consequences as we describe below. Consider Mf a weighted Riemannian manifold. The first consequence is an upper estimate, outside a geodesic ball of radius r0, for the weighted Laplacian of the Riemannian distance in terms of the function G. Let Mf be a weighted Riemannian manifold and po Є Mf fixed. Our first result is an upper bound, outside of a geodesic ball of radius R centered in po, for the weighted Laplacian os the Riemannian distance function from po in terms od the function G. The first consequence of this estimate is an estimate for the weighted volume Volf (B(R)) of a geodesic ball with radius R in terms of the integral of G. This estimate together the assumption of f be radial and Ә f ≥ - a, a≥ 0 (or | f | ≤k ) allow us to prove a comparison theorem for mf e mag, the Laplacian of distance function of the Riemannian model fo curvature aG, as such as a comparison theoremfor the weighted volume of a geodesic ball with radius R on the Riemannian model MaG, with curvature aG. Using a weighted version of the Bochner formula we proved that Ricf ≥ G’ then Mf satisfies the Omori-Yau Maximum Principle, where G is a positive, nondecreasing smooth function, such that G-1 does not belong to L1(Mf). In particular we conclude that Mf is stochastically complete. The next result we proved extends, for the tensor Ricf, a type Myers theorem due to Ambrose [1]. For this an additional assumption on f was required. As an aplication of this result we extended a result about compacity of Ricci solitons due to Fernandez-Lopez e García-Rio [15]. In 1976, Yau [36] proved an estimate for the gradient of a positive harmonic funcion u, defined on B(2R), when M is complete and Ric ≥ -k, k≥ 0. Such estimate depends only on R and k and was extended, to the weighted, to the case, to f-harmonic positive functions, when Ricf ≥ - k and Ric ≥ - H, k, H ≥ 0. Brighton [9] obtained estimates for the gradient of a positive f-harmonic function assuming only Ricf ≥ -k. We obtained estimates for the case Ricf ≥ -G where G is a smooth nonnegative function and when f= G = 0 we recover the original estimate of Yau. Finally we proved a comparison theorem between the first eigenvalue of the geodesic ball of radius r on Mf and the first eigenvalue of the geodesic ball of radius r of the model MG. Such result extends, to the weighted case, a result due to Bessa e Montenegro [4]. / Esta tese teve dois objetos de estudo: propriedades estocásticas em uma variedade Riemanniana, a saber, Completude Estocástica, Parabolicidade e propriedade Feller, e a geometria do tensor de Bakry-Emery. Na primeira parte da tese estudamos tais propriedades estocásticas no contexto de submersões Riemannianas e imersões isométricas, tendo como ponto de partida o trabalho de Pigola e Setti [28] sobre a propriedade Feller. No nosso primeiro resultado, provamos que se uma imersão isométrica em uma variedade Cartan-Hadamard possui vetor curvatura média com norma limitada então a imersão é Feller. Um análogo desse resultado já era conhecido para o caso de completude estocástica [30]. Em seguida estabelecemos condições necessárias e suficientes para que uma submersão seja estocasticamente completa (respec. parabólica), a saber, se uma submersão Riemanniana tem fibra mínima e o espaço total é estocasticamente completo (respec. parabólico) então a base é estocasticamente completa (respec. parabólica). Reciprocamente, se a submersão Riemanniana tem fibra mínima e compacta e a base é estocasticamente completa (respec. parabólica) então o espaço total é estocasticamente completo (respec. parabólico). Finalmente provamos que uma submersão Riemanniana tem fibra mínima e compacta então o espaço total ´e Feller, se, e somente se, a base é Feller. Na segunda parte desta tese estudamos o tensor de Bakry-Emery Ricci, Ricf, que é uma extensão, no caso de variedades ponderadas, do tensor de Ricci. Estudamos a seguinte situação: Ricci ≥ -cG, onde c é uma constante positiva e G ≥ O é uma função suave. Esta limitação nos permitiu obter algumas consequencias geométricas e topológicas, que passamos a descrever. Seja Mf uma variedade Riemanniana ponderada e po Є Mf fixado. Nosso primeiro resultado é uma estimativa superior, fora da bola geodèsica de raio ro, para o Laplaciano ponderado da função distância r ao ponto po, mf, em termos da integral da função G. A primeira consequência dessa