Smooth manifolds have been always understood intuitively as spaces that are infinitesimally linear at each point, and thus infinitesimally affine when forgetting about the base point. The aim of this thesis is to develop a general theory of infinitesimal models of algebraic theories that provides us with a formalisation of these notions, and which is in accordance with the intuition when applied in the context of Synthetic Differential Geometry. This allows us to study well-known geometric structures and concepts from the viewpoint of infinitesimal geometric algebra. Infinitesimal models of algebraic theories generalise the notion of a model by allowing the operations of the theory to be interpreted as partial operations rather than total operations. The structures specifying the domains of definition are the infinitesimal structures. We study and compare two definitions of infinitesimal models: actions of a clone on infinitesimal structures and models of the infinitesimalisation of an algebraic theory in cartesian logic. The last construction can be extended to first-order theories, which allows us to define infinitesimally euclidean and projective spaces, in principle. As regards the category of infinitesimal models of an algebraic theory in a Grothendieck topos we prove that it is regular and locally presentable. Taking a Grothendieck topos as a base we study lifts of colimits along the forgetful functor with a focus on the properties of the category of infinitesimally affine spaces. We conclude with applications to Synthetic Differential Geometry. Firstly, with the help of syntactic categories we show that the formal dual of every smooth ring is an infinitesimally affine space with respect to an infinitesimal structure based on nil-square infinitesimals. This gives us a good supply of infinitesimally affine spaces in every well-adapted model of Synthetic Differential Geometry. In particular, it shows that every smooth manifold is infinitesimally affine and that every smooth map preserves this structure. In the second application we develop some basic theory of smooth loci and formal manifolds in naive Synthetic Differential Geometry using infinitesimal geometric algebra.

This document introduces a new class of adaptive filters, namely Geometric- Algebra Adaptive Filters (GAAFs). Those are generated by formulating the underlying minimization problem (a least-squares cost function) from the perspective of Geometric Algebra (GA), a comprehensive mathematical language well-suited for the description of geometric transformations. Also, differently from the usual linear algebra approach, Geometric Calculus (the extension of Geometric Algebra to differential calculus) allows to apply the same derivation techniques regardless of the type (subalgebra) of the data, i.e., real, complex-numbers, quaternions etc. Exploiting those characteristics, among others, a general leastsquares cost function is posed, from which two types of GAAFs are designed. The first one, called standard, provides a generalization of regular adaptive filters for any subalgebra of GA. From the obtained update rule, it is shown how to recover the following least-mean squares (LMS) adaptive filter variants: real-entries LMS, complex LMS, and quaternions LMS. Mean-square analysis and simulations in a system identification scenario are provided, showing almost perfect agreement for different levels of measurement noise. The second type, called pose estimation, is designed to estimate rigid transformations { rotation and translation - in n-dimensional spaces. The GA-LMS performance is assessed in a 3-dimensional registration problem, in which it is able to estimate the rigid transformation that aligns two point clouds that share common parts. / Este documento introduz uma nova classe de filtros adaptativos, entitulados Geometric-Algebra Adaptive Filters (GAAFs). Eles s~ao projetados via formulação do problema de minimização (uma função custo de mínimos quadrados) do ponto de vista de álgebra geométrica (GA), uma abrangente linguagem matemática apropriada para a descrição de transformações geométricas. Adicionalmente, diferente do que ocorre na formulação com álgebra linear, cálculo geométrico (a extensão de álgebra geométrica que possibilita o uso de cálculo diferencial) permite aplicar as mesmas técnicas de derivação independentemente do tipo de dados (subálgebra), isto é, números reais, números complexos, quaternions etc. Usando essas e outras características, uma função custo geral de mínimos quadrados é proposta, da qual dois tipos de GAAFs são gerados. O primeiro, chamado standard, generaliza filtros adaptativos da literatura concebidos sob a perspectiva de subálgebras de GA. As seguintes variantes do filtro least-mean squares (LMS) s~ao obtidas como casos particulares: LMS real, LMS complexo e LMS quaternions. Uma análise mean-square é desenvolvida e corroborada por simulações para diferentes níveis de ruído de medição em um cenário de identificação de sistemas. O segundo tipo, chamado pose estimation, é projetado para estimar transformações rígidas - rotação e translação { em espaços n-dimensionais. A performance do filtro GA-LMS é avaliada em uma aplicação de alinhamento tridimensional na qual ele estima a tranformação rígida que alinha duas nuvens de pontos com partes em comum.

