The problem of classifying the Anosov systems is of great interest in the theory of dynamical systems. The most important known examples are of algebraic nature and it has been conjectured on 1960s by S. Smale (SMALE, 1967) that these are in fact the only examples. This conjecture has been proved false for Anosov flows, where counter examples had been constructed for odd dimensional manifolds ((HANDEL; THURSTON, 1980) and (BARTHELMé et al., )). This non algebraic examples however are very pathological, and with some stronger hypothesis, for example, smoothness of the invariant bundles, the conjecture remains open. In 1992, it was published a paper (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) which proved that contact Anosov flows with smooth invariant bundles are in fact algebraic. In this monograph we seek to generalize the result obtained in (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992). For this end, we create an adequate definition for contact Anosov Rk-actions, and following the proof strategy used in (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) we obtained a partial generalization of this result. / O problema da classificação dos sistemas Anosov são de grande interesse dentro da teoria dos sistemas dinâmicos. Os principais exemplos conhecidos são de natureza algébrica e foi levantada na década de 1960 a conjectura de que estes são os únicos exemplos (SMALE, 1967). Esta conjectura se mostrou falsa para fluxos Anosov (ações de R), onde foram construídos contraexemplos em variedades de dimensões impares ((HANDEL; THURSTON, 1980) e (BARTHELMé et al., )). Estes contra exemplos no entanto são de natureza patológica, e sob hipóteses um pouco mais fortes, por exemplo, suavidade dos fibrados invariantes, a conjectura permanece em aberto. Em 1992, foi publicado um artigo (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) provando que fluxos de contato Anosov com fibrados invariantes suaves são de fato algébricos . Neste trabalho procuramos generalizar o resultado obtido em (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992). Para isso criamos uma definição adequada para ações de Rk contato Anosov, que generalizam a noção de fluxo de contato Anosov, e seguindo a estratégia de prova utilizada em (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992), obtivemos uma generalização parcial deste resultado.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:24:10Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2008-02-29Bitstream added on 2014-06-13T19:51:27Z : No. of bitstreams: 1 schwartz_ard_me_bauru.pdf: 3563138 bytes, checksum: 53c14776d7d542edce7a8a81534ecea0 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / A presente pesquisa tem como objetivo evidenciar a superfície dos produtos como elemento projetual autônomo, além de fornecer novos olhares que facilitem a identificação dos potenciais da mesma, com a intenção de fornecer subsídios que caracterizem a especialidade Design de Superfície. Por meio de uma visão ampla do assunto, tenta estabelecer abordagens de análise, explicitando as inter-relações existentes entre elas, e definindo conceitos, critérios e características que identifiquem a Superfície como elemento a ser elaborado pelo designer. Mostra a necessidade de se pensar geometricamente a superfície através de representações no plano e no espaço como característica inerente de sua essência. Evidencia como a superfície, enquanto projeto da aparência percebida pelos sentidos da visão e do tato, e interpretada pelo sujeito num determinado contexto, pode ser representada graficamente por padrões através de estruturas geométricas modulares organizadas para estabelecer relações com o volume que ela define. Busca ressaltar os conhecimentos necessários para o desempenho dessa prática e verifica o estado atual da arte do projeto de Design de Superfície no NDS/UFRGS, suas aplicações, restrições e possibilidades não consideradas. De cunho exploratório, estabelece a análise descritiva das Superfícies elaboradas pelos alunos durante o acompanhamento das aulas e de estudo de caso de produto desenvolvido em serigrafia. É constatada a importância do desenho geométrico e do projeto tridimensional de produto como parte complementar do projeto bidimensional gráfico, a existência de possibilidades projetuais não exploradas e a necessidade de se redefinir o conceito Design de Superfície. / The present research aims at showing Surface of products as an autonomous project element, and it provides new standpoints to help identify its potential in order to provide subsidies that characterize Surface Design. Taking a broad view on the matter, it attempts to establish analysis approaches, showing the existing interrelations between them and defining concepts, criteria and characteristics that identify Surface as an element to be devised by designers. It demonstrates the need for thinking Surface geometrically through representations on plan and on space as an inherent characteristic of its essence. It shows how Surface, as a project of the appearance perceived by the senses of sight and touch and interpreted by subjects in a given context, may be graphically represented by patterns through modular geometrical structures organized to establish relations with the volume it defines. It seeks to highlight the necessary knowledge for the performance of this practice and verifies the state of the art of project in Surface Design at NDS/UFRGS, its applications, limitations, and possibilities yet to be considered. Of an exploratory type, it establishes the descriptive analysis of Surfaces devised by students during the follow-up of classes and case studies of product development for printing process. The importance of Geometric Design and of the three-dimensional project of the product as a complementary part of the bi-dimensional graphic project, the existence of non-explored project possibilities, and the need to redefine the concept of Surface Design are verified herein.