estimativa é uma estimativa para o volume ponderado Volf (B(R)) de uma bola geodésica de raio R em termos da integral da função G. A estimativa de mf, juntamente com a hipótese de ƒ ser radial e Әr ƒ ≥ -a,a ≥ 0 (ou | ƒ|≤ k) também nos permite demonstrar um teorema de comparação entre mf e maG, Laplaciano da função distãncia no modelo de curvatura aG, bem como um teorema de comparação entre o volume ponderado de uma bola geodésica de raio R em Mf, Volƒ(B(R)), e o volume da bola geodésica de raio R no modelo MaG, de curvatura aG. Utilizando uma versão ponderada da fórmula de Bochner provamos que, se Ricci ≥ G’ então Mf satisfaz o princípio do máximo de Omori-Yau, onde G é função suave, positiva, não decrescente e tal que G-1 não é integrável. Em particular concluímos que Mf é estocasticamente completa. O próximo resultado que obtivemos estende, para o tensor Ricf, um teorema de Myers devido a Ambrose [1]. Para tanto, uma hipótese sobre a função ƒ foi necessária. Como aplicação, estendemos um resultado de compacidade de Ricci solitons de Fernando-Lopes e Garcia-Rio [15]. Em 1976, Yau [36] provou uma estimativa para o gradiente de uma função u, positiva, harmônica em B(2R), no caso de M ser completa e Ricf ≥ -k, k ≥ 0. Tal estimativa depende apenas de R e k e foi estendida, no caso ponderado, para funções f harmônicas positivas, supondo Ricf ≥ -k e Ric ≥ -H, k, H ≥ 0. Bringhton [9] obteve estimativas para o gradiente de uma função *-harmônica positiva utilizando somente a hipótese Ricf ≥ -k. As estimativas que obtivemos estendem as estimativas citas acima e, no caso em que ƒ=G=0 resultam na estimativa original de Yau. Finalmente, provamos um teorema de comparação entre o primeiro autovalor de Dirichlet da bola geodésica de raio R em Mf e o primeiro autovalor de Dirichlet da bola geodésica de raio MG. Tal resultado estende, para o caso ponderado, um resultado de Bessa e Montenegro [4].

VÉLASQUEZ, Marco Antonio Lázaro.Sobre a geometria de imersões isométricas em variedades de Lorentz conformemente estacionárias. 2010. 64 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2010. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2011-11-18T13:45:49Z No. of bitstreams: 1 2010_tese_malvelasquez.pdf: 382596 bytes, checksum: 1291f631e44d9e01f425e707ec1b0897 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2011-11-18T13:47:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_tese_malvelasquez.pdf: 382596 bytes, checksum: 1291f631e44d9e01f425e707ec1b0897 (MD5) / Made available in DSpace on 2011-11-18T13:47:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_tese_malvelasquez.pdf: 382596 bytes, checksum: 1291f631e44d9e01f425e707ec1b0897 (MD5) Previous issue date: 2010 / In this thesis we study several aspects of the geometry of conformally stationary Lorentz manifolds and, more particularly, of generalized Robertson-Walker spaces, under the presence of a closed conformal vector field. We initiate by focusing our study on the r-stability and on the strong r-stability of closed spacelike hypersurfaces of conformally stationary ambient spaces of constant sectional curvature; more precisely, we obtain a characterization of the r-stable ones by means of the first eigenvalue of a suitable elliptic operator naturally associated to its r-th mean curvature, as well classify the strongly r-stable ones by means of an appropriate condition on the conformal factor of the conformal vector field on the ambient space. Following,we establish general Bernstein-type theorems for spacelike hypersurfaces of conformally stationary Lorentz manifolds, one of which does not require the hypersurface to be of constant mean curvature. We end by extending, to conformally stationary Lorentz manifolds, a result of J. Simons on the minimality of certain cones in Euclidean spaces, and apply this result to build complete, non-compact minimal submanifolds in the de Sitter space and in the anti-de Sitter space. / Nesta tese estudamos vários aspectos da geometria de variedades de Lorentz conformemente estacionárias e, particularmente, de espaços generalizados de Robertson-Walker, sob a presença de um campo vetorial conforme fechado. Inicialmente, nós desenvolvemos um estudo sobre a r-estabilidade e a r-estabilidade forte de hipersuperfícies tipo-espaço fechadas em ambientes conformemente estacionários de curvatura seccional constante; mais