Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verallg. Nash-Gleichgewichtsproblemen im Zusammenhang mit Optimalsteuerungsproblemen mit (nichtlinearen) partiellen Differentialgleichungen. Ausgehend von der Existenzfrage von Nash-Gleichgewichten werden Bedingungen an Optimalsteuerungsprobleme mit nichtlinearen Lösungsoperatoren hergeleitet, welche die Konvexität des reduzierten Problems garantieren. Dazu nutzen wir die verallg. Konvexität von vektorwertigen Operatoren. Da keine expl. Darstellung des Lösungsoperators bekannt ist, werden hinreichende Bedingungen an die Operatorgleichung formuliert. Zusammen mit Anforderungen an das Zielfunktional wird so die Konvexität des reduzierten Problems garantiert. Das erlaubt auch Stationaritätssysteme im nichtglatten Fall herzuleiten. Eine zusätzliche Bedingung an die Lösung der Operatorgleichung koppelt die Strategien der Spieler. Das markiert den Übergang zu verallgemeinerten Nash-Spielen. Um diese Probleme anzugehen, wenden wir eine Penalty-Technik an. Damit wird die beschriebene Abhängigkeit vermieden und zum Zielfunktional transportiert. Damit wird eine Folge von Ersatzproblemen formuliert, deren Grenze das ursprüngliche Problem ist. Für die mathematische Beschreibung entwickeln wir eine erweiterte Γ-Konvergenz für Gleichgewichtsprobleme. Das Verhalten der Lagrange-Multiplikatoren im Stationaritätssystem wird unter Verwendung einer Pfadverfolgungstechnik analysiert und eine numerisch nutzbare Updatestrategie wird hergeleitet. Für ein praktisch anwendbares Lösungsverfahren ist eine Diskretisierung notwendig. Dazu verwenden wir eine Finite-Elemente-Methode. Die Herleitung der A-priori-Konvergenz basierend auf der zuvor verallgemeinerten Γ-Konvergenz wird für Gleichgewichtsprobleme mit gleichzeitiger Regularisierung etabliert. Im Blick auf durch Hindernisbedingungen erzeugte Kontaktmengen wenden wir uns auch adaptiven Finite-Elemente-Methoden zu. Unsere theoretischen Ergebnisse werden durch mehrere akademische Anwendungen illustriert. / The present work deals with generalized Nash equilibrium problems related to optimal control problems on (nonlinear) partial differential equations. Starting from the question of the existence of Nash equilibria, conditions for optimal control problems with nonlinear solution operators are derived that guarantee the convexity of the reduced problem. To do so, we discuss generalized convexity of vector-valued operators. As no explicit representation of the solution operator is known, conditions on the operator equation that imply this property are formulated. In combination with requirements for the objective functional, the convexity of the reduced problem can be guaranteed. This approach also allows us to derive stationarity systems even in the nonsmooth case. The presence of a condition on the solution of the operator equation couples the players' strategies. This marks the transition to generalized Nash games. To address these problems, we apply a penalty technique. Hence, the described dependency is avoided and transported to the objective. As the penalty functional is scaled with a parameter, a sequence of surrogate problems, whose limit is the original problem, is formulated. For its mathematical description, we introduce an extended Γ-convergence for equilibrium problems. The behavior of the Lagrangian multipliers in the stationarity system is analyzed using a path-following technique, and a numerically usable update strategy is derived. A discretization is necessary for a practically applicable solution method. For this, we use a finite element method. The derivation of the a priori convergence based on the previously generalized Γ-convergence is established for equilibrium problems with simultaneous regularization. With regard to the presence of contact sets induced by obstacle conditions, we also turn to adaptive finite element methods. Our theoretical results are illustrated by several academic applications.

Die vorliegende Arbeit beschaeftigt sich mit Gleichgewichtsproblemen unter Gleichgewichtsrestriktionen, sogenannten EPECs (Englisch: Equilibrium Problems with Equilibrium Constraints). Konkret handelt es sich um gekoppelte Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme, bei denen Nash- Gleichgewichte fuer die Entscheidungen der oberen Ebene gesucht sind. Ein Ziel der Arbeit besteht in der Formulierung dualer Stationaritaetsbedingungen zu solchen Problemen. Als Anwendung wird ein oligopolistisches Wettbewerbsmodell fuer Strommaerkte betrachtet. Zur Gewinnung qualitativer Hypothesen ueber die Struktur der betrachteten Modelle (z.B. Inaktivitaet bestimmter Marktteilnehmer) aber auch fuer moegliche numerische Zugaenge ist es wesentlich, EPEC-Loesungen explizit bezueglich der Eingangsdaten des Problems zu formulieren. Der Weg dorthin erfordert eine Strukturanalyse der involvierten Optimierungsprobleme (constraint qualifications, Regularitaet), die Herleitung von Stabilitaetsresultaten bestimmter mengenwertiger Abbildungen und die Nutzung von Transformationsformeln fuer die sogenannte Ko-Ableitung. Weitere Schwerpunkte befassen sich mit der Beziehung zwischen verschiedenen dualen Stationaritaetstypen (S- und M-Stationaritaet) sowie mit stochastischen Erweiterungen der betrachteten Problemklasse, sogenannten SEPECs. / This thesis is concerned with equilibrium problems with equilibrium constraints or EPECs. Concretely, we consider models composed by coupling together two-level optimization problems, the upper-level solutions to which are non-cooperative (Nash-Cournot) equilibria. One of the main goals of the thesis involves the formulation of dual stationarity conditions to EPECs. A model of oligopolistic competition for electricity markets is considered as an application. In order to profit from qualitative hypotheses concerning the structure of the considered models, e.g., inactivity of certain market participants at equilibrium, as well as to provide conditions useful for numerical procedures, the ablilty to formulate EPEC solutions in relation to the input data of the problem is of considerable importance. The way to do this requires a structural analysis of the involved optimization problems, e.g., constraints qualifications, regularity; the derivation of stability results for certain multivalued mappings, and the usage of transformation formulae for so-called coderivatives. Further important topics address the relationship between various dual stationarity types, e.g., S- and M-stationarity, as well as the extension of the considered problem classes to a stochastic setting, i.e., stochastic EPECs or SEPECs.