Resumo: A presente pesquisa tem como objetivo evidenciar a superfície dos produtos como elemento projetual autônomo, além de fornecer novos olhares que facilitem a identificação dos potenciais da mesma, com a intenção de fornecer subsídios que caracterizem a especialidade Design de Superfície. Por meio de uma visão ampla do assunto, tenta estabelecer abordagens de análise, explicitando as inter-relações existentes entre elas, e definindo conceitos, critérios e características que identifiquem a Superfície como elemento a ser elaborado pelo designer. Mostra a necessidade de se pensar geometricamente a superfície através de representações no plano e no espaço como característica inerente de sua essência. Evidencia como a superfície, enquanto projeto da aparência percebida pelos sentidos da visão e do tato, e interpretada pelo sujeito num determinado contexto, pode ser representada graficamente por padrões através de estruturas geométricas modulares organizadas para estabelecer relações com o volume que ela define. Busca ressaltar os conhecimentos necessários para o desempenho dessa prática e verifica o estado atual da arte do projeto de Design de Superfície no NDS/UFRGS, suas aplicações, restrições e possibilidades não consideradas. De cunho exploratório, estabelece a análise descritiva das Superfícies elaboradas pelos alunos durante o acompanhamento das aulas e de estudo de caso de produto desenvolvido em serigrafia. É constatada a importância do desenho geométrico e do projeto tridimensional de produto como parte complementar do projeto bidimensional gráfico, a existência de possibilidades projetuais não exploradas e a necessidade de se redefinir o conceito Design de Superfície. / Abstract: The present research aims at showing Surface of products as an autonomous project element, and it provides new standpoints to help identify its potential in order to provide subsidies that characterize Surface Design. Taking a broad view on the matter, it attempts to establish analysis approaches, showing the existing interrelations between them and defining concepts, criteria and characteristics that identify Surface as an element to be devised by designers. It demonstrates the need for thinking Surface geometrically through representations on plan and on space as an inherent characteristic of its essence. It shows how Surface, as a project of the appearance perceived by the senses of sight and touch and interpreted by subjects in a given context, may be graphically represented by patterns through modular geometrical structures organized to establish relations with the volume it defines. It seeks to highlight the necessary knowledge for the performance of this practice and verifies the state of the art of project in Surface Design at NDS/UFRGS, its applications, limitations, and possibilities yet to be considered. Of an exploratory type, it establishes the descriptive analysis of Surfaces devised by students during the follow-up of classes and case studies of product development for printing process. The importance of Geometric Design and of the three-dimensional project of the product as a complementary part of the bi-dimensional graphic project, the existence of non-explored project possibilities, and the need to redefine the concept of Surface Design are verified herein. / Orientador: Aniceh Farah Neves / Coorientador: Evelise Anicet Rüthschilling / Banca: Marizilda dos Santos Menezes / Banca: Wilson Kindlein Júnior / Mestre

The problem of classifying the Anosov systems is of great interest in the theory of dynamical systems. The most important known examples are of algebraic nature and it has been conjectured on 1960s by S. Smale (SMALE, 1967) that these are in fact the only examples. This conjecture has been proved false for Anosov flows, where counter examples had been constructed for odd dimensional manifolds ((HANDEL; THURSTON, 1980) and (BARTHELMé et al., )). This non algebraic examples however are very pathological, and with some stronger hypothesis, for example, smoothness of the invariant bundles, the conjecture remains open. In 1992, it was published a paper (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) which proved that contact Anosov flows with smooth invariant bundles are in fact algebraic. In this monograph we seek to generalize the result obtained in (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992). For this end, we create an adequate definition for contact Anosov Rk-actions, and following the proof strategy used in (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) we obtained a partial generalization of this result. / O problema da classificação dos sistemas Anosov são de grande interesse dentro da teoria dos sistemas dinâmicos. Os principais exemplos conhecidos são de natureza algébrica e foi levantada na década de 1960 a conjectura de que estes são os únicos exemplos (SMALE, 1967). Esta conjectura se mostrou falsa para fluxos Anosov (ações de R), onde foram construídos contraexemplos em variedades de dimensões impares ((HANDEL; THURSTON, 1980) e (BARTHELMé et al., )). Estes contra exemplos no entanto são de natureza patológica, e sob hipóteses um pouco mais fortes, por exemplo, suavidade dos fibrados invariantes, a conjectura permanece em aberto. Em 1992, foi publicado um artigo (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) provando que fluxos de contato Anosov com fibrados invariantes suaves são de fato algébricos . Neste trabalho procuramos generalizar o resultado obtido em (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992). Para isso criamos uma definição adequada para ações de Rk contato Anosov, que generalizam a noção de fluxo de contato Anosov, e seguindo a estratégia de prova utilizada em (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992), obtivemos uma generalização parcial deste resultado.

Generalizando para o caso do bidisco hiperbólico as construções em (ANANIN; GROSSI; GUSEVISKII, 2011) e em (GROSSI, 2015), provamos que o fibrado trivial (tangente) sobre superfícies de gênero ≥ 1 (≥ 2) admite geometria modelada no bidisco hiperbólico. (O caso do fibrado trivial sobre o toro é particularmente curioso, pois a curvatura é nula na base e em cada fibra, mas não no fibrado.) Além do seu próprio valor intrínseco, estes exemplos se inserem no contexto da conjectura de Gromov, Lawson e Thurston. Originalmente, a conjectura de Gromov, Lawson e Thurston diz que um fibrado de discos sobre uma superfície conexa fechada orientável de gênero ≥ 2 admite métrica hiperbólica completa de curvatura constante se e só se ΙeΙ ≤ Ι XΙ, onde e é o número de Euler do fibrado e X é a caraterística de Euler da base. Posteriomente, observou-se que esta desigualdade também era válida em todos os fibrados de discos sobre superfícies com estrutura hiperbólica complexa (i.e., uniformizados pela 2-bola holomorfa) conhecidos. Por esta razão, passou-se a acreditar que a conjectura depende apenas de curvatura negativa lato sensu (digamos, à la Alexandrov) e não das especificidades de uma geometria hiperbólica particular. O bidisco hiperbólico é o caso mais simples que nos permite testar tal hipótese, pois está no limite de ser hiperbólico (a curvatura é ≤ 0). Construímos os dois casos extremais: = 0 (fibrado trivial) e ΙeΙ = ΙXΙ (fibrado tangente). Além disso, provamos alguns resultados relacionados à teoria de Teichmüller no contexto de fibrados de discos uniformizados pelo bidisco hiperbólico. / Generalizing the constructions in (ANANIN; GROSSI; GUSEVISKII, 2011) and in (GROSSI, 2015) to the hyperbolic bidisc, we show that the trivial (tangent) bundle over genus ≥ 1 (≥ 2) surfaces admits a geometric structure modelled on the hyperbolic bidisc. (The case of the trivial bundle over the torus is particularly interesting because the curvature vanishes on the base and on every fiber, but is non-null on the bundle.) Aside from their intrinsic value, these examples also play a role in the context of the Gromov, Lawson and Thurston conjecture (GLT conjecture). Originally, the GLT conjecture states that a disc bundle over a connected oriented closed surface of genus ≥ 2 admits a complete hyperbolic metric of constant curvature if and only if ΙeΙ ≤ ΙXΙ, where stands for the Euler number of the bundle and , for the Euler characteristic of the base. Afterwards, it was observed that this inequality also holds for every known example of disc bundles over surfaces equipped with complex hyperbolic structure (i.e., uniformized by the holomoprhic 2-ball). So, one started to believe that the conjecture depends only on negative curvature lato sensu (say, à la Alexandrov) and not on the particularities of an specific hyperbolic geometry. The hyperbolic bidisc is the simplest case allowing us to test such hypothesis since it lies on the frontier of being hyperbolic (curvature is ≥ 0). We construct the two extremal cases: e = 0 (trivial bundle) and ΙeΙ = ΙXΙ (tangent bundle). We also prove a few results related to Teichmüllers theory in the context of disc bundles uniformized by the hyperbolic bidisc.