Este trabalho apresenta uma solução geral para a detecção de alinhamentos de dados em conjuntos multidimensionais não ordenados e ruidosos. Nesta abordagem, o tipo requerido de alinhamento de dados pode ser uma forma geométrica (e.g., linha reta, plano, círculo, esfera, seção cônica, entre outras) ou qualquer estrutura, com dimensionalidade arbitrária, que possa ser caracterizada por um subespaço linear. A detecção é realizada por meio de um procedimento composto por três etapas. Na etapa de inicialização, um espaço de parâmetros com p (n − p) dimensões é definido de modo que cada ponto neste espaço represente uma instância do alinhamento requerido, descrito por um subespaço p-dimensional em um domínio n-dimensional. Em seguida, uma grade de acumuladores é criada como sendo a representação discreta do espaço de parâmetros. Na segunda etapa do procedimento, cada elemento no conjunto de dados de entrada (também um subespaço no domínio n-dimensional) é mapeado para o espaço de parâmetros como os pontos (no espaço de parâmetros) representando os subespaços requeridos que contém ou que estão contidos no elemento de entrada. À medida que os elementos de entrada são mapeados, as células do acumulador relacionadas com o mapeamento são incrementadas pelo valor de importância do elemento mapeado. A etapa final do procedimento recupera os subespaços p-dimensionais que melhor se ajustam aos dados de entrada como sendo os máximos locais na grade de acumuladores. A parametrização proposta é independente das propriedades geométricas dos alinhamentos a serem detectados. Além disso, o procedimento de mapeamento é independente do tipo de dado de entrada e é capaz de se adaptar a elementos com dimensionalidades arbitrárias. Essas características permitem a utilização da técnica (sem a necessidade de modificações) como uma ferramenta para a detecção de padrões em uma grande quantidade de aplicações. Por conta de sua natureza geral, otimizações desenvolvidas para a abordagem proposta beneficiam, de forma imediata, todos os casos de detecção. Neste trabalho eu demonstro uma implementação em software da técnica proposta e mostro que ela pode ser aplicada tanto em casos simples de detecção, quanto na detecção concorrente de tipos diferentes de alinhamentos, com diferentes interpretações geométricas e em conjuntos de dados compostos por vários tipos de elementos. Esta dissertação também apresenta uma extensão do esquema de detecção para dados de entrada com distribuição Gaussiana de incerteza. A extensão proposta produz distribuições de valores mais suaves na grade de acumuladores e faz com que a técnica fique mais robusta à detecção de subespaços espúrios. / This dissertation presents a generalized closed-form framework for detecting data alignments in large unordered noisy multidimensional datasets. In this approach, the intended type of data alignment may be a geometric shape (e.g., straight line, plane, circle, sphere, conic section, among others) or any other structure, with arbitrary dimensionality that can be characterized by a linear subspace. The detection is performed using a three-step process. In the initialization, a p (n − p)-dimensional parameter space is defined in such a way that each point in this space represents an instance of the intended alignment described by a p-dimensional subspace in some n-dimensional domain. In turn, an accumulator array is created as the discrete representation of the parameter space. In the second step each input entry (also a subspace in the n-dimensional domain) is mapped to the parameter space as the set of points representing the intended p-dimensional subspaces that contain or are contained by the entry. As the input entries are mapped, the bins of the accumulator related to such a mapping are incremented by the importance value of the entry. The subsequent and final step retrieves the p-dimensional subspaces that best fit input data as the local maxima in the accumulator array. The proposed parameterization is independent of the geometric properties of the alignments to be detected. Also, the mapping procedure is independent of the type of input data and automatically adapts to entries of arbitrary dimensionality. This allows application of the proposed approach (without changes) in a broad range of applications as a pattern detection tool. Given its general nature, optimizations developed for the proposed framework immediately benefit all the detection cases. I demonstrate a software implementation of the proposed technique and show that it can be applied in simple detection cases as well as in concurrent detection of multiple kinds of alignments with different geometric interpretations, in datasets containing multiple types of data. This dissertation also presents an extension of the general detection scheme to data with Gaussian-distributed uncertainty. The proposed extension produces smoother distributions of values in the accumulator array and makes the framework more robust to the detection of spurious subspaces.