precisamente,nós obtemos uma caracterização das hipersuperfícies r-estáveis pelo primeiro autovalor de um certo operador elíptico naturalmente associado á sua r-ésima curvatura, bem como classificamos as hipersuperfícies fortemente r-estáveis por meio de uma condição adequada sobre o fator conforme do campo conforme do ambiente. Em seguida, estabelecemos teoremas gerais tipo-Bernstein para hipersuperfícies tipo-espaço em variedades de Lorentz conformemente estacionárias, um dos quais não exige que a hipersuperfície possua curvatura média constante. Finalmente, estendemos para variedades de Lorentz conformemente estacionárias um resultado de J. Simons sobre a minimalidade de certos cones em espaços Euclidianos, e aplicamos este resultado para construir subvariedades mínimas completas e não-compactas no espaço de de Sitter e no espaço anti-de Sitter.

GOMES, Marlon de Oliveira. O problema de Bernstein. 2013. 146 f. Dissertação(Mestrado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2013. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2014-02-06T14:14:48Z No. of bitstreams: 1 2013_dis_mogomes.pdf: 3591854 bytes, checksum: 7436eff84b83e17422b3a917b66a2067 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-02-06T14:55:20Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2013_dis_mogomes.pdf: 3591854 bytes, checksum: 7436eff84b83e17422b3a917b66a2067 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-02-06T14:55:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2013_dis_mogomes.pdf: 3591854 bytes, checksum: 7436eff84b83e17422b3a917b66a2067 (MD5) Previous issue date: 2013 / The classical Bernstein problem, solved by S. Bernstein in 1915-1917 in his article [12], asks if there is a complete minimal graph in R3 besides the plane. Bernstein showed that the answer to this question is no using analytical methods for study of equations of prescribed curvature. We will see here how this problem is related to the Gauss map of the graph, and as consequence of this relationship we generalize this theorem to a larger class of surfaces (not necessarily graphs), following the proof given by R. Osserman in [51]. We will see next generalizations of this theorem in higher dimensions, following essentially the methods introduced by W. Fleming in [31], and later refined by E. De Giorgi in [20], F. Almgren in [6] and J. Simons in [62]. In fact, they solve the problem for graphs in Rn, n < 9, namely they prove that the only complete minimal graph in these espaces is the hyperplane. Following the proof given by E. Bombieri, E. De Giorgi and E. Giusti in [14], we also show that, in dimension n ≥ 9, it is possible to construct complete minimal graphs in Rn. At last, we conclude with an extension of Bernstein’s theorem to the class of submanifolds stable with respect to the second variation of volume, under certain conditions of curvature and volume growth, and yet we investigate the case in which the ambient manifold is not the Euclidean space. / O problema de Bernstein clássico, resolvido por S. Bernstein em 1915-1917 em seu artigo [12], pergunta se existe um gráfico mínimo completo em R3 além do plano. Bernstein mostrou que a resposta para este problema é não, utilizando métodos analíticos para o estudo de equações de curvatura prescrita. Veremos aqui como este problema está relacionado com a aplicação de Gauss deste gráfico, e como conseqüência desta relação iremos generalizar este teorema para uma classe de superfícies maior (não necessariamente gráficos), seguindo a prova dada por R. Osserman em [51]. Veremos a seguir generalizações deste teorema em dimensões maiores, seguindo essencialmente os métodos introduzidos Por W. Fleming em [31], e refinados posteriormente por E. De Giorgi, em [20], F. Almgren, em [6], e J. Simons, em [62], que resolvem o problema para gráficos em Rn, n < 9 mostrando que o único gráfico mínimo completo nesses espaços é o hiperplano. Mostraremos também que em dimensão n ≥ 9, é possível construir gráficos mínimos completos em Rn, seguindo a prova apresentada por E. Bombieri, E. Di Giorgi e E. Giusti em [14]. Por fim, concluímos com uma extensão do teorema de Bernstein para a classe das subvariedades estáveis com respeito à segunda variação de volume, sob certas condições de crescimento de curvatura ou volume, e investigaremos ainda o caso que a variedade ambiente não é o espaço euclidiano.