Generalizando para o caso do bidisco hiperbólico as construções em (ANANIN; GROSSI; GUSEVISKII, 2011) e em (GROSSI, 2015), provamos que o fibrado trivial (tangente) sobre superfícies de gênero ≥ 1 (≥ 2) admite geometria modelada no bidisco hiperbólico. (O caso do fibrado trivial sobre o toro é particularmente curioso, pois a curvatura é nula na base e em cada fibra, mas não no fibrado.) Além do seu próprio valor intrínseco, estes exemplos se inserem no contexto da conjectura de Gromov, Lawson e Thurston. Originalmente, a conjectura de Gromov, Lawson e Thurston diz que um fibrado de discos sobre uma superfície conexa fechada orientável de gênero ≥ 2 admite métrica hiperbólica completa de curvatura constante se e só se ΙeΙ ≤ Ι XΙ, onde e é o número de Euler do fibrado e X é a caraterística de Euler da base. Posteriomente, observou-se que esta desigualdade também era válida em todos os fibrados de discos sobre superfícies com estrutura hiperbólica complexa (i.e., uniformizados pela 2-bola holomorfa) conhecidos. Por esta razão, passou-se a acreditar que a conjectura depende apenas de curvatura negativa lato sensu (digamos, à la Alexandrov) e não das especificidades de uma geometria hiperbólica particular. O bidisco hiperbólico é o caso mais simples que nos permite testar tal hipótese, pois está no limite de ser hiperbólico (a curvatura é ≤ 0). Construímos os dois casos extremais: = 0 (fibrado trivial) e ΙeΙ = ΙXΙ (fibrado tangente). Além disso, provamos alguns resultados relacionados à teoria de Teichmüller no contexto de fibrados de discos uniformizados pelo bidisco hiperbólico. / Generalizing the constructions in (ANANIN; GROSSI; GUSEVISKII, 2011) and in (GROSSI, 2015) to the hyperbolic bidisc, we show that the trivial (tangent) bundle over genus ≥ 1 (≥ 2) surfaces admits a geometric structure modelled on the hyperbolic bidisc. (The case of the trivial bundle over the torus is particularly interesting because the curvature vanishes on the base and on every fiber, but is non-null on the bundle.) Aside from their intrinsic value, these examples also play a role in the context of the Gromov, Lawson and Thurston conjecture (GLT conjecture). Originally, the GLT conjecture states that a disc bundle over a connected oriented closed surface of genus ≥ 2 admits a complete hyperbolic metric of constant curvature if and only if ΙeΙ ≤ ΙXΙ, where stands for the Euler number of the bundle and , for the Euler characteristic of the base. Afterwards, it was observed that this inequality also holds for every known example of disc bundles over surfaces equipped with complex hyperbolic structure (i.e., uniformized by the holomoprhic 2-ball). So, one started to believe that the conjecture depends only on negative curvature lato sensu (say, à la Alexandrov) and not on the particularities of an specific hyperbolic geometry. The hyperbolic bidisc is the simplest case allowing us to test such hypothesis since it lies on the frontier of being hyperbolic (curvature is ≥ 0). We construct the two extremal cases: e = 0 (trivial bundle) and ΙeΙ = ΙXΙ (tangent bundle). We also prove a few results related to Teichmüllers theory in the context of disc bundles uniformized by the hyperbolic bidisc.

A pair (V, G) is called geometric structure, where V is a vector space and G is a subgroup GL(V), which is a set of transmission matrices. In this thesis we classify structures, which are based on properties of quaternions. Geometric structures based on quaternions are called triple structures. Triple structures are four structures with similar properties as quaternions. Quaternions are generated from real numbers and three complex units. We write quaternions in this shape a+bi+cj+dk.