Este trabalho apresenta uma solução geral para a detecção de alinhamentos de dados em conjuntos multidimensionais não ordenados e ruidosos. Nesta abordagem, o tipo requerido de alinhamento de dados pode ser uma forma geométrica (e.g., linha reta, plano, círculo, esfera, seção cônica, entre outras) ou qualquer estrutura, com dimensionalidade arbitrária, que possa ser caracterizada por um subespaço linear. A detecção é realizada por meio de um procedimento composto por três etapas. Na etapa de inicialização, um espaço de parâmetros com p (n − p) dimensões é definido de modo que cada ponto neste espaço represente uma instância do alinhamento requerido, descrito por um subespaço p-dimensional em um domínio n-dimensional. Em seguida, uma grade de acumuladores é criada como sendo a representação discreta do espaço de parâmetros. Na segunda etapa do procedimento, cada elemento no conjunto de dados de entrada (também um subespaço no domínio n-dimensional) é mapeado para o espaço de parâmetros como os pontos (no espaço de parâmetros) representando os subespaços requeridos que contém ou que estão contidos no elemento de entrada. À medida que os elementos de entrada são mapeados, as células do acumulador relacionadas com o mapeamento são incrementadas pelo valor de importância do elemento mapeado. A etapa final do procedimento recupera os subespaços p-dimensionais que melhor se ajustam aos dados de entrada como sendo os máximos locais na grade de acumuladores. A parametrização proposta é independente das propriedades geométricas dos alinhamentos a serem detectados. Além disso, o procedimento de mapeamento é independente do tipo de dado de entrada e é capaz de se adaptar a elementos com dimensionalidades arbitrárias. Essas características permitem a utilização da técnica (sem a necessidade de modificações) como uma ferramenta para a detecção de padrões em uma grande quantidade de aplicações. Por conta de sua natureza geral, otimizações desenvolvidas para a abordagem proposta beneficiam, de forma imediata, todos os casos de detecção. Neste trabalho eu demonstro uma implementação em software da técnica proposta e mostro que ela pode ser aplicada tanto em casos simples de detecção, quanto na detecção concorrente de tipos diferentes de alinhamentos, com diferentes interpretações geométricas e em conjuntos de dados compostos por vários tipos de elementos. Esta dissertação também apresenta uma extensão do esquema de detecção para dados de entrada com distribuição Gaussiana de incerteza. A extensão proposta produz distribuições de valores mais suaves na grade de acumuladores e faz com que a técnica fique mais robusta à detecção de subespaços espúrios. / This dissertation presents a generalized closed-form framework for detecting data alignments in large unordered noisy multidimensional datasets. In this approach, the intended type of data alignment may be a geometric shape (e.g., straight line, plane, circle, sphere, conic section, among others) or any other structure, with arbitrary dimensionality that can be characterized by a linear subspace. The detection is performed using a three-step process. In the initialization, a p (n − p)-dimensional parameter space is defined in such a way that each point in this space represents an instance of the intended alignment described by a p-dimensional subspace in some n-dimensional domain. In turn, an accumulator array is created as the discrete representation of the parameter space. In the second step each input entry (also a subspace in the n-dimensional domain) is mapped to the parameter space as the set of points representing the intended p-dimensional subspaces that contain or are contained by the entry. As the input entries are mapped, the bins of the accumulator related to such a mapping are incremented by the importance value of the entry. The subsequent and final step retrieves the p-dimensional subspaces that best fit input data as the local maxima in the accumulator array. The proposed parameterization is independent of the geometric properties of the alignments to be detected. Also, the mapping procedure is independent of the type of input data and automatically adapts to entries of arbitrary dimensionality. This allows application of the proposed approach (without changes) in a broad range of applications as a pattern detection tool. Given its general nature, optimizations developed for the proposed framework immediately benefit all the detection cases. I demonstrate a software implementation of the proposed technique and show that it can be applied in simple detection cases as well as in concurrent detection of multiple kinds of alignments with different geometric interpretations, in datasets containing multiple types of data. This dissertation also presents an extension of the general detection scheme to data with Gaussian-distributed uncertainty. The proposed extension produces smoother distributions of values in the accumulator array and makes the framework more robust to the detection of spurious subspaces.

