Orientador: Vanderlei Marcos do Nascimento / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Karina Schiabel Silva / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior / Resumo: Neste trabalho exploramos as definições mais usuais de cônicas, em duas direções. Uma delas trata da equivalência entre tais definições; a outra trata de estabelecer propriedades das figuras então definidas, em uma sequência natural que valoriza o pensamento geométrico / Abstract: In this work we explore the most usual definitions of the conics, in two directions. One of them deals with the equivalence of the definitions themselves; the other one looks for properties of the figures just defined, stated in a natural sequence that enrichs the geometric thought / Mestre

Orientador: Thiago de Melo / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Simone Daniela Sartorio / Resumo: Em cursos regulares de Ensino Médio as Cônicas são estudadas a partir de uma de nição que leva à uma equação e nalmente chega-se à gura da curva. Com esse trabalho pretendemos apresentá-las de outra forma. Começamos com a construção da curva com compasso e régua não graduada a partir de uma de suas propriedades, em seguida a de nimos formalmente e nalmente encontramos sua equação e características algébricas. De niremos alguns conceitos prévios para o estudo das cônicas. Em seguida estudaremos cada uma das cônicas elipse, hipérbole e parábola respectivamente, a partir de sua construção. Finalmente apresentaremos uma proposta de aulas que esperamos possam ser utilizadas por professores de Ensino Médio / Abstract: On high school courses the study of Conics starts with the de nition which leads to an equation and nally the picture of the conic is presented. In this work we shall introduce the Conics in a di erent approach. We will start with the construction using only ruler and compass based on some of its properties and then we will de ne Conics. Finally we will obtain its equation and its algebraic characteristics. We will start with some basic concepts which will guide us to the study of Conics: ellipse, hyperbole and parabola. Finally we will present a proposal of classes that we hope can be used by high school teachers / Mestre

This thesis consists of two main chapters along with an introduction andconclusion. In the introduction, we address the inspiration for the thesis, whichoriginates in a common calculus problem wherein travel time is minimized across two media separated by a single, straight boundary line. We then discuss the correlation of this problem with physics via Snells Law. The first core chapter takes this idea and develops it to include the concept of two media with a circular border. To make the problem easier to discuss, we talk about it in terms of running and swimming speeds. We first address the case where the starting and ending points for the passage are both on the boundary. We find the possible optimal paths, and also determine the conditions under which we travel along each path. Next we move the starting point to a location outside the boundary. While we are not able to determine the exact optimal path, we do arrive at some conclusions about what does not constitute the optimal path. In the second chapter, we alter this problem to address a rectangular enclosed boundary, which we refer to as a swimming pool. The variations in this scenario prove complex enough that we focus on the case where both starting and ending points are on the boundary. We start by considering starting and ending points on adjacent sides of the rectangle. We identify three possibilities for the fastest path, and are able to identify the conditions that will make each path optimal. We then address the case where the points are on opposite sides of the pool. We identify the possible paths for a minimum time and once again ascertain the conditions that make each path optimal. We conclude by briefly designating some other scenarios that we began to investigate, but were not able to explore in depth. They promise insightful results, and we hope to be able to address them in the future.

Orientador: José Marcos Lopes / Coorientador: Inocêncio Fernades Balieiro Filho / Banca: Tatiana Bertoldi Carlos / Resumo: Este trabalho apresenta uma proposta de ensino aprendizagem para problemas de Programação Linear e sua solução geométrica, para o caso de duas variáveis, através de uma sequência didática com resolução de problemas, especificamente para a terceira série do Ensino Médio. Trata-se de uma sequência didática em que os problemas apresentam uma ordem crescente de dificuldade. Apresentamos uma breve revisão do conteúdo de Geometria Analítica, desigualdades lineares e por meio de uma linguagem simples, como modelar e resolver problemas de Programação Linear que estão presentes em nosso cotidiano. Como já aparece no Caderno do Aluno, fornecido pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, propomos a utilização da sequência didática, em sala de aula, através do uso da metodologia de resolução de problemas, em que o aluno deve chegar ao conceito matemático por meio de suas descobertas. Aplicamos em sala de aula um pré-teste para avaliar o conteúdo de nossa proposta com o objetivo de verificar a necessidade de refazer ou acrescentar alguns problemas e constatamos que uma das principais dificuldades dos alunos está na parte da modelagem matemática do Problema de Programação Linear. Essa dificuldade está nitidamente relacionada com a dificuldade na interpretação de texto, fato que claramente ocorre com os alunos que têm pouco hábito de leitura. Pretendemos com este trabalho dar nossa contribuição para um melhor aprendizado em problemas de Programação Linear / Abstract: This work presents a proposal for learning education for linear programming problems and its geometric solution for the case of two variables, through a teaching sequence with problem solving, specifically for the third year of high school. It refers to a didactic sequence in which the problems will adding the degree of difficulty. We present a brief review of Analytic Geometry, linear inequalities and through simple language, how to model and solve linear programming problems that are present in our daily lives. As already appears in the Student Notebook, provided by the Department of Education of the State of São Paulo, we propose the use of didactic sequence in the classroom through the use of problem-solving methodology, where the student must reach the mathematical concept through of their own discoveries. We apply in the classroom a pretest to assess the content of our proposal in order to verify the need to redo or add some problems and we found that one of the main difficulties of the students are in the mathematical modeling of Linear Programming Problem. This difficulty is clearly related to the difficulty in interpreting text, a fact that clearly occurs by little learning through reading habit. We intend with this work to give our contribution to a better learning in linear programming problems / Mestre

CAPES / Este trabalho foi desenvolvido com o propósito de servir de material de apoio para professores e alunos de matemática. Apresenta a exploração de algumas curvas como lugar geométrico dos pontos que satisfazem uma determinada propriedade. Apresenta como sugestão de trabalho uma família de curvas chamadas de curvas de Cassini, que são determinadas por uma propriedade similar `a propriedade que define as cônicas. Propõe atividades envolvendo as cônicas e as curvas de Cassini, para que essas atividades possam ser utilizadas em sala de aula e para que possam servir de base para elaboração de outras. / This work was developed with the purpose of serving as a support material for teachers and students of mathematics. Presents the exploration of some curves as locus of points that satisfy a given property. Presents as suggestion of work a family of curves called Cassini curves, which are determined by a property similar to the property that defines the conics. Proposes activities involving the conics and curves of Cassini so that these activities can be used in the classroom and what can be the basis for development of other.