PARENTE, Ulisses Lima; MUNIZ NETO, Antonio Caminha. Alguns resultados tipo-Bernstein em variedades semi-riemannianas. 2011. 76 f. : Tese (doutorado) - Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza-CE, 2011. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2011-10-06T11:17:12Z No. of bitstreams: 1 2011_tese_ulparente.pdf: 501643 bytes, checksum: 1fb4d3996c364ea2f5740f5f9e4eb31b (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2011-10-06T13:48:32Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_tese_ulparente.pdf: 501643 bytes, checksum: 1fb4d3996c364ea2f5740f5f9e4eb31b (MD5) / Made available in DSpace on 2011-10-06T13:48:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_tese_ulparente.pdf: 501643 bytes, checksum: 1fb4d3996c364ea2f5740f5f9e4eb31b (MD5) Previous issue date: 2011 / In this thesis, we study complete space-like hypersurfaces immersed in semi-Riemannian manifolds, satisfying some conditions on their higher-order mean curvatures in order to get Bernstein-type results. Analytical tools we use are some versions of the maximum principle. When the ambient space is a generalized Robertson-Walker spacetime which is supposed to obey the strong null convergence condition, we establish new characterizations of totally geodesic spacelike hypersurfaces. Furthermore, we obtain a lower estimate the minimum index of relative nullity when the space-like hypersurface is r-maximal, or when there are two consecutive higher-order mean curvatures that do not change sin. We also obtain rigidity results and new characterizations of totally umbilical hypersurfaces, assuming they have some constant higher-order mean curvature, and that the ambient space is a spacetime Robertson-Walker obeying the null convergence condition. These results are applied to the de Sitter and anti-de Sitter spaces. Finally, we prove a Bernstein-type theorem for constant mean curvature complete hypersurfaces immersed in a riemannian product. / Nesta tese, estudamos hipersuperfícies de tipo-espaço completas imersas em variedades semi-Riemannianas, satisfazendo alguma condição sobre suas curvaturas de ordem superior, a fim de obtermos resultados tipo-Bernstein. As ferramentas analíticas que utilizamos são algumas versões do princípio do máximo. No caso em que o ambiente é um espaço-tempo de Robertson-Walker generalizado satisfazendo a condição forte de convergência nula, obtemos novas caracterizações de hipersuperfícies tipo-espaço totalmente geodésicas. Além disso, obtemos uma estimativa inferior do índice mínimo de nulidade relativa quando a hipersuperfície tipo-espaço é r-máxima ou quando existem duas curvaturas médias de ordem superior consecutivas que não mudam de sinal. Também obtemos resultados de rigidez e novas caracterizações de hipersuperfícies totalmente umbílicas, supondo que estas possuem alguma curvatura de ordem superior constante e que o ambiente é um espaço-tempo de Robertson-Walker satisfazendo a condição de convergência nula. Aplicamos tais resultados aos espaço de de Sitter e anti-de Sitter. Finalmente, provamos um teorema tipo-Bernstein para hipersuperfícies completas, com curvatura média constante, imersas em um produto riemanniano.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Departamento de Matemática, 2008. Texto parcialmente liberado pelo autor, somente Resumo. / Submitted by Diogo Trindade Fóis (diogo_fois@hotmail.com) on 2009-10-13T16:09:14Z No. of bitstreams: 1 2008_RosangelaMariaSilva_resumo.pdf: 49403 bytes, checksum: 5d299f2a22a1d647c7312d56310c9aca (MD5) / Approved for entry into archive by Marília Freitas(marilia@bce.unb.br) on 2010-02-25T21:56:09Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2008_RosangelaMariaSilva_resumo.pdf: 49403 bytes, checksum: 5d299f2a22a1d647c7312d56310c9aca (MD5) / Made available in DSpace on 2010-02-25T21:56:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2008_RosangelaMariaSilva_resumo.pdf: 49403 bytes, checksum: 5d299f2a22a1d647c7312d56310c9aca (MD5) Previous issue date: 2008 / Estudamos as superfícies mínimas em R3 com a métrica Euclidiana perturbada por uma rotação. Esse espaço de Finsler ( 3, ) é a região de R3 limitada por um cilindro de raio 1 com uma métrica de Randers. Provamos que as únicas superfícies mínimas de rotação nesse espaço são os catenóides contidos em 3 gerados pela rotação de uma catenária em torno do eixo do