Este trabalho apresenta uma solução geral para a detecção de alinhamentos de dados em conjuntos multidimensionais não ordenados e ruidosos. Nesta abordagem, o tipo requerido de alinhamento de dados pode ser uma forma geométrica (e.g., linha reta, plano, círculo, esfera, seção cônica, entre outras) ou qualquer estrutura, com dimensionalidade arbitrária, que possa ser caracterizada por um subespaço linear. A detecção é realizada por meio de um procedimento composto por três etapas. Na etapa de inicialização, um espaço de parâmetros com p (n − p) dimensões é definido de modo que cada ponto neste espaço represente uma instância do alinhamento requerido, descrito por um subespaço p-dimensional em um domínio n-dimensional. Em seguida, uma grade de acumuladores é criada como sendo a representação discreta do espaço de parâmetros. Na segunda etapa do procedimento, cada elemento no conjunto de dados de entrada (também um subespaço no domínio n-dimensional) é mapeado para o espaço de parâmetros como os pontos (no espaço de parâmetros) representando os subespaços requeridos que contém ou que estão contidos no elemento de entrada. À medida que os elementos de entrada são mapeados, as células do acumulador relacionadas com o mapeamento são incrementadas pelo valor de importância do elemento mapeado. A etapa final do procedimento recupera os subespaços p-dimensionais que melhor se ajustam aos dados de entrada como sendo os máximos locais na grade de acumuladores. A parametrização proposta é independente das propriedades geométricas dos alinhamentos a serem detectados. Além disso, o procedimento de mapeamento é independente do tipo de dado de entrada e é capaz de se adaptar a elementos com dimensionalidades arbitrárias. Essas características permitem a utilização da técnica (sem a necessidade de modificações) como uma ferramenta para a detecção de padrões em uma grande quantidade de aplicações. Por conta de sua natureza geral, otimizações desenvolvidas para a abordagem proposta beneficiam, de forma imediata, todos os casos de detecção. Neste trabalho eu demonstro uma implementação em software da técnica proposta e mostro que ela pode ser aplicada tanto em casos simples de detecção, quanto na detecção concorrente de tipos diferentes de alinhamentos, com diferentes interpretações geométricas e em conjuntos de dados compostos por vários tipos de elementos. Esta dissertação também apresenta uma extensão do esquema de detecção para dados de entrada com distribuição Gaussiana de incerteza. A extensão proposta produz distribuições de valores mais suaves na grade de acumuladores e faz com que a técnica fique mais robusta à detecção de subespaços espúrios. / This dissertation presents a generalized closed-form framework for detecting data alignments in large unordered noisy multidimensional datasets. In this approach, the intended type of data alignment may be a geometric shape (e.g., straight line, plane, circle, sphere, conic section, among others) or any other structure, with arbitrary dimensionality that can be characterized by a linear subspace. The detection is performed using a three-step process. In the initialization, a p (n − p)-dimensional parameter space is defined in such a way that each point in this space represents an instance of the intended alignment described by a p-dimensional subspace in some n-dimensional domain. In turn, an accumulator array is created as the discrete representation of the parameter space. In the second step each input entry (also a subspace in the n-dimensional domain) is mapped to the parameter space as the set of points representing the intended p-dimensional subspaces that contain or are contained by the entry. As the input entries are mapped, the bins of the accumulator related to such a mapping are incremented by the importance value of the entry. The subsequent and final step retrieves the p-dimensional subspaces that best fit input data as the local maxima in the accumulator array. The proposed parameterization is independent of the geometric properties of the alignments to be detected. Also, the mapping procedure is independent of the type of input data and automatically adapts to entries of arbitrary dimensionality. This allows application of the proposed approach (without changes) in a broad range of applications as a pattern detection tool. Given its general nature, optimizations developed for the proposed framework immediately benefit all the detection cases. I demonstrate a software implementation of the proposed technique and show that it can be applied in simple detection cases as well as in concurrent detection of multiple kinds of alignments with different geometric interpretations, in datasets containing multiple types of data. This dissertation also presents an extension of the general detection scheme to data with Gaussian-distributed uncertainty. The proposed extension produces smoother distributions of values in the accumulator array and makes the framework more robust to the detection of spurious subspaces.