cilindro. Provamos que não existem superfícies mínimas de rotação em torno de qualquer eixo diferente do eixo do cilindro. Obtemos ainda s equações diferenciais parciais que caracterizam as superfícies mínimas em 3 que são gráficos de uma função. Provamos que as únicas regiões de planos que são mínimas em ( 3, ) são os discos abertos de raio 1 limitados pelos paralelos do cilindro e as faixas de planos geradas pelas interseções de 3 com os planos de R3 que contêm o eixo do cilindro. __________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / We study minimal surfaces in R3 with the Euclidian metric perturbed by a rotation. This Finsler space ( ¯M 3, ¯ F) is the open region of R3 bounded by a cylinder with radius 1 with a Randers metric. We prove that the only minimal surfaces of rotation in this space are the catenoids contained in ¯M 3 generated by the rotation of a catenary around the axis of the cylinder. We prove that there are no minimal surfaces of rotation around any axis different from the axis of the cylinder. Moreover, we obtain the partial differential equations that characterize the minimal surfaces in ¯M 3 that are the graph of a function. We prove that the only regions of planes which are minimal in ( ¯M 3, ¯ F) are the open disks with radius 1 bounded by the parallels of the cylinder and the strips of planes generated by the intersection of ¯M 3 with the planes of R3 that contain the cylinder axis.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Física, 2009. / Submitted by Elna Araújo (elna@bce.unb.br) on 2010-04-30T21:18:34Z No. of bitstreams: 1 2009_JulianoAlvesdeDeus.pdf: 1570521 bytes, checksum: 8b70cc44295dbbf7896df28a63f29587 (MD5) / Approved for entry into archive by Carolina Campos(carolinacamposmaia@gmail.com) on 2010-05-13T14:22:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2009_JulianoAlvesdeDeus.pdf: 1570521 bytes, checksum: 8b70cc44295dbbf7896df28a63f29587 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-05-13T14:22:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2009_JulianoAlvesdeDeus.pdf: 1570521 bytes, checksum: 8b70cc44295dbbf7896df28a63f29587 (MD5) Previous issue date: 2009-03 / As cosmologias de Bianchi são modelos cosmológicos homogêneos anisotrópicos. Podem, no entanto, incluir o caso particular isotrópico. Modelos anisotrópicos adquirem importância no estudo do universo próximo ao seu surgimento, quando a geometria é dominante na determinação da dinâmica do universo. Portanto, soluções de vácuo, que desconsideram o efeito da matéria e energia, são apropriadas para obter as equações de campo do sistema. Neste trabalho nós resolvemos numericamente soluções de vácuo dos universos homogêneos de Bianchi VII. O tipo Bianchi VII constitui um caso de grande generalidade dentro destes modelos cosmológicos homogêneos. Nós obtivemos soluções que indicam universos com expansões lineares e com um particular comportamento tipo Kasner, para Bianchi VII0. Para Bianchi VIIA, obtivemos soluções de universos com expansões lineares (incluindo o caso isotrópico) e, num caso mais geral, verificamos numericamente um comportamento de onda plana. ________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The Bianchi's cosmologies are anisotropic homogeneous cosmological models. May however include the particular isotropic case. Anisotropic models gain importance in the study of the universe close to their emergence, when the geometry is dominant in determining the dynamics of the universe. Therefore, vacuum solutions, which disregards the matter and energy effect, are suitable to obtain the system field equations. In this work we numerically solve the vacuum solutions of Bianchi VII homogeneous universes. The Bianchi VII type is a case of great generality within this homogeneous cosmological models. We obtained solutions which indicates universes with linear expansions and with a particular Kasner type behavior, for Bianchi VII0. For Bianchi VIIA, we obtained solutions for universes with linear expansion (including the isotropic case) and, for more general case, we verify numerically a behavior of at wave.