This thesis focuses on the problem of determining appropriate skeletal configurations for which a virtual animated character moves to desired positions as smoothly, rapidly, and as accurately as possible. During the last decades, several methods and techniques, sophisticated or heuristic, have been presented to produce smooth and natural solutions to the Inverse Kinematics (IK) problem. However, many of the currently available methods suffer from high computational cost and production of unrealistic poses. In this study, a novel heuristic method, called Forward And Backward Reaching Inverse Kinematics (FABRIK), is proposed, which returnsvisually natural poses in real-time, equally comparable with highly sophisticated approaches. It is capable of supporting constraints for most of the known joint types and it can be extended to solve problems with multiple end effectors, multiple targets and closed loops. FABRIK wascompared against the most popular IK approaches and evaluated in terms of its robustness and performance limitations. This thesis also includes a robust methodology for marker prediction under multiple marker occlusion for extended time periods, in order to drive real-time centre of rotation (CoR) estimations. Inferred information from neighbouring markers has been utilised, assuming that the inter-marker distances remain constant over time. This is the firsttime where the useful information about the missing markers positions which are partially visible to a single camera is deployed. Experiments demonstrate that the proposed methodology can effectively track the occluded markers with high accuracy, even if the occlusion persists for extended periods of time, recovering in real-time good estimates of the true joint positions. In addition, the predicted positions of the joints were further improved by employing FABRIK to relocate their positions and ensure a fixed bone length over time. Our methodology is tested against some of the most popular methods for marker prediction and the results confirm that our approach outperforms these methods in estimating both marker and CoR positions. Finally, an efficient model for real-time hand tracking and reconstruction that requires a minimumnumber of available markers, one on each finger, is presented. The proposed hand modelis highly constrained with joint rotational and orientational constraints, restricting the fingers and palm movements to an appropriate feasible set. FABRIK is then incorporated to estimate the remaining joint positions and to fit them to the hand model. Physiological constraints, such as inertia, abduction, flexion etc, are also incorporated to correct the final hand posture. A mesh deformation algorithm is then applied to visualise the movements of the underlying hand skeleton for comparison with the true hand poses. The mathematical framework used for describing and implementing the techniques discussed within this thesis is Conformal GeometricAlgebra (CGA).

Conformal geometric algebra is defined in the thesis. Representations of geometric objects and possibilities of their geometric transformations are presented. Conformal geometric algebra is applied to the calculation of forward kinematics of a robotic manipulator UR10 from Universal Robots. It is also applied to determine the position of the machine based on the location and rotation of two cameras. Then it is used in an inverse task, where based on records from the two cameras, dimensions of the UR10 manipulator and possibilities of its movement, the mutual position of these cameras is determined. And consequently the possibilities of their location in space. Finally, the derived procedures are implemented in a custom program created in the CluCalc environment, using which a sample example verifying the correctness of these procedures is calculated.

Syftet med det här arbetet är att lösa kubiska ekvationer utifrån både algebraiska och geometriska perspektiv. Läsaren kommer att möta olika metoder att finna rötter av kubiska ekvationer med fokus på Cardanos metod. Kapitel 3 introducerar Khayyams metod för att hitta en positiv reell rot med hjälp av geometrisk algebra. Kapitel 4 presenterar Cardanos metod för att hitta en positiv reell rot med geometrisk och algebraisk metod. Kapitel 5 visar bisektionsmetoden och Newton-Raphsons metod för att hitta en reell rot med numeriska beräkningar. För att underlätta metoder (för moderna ögon) använde jag mig av spel, tabeller och moderna matematikprogram. Förståelsen av dessa metoder med faktorsatsen visas i kapitel 6 hur vi kan hitta alla reella rötter när vi har en rot. Dessutom innehåller kapitlet Cardanos formel för tre rötter av den allmänna kubiska ekvationen. Kapitel 7 presenterar Eulers metod för att lösa den allmänna bikvadratiska ekvationen med hjälp av Cardanos metod. Dessutom beskrivs Descartes metod för att lösa bikvadratiska ekvationer med användningen av geometriskalgebra. Läsaren får även en inblick i kvintiska ekvationer.

This thesis focuses on robotic 3D vision for application in Bin Picking. The new method based on Conformal Geometric Algebra (CGA) is proposed and tested for identification of spheres in Pointclouds created with 3D scanner. The speed, precision and scalability of this method is compared to traditional descriptors based method. It is proved that CGA maintains the same precision as the traditional method in much shorter time. The CGA based approach seems promising for the use in the future of robotic 3D vision for identification and localization of spheres.