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2006. / Texto parcialmente liberado pelo autor. / Submitted by Mariana Fonseca Xavier Nunes (nanarteira@hotmail.com) on 2010-09-16T09:49:14Z No. of bitstreams: 1 2006_Nilton Moura Barroso Neto.pdf: 229403 bytes, checksum: f150da03e423f27d1f9ad0e55b6bd0d2 (MD5) / Approved for entry into archive by Carolina Campos(carolinacamposmaia@gmail.com) on 2010-09-28T12:39:26Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2006_Nilton Moura Barroso Neto.pdf: 229403 bytes, checksum: f150da03e423f27d1f9ad0e55b6bd0d2 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-09-28T12:39:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2006_Nilton Moura Barroso Neto.pdf: 229403 bytes, checksum: f150da03e423f27d1f9ad0e55b6bd0d2 (MD5) Previous issue date: 2006 / Uma imersão X : M2 ! R3 é dita uma Superfície de Willmore se é ponto crítico do funcional W(X) = RM H2da. Até 1986, os únicos exemplos conhecidos de tais superfícies eram obtidas a partir de projeções estereográficas de superfícies mínimas e compactas mergulhadas em S3. Neste trabalho mostramos a existência de uma infinidade de superfícies de Willmore que não provém de superfícies mínimas em S3, usando os trabalhos de Pinkall, Langer, Singer e Moniot. _____________________________________________________________________________ ABSTRACT / An immersion X : M2 ! R3 is called a Willmore surface if it is an extremal for the functional W(X) = RM H2da. Until 1986, the only examples of such surfaces known so far were stereographic projections of compact embedded minimal surfaces in S3. In this work we prove the existence of an infinite number of Willmore surfaces that do not stem from minimal surfaces in S3, using the works of Pinkall, Langer, Singer and Moniot.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2007. / Texto parcialmente liberado pelo autor. / Submitted by Mariana Fonseca Xavier Nunes (nanarteira@hotmail.com) on 2010-09-17T21:13:02Z No. of bitstreams: 1 2007-Anyelle Nogueira de Souza.pdf: 153774 bytes, checksum: 3267f4a8d0ea6664f812238373824288 (MD5) / Approved for entry into archive by Carolina Campos(carolinacamposmaia@gmail.com) on 2010-09-28T14:29:42Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2007-Anyelle Nogueira de Souza.pdf: 153774 bytes, checksum: 3267f4a8d0ea6664f812238373824288 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-09-28T14:29:42Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2007-Anyelle Nogueira de Souza.pdf: 153774 bytes, checksum: 3267f4a8d0ea6664f812238373824288 (MD5) Previous issue date: 2007 / O objetivo deste trabalho é provar, com base no artigo de Thomas E. Cecil, que se f: M(seta para direita) R3 é uma imersão taut de uma superfície não compacta e conexa, então f(M) é um hiperplano ou uma cíclide de Dupin completa. _____________________________________________________________________________ ABSTRACT / Our purpose is to prove, based on a paper of Thomas E. Cecil, that if f : M −! R3 is a taut immersion of a connected noncompact surface, then f(M) is either a hyperplane or a complete cyclide of Dupin.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2010. / Submitted by Elna Araújo (elna@bce.unb.br) on 2011-05-26T18:56:02Z No. of bitstreams: 1 2010_MarceloLopesFerro.pdf: 554275 bytes, checksum: ce8963b4d52118811edf1ae291557baa (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2011-06-03T20:20:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_MarceloLopesFerro.pdf: 554275 bytes, checksum: ce8963b4d52118811edf1ae291557baa (MD5) / Made available in DSpace on 2011-06-03T20:20:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_MarceloLopesFerro.pdf: 554275 bytes, checksum: ce8963b4d52118811edf1ae291557baa (MD5) / Estudamos hipersuperfícies de Dupin em R6 parametrizadas por linhas de curvaturas com cinco curvaturas principais distintas, satisfazendo condições genéricas sobre os invariantes de Laplace. A curvatura de Lie dessas hipersuperfícies não e constante. Caracterizamos localmente uma classe de tais hipersuperfícies em termos das curvaturas principais e da métrica, definidas por funções de uma variável. Ilustramos a teoria com exemplos. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT / We study Dupin hypersurfaces in R6 parametrized by lines of curvature, with five distinct principal curvature, satisfying generic conditions on the Laplace invariants. The Lie curvature of theses hypersurfaces is not constant. We characterize locally a class of such hipersurfaces in terms of the principal curvatures and the metric, defined by functions of one variable. We illustrate the theory with examples.

Submitted by Pedro Barros (pedro.silvabarros@ufpe.br) on 2018-08-06T20:31:47Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE José Deibson da Silva .pdf: 577733 bytes, checksum: 54f2164b1d6cb0cd6d42121913bbfaf8 (MD5) / Approved for entry into archive by Alice Araujo (alice.caraujo@ufpe.br) on 2018-08-08T18:30:24Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE José Deibson da Silva .pdf: 577733 bytes, checksum: 54f2164b1d6cb0cd6d42121913bbfaf8 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-08T18:30:24Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE José Deibson da Silva .pdf: 577733 bytes, checksum: 54f2164b1d6cb0cd6d42121913bbfaf8 (MD5) Previous issue date: 2017-06-20 / Vamos generalizar um Princípio do Máximo no Infinito no caso parabólico dado por Ronaldo F. de Lima em seu trabalho A Maximum Principles at Infinity for surfaces with Constant Mean Curvature in Euclidean Space e por Ronaldo F. de Lima e William Meeks no artigo Maximum Principles at Infinity for surfaces of Bounded Mean Curvature in R³ and H³ onde agora teremos hipersuperfícies M₁ e M₂ do Rⁿ⁺¹, disjuntas com bordos (possivelmente vazios) ∂M₁ e ∂M₂, de curvatura média limitada com um Contato Ideal no Infinito, porém agora sem restrição sobre a curvatura Gaussiana de qualquer hipersuperfície. Como aplicação geométrica apresentaremos alguns resultados que estendem para hipersuperfícies mergulhadas M₁ e M₂ do Rⁿ⁺¹ com bordos vazios, uma generalização do Princípio do Máximo de Hopf para hipersuperfícies disjuntas que se aproximam assintoticamente. Uma vez obtidos esses resultados, introduzimos uma estrutura de variedade Riemanniana ponderada em Rⁿ⁺¹ e obtemos algumas generalizações dos resultados antes obtidos sob hipóteses dos objetos agora existentes, tais como f-curvatura média, f -Laplaciano, variedades ponderadas f-parabólicas, para as hipersuperfícies M₁ e M₂ do Rfⁿ⁺¹ . / We will generalize a Maximum Principle at Infinity in the parabolic case given in paper A Maximum Principles at Infinity for surfaces with Constant Mean Curvature in Euclidean Space by Ronald F. de Lima and Ronaldo F. de Lima and William Meeks in paper Maximum Principles at Infinity for surfaces of Bounded Mean Curvature in R³ and H³ where we will now have hypersurfaces M₁ and M₂ of Rⁿ⁺¹ disjoints, with boundary (possibly empty) ∂M₁ e ∂M₂ of the bounded mean curvature and with Ideal Contact et Infinity, but now without restrictions on the Gaussian Curvature of any hypersurface. As geometric application we will present some results that extend for embedded hypersurfaces M₁ and M₂ in Rⁿ⁺¹ with empty boundaries a generalization of Hopf’s Maximum Principle for disjoint hypersurfaces that get close asymptotically. Once obtained these results, we inserted a structure of a weighted Riemannian Manifold in Rⁿ⁺¹ and obtained some generalizations of the results previously achieved under some hypothesis of the objects now found, such as f-mean curvature, f-Laplacian, f–parabolic weighted manifold, in the hypersurfaces M₁ and M₂ from Rfⁿ⁺¹ .