Doctor en Sistemas de Ingeniería / Muchos problemas de decisión industriales o logísticos pueden ser vistos como problemas de optimización y para muchos de ellos no es razonable ocupar datos deterministas. Como veremos en este trabajo en el contexto de despachos de emergencia o de planificación de seguridad, las condiciones reales son desconocidas y tomar decisiones sin considerar esta incertidumbre pueden llevar a resultados catastróficos. La teoría y la aplicación de optimización bajo incertidumbre es un tema que ha generado un amplio área de investigación. Sin embargo, aún existen grandes diferencias en complejidad entre optimización determinista y su versión incierta. En esta tesis, se estudian varios problemas de optimización con aversión al riesgo con un enfasis particular en el problema de camino más corto (RASP), problemas estocásticos en redes en general y juegos de seguridad de Stackelberg. Para obtener distribuciones de tiempos de viaje precisos sobre una red vial a partir de datos GPS del sistema de tránsito, se presenta una revisión de los métodos existentes para proyectar trayectorias GPS y se definen dos nuevos algoritmos: Uno que permite la proyección de datos óptima con respecto a una medida de error convenientemente definida (MOE), y un método heurístico rápido que permite proyectar grandes cantidades de datos de manera contínua (MMH). Se presentan resultados computacionales en redes reales y generadas de gran tamaño. Luego, se desarrollan algoritmos eficientes para problemas de ruteo con aversión al riesgo utilizando métodos de Sample Average Approximation, técnicas de linealización y métodos de descomposición. Se estudian la medida de riesgo entrópica y el Conditional Value at Risk considerando correlaciones entre las variables aleatorias. Se presentan resultados computacionales prometedores en instancias generadas de tamaño mediano. Sin embargo, la naturaleza combinatorial de los problemas los vuelve rapidamente intratable a medida que el tamaño del problema crece. Para hacer frente a esta dificultad computacional, se presentan nuevas formulaciones para problemas en redes difíciles, que tienen un menor número de variables enteras. Estas formulaciones ayudan a derivar esquemas de brancheo que se aprovechan de la estructura especial de las formulaciones propuestas. Se muestra como aplicar estas ideas a los conjuntos de camino simple y de circuito hamiltoniano en redes generales, así como los conjuntos de camino simple y de corte en grafos dirigidos acíclicos (DAG). Este trabajo preliminar muestra ideas prometedoras para resolver problemas difíciles. Finalmente, se exploran las implicaciones de los métodos algortmicos y las formulaciones desarrolladas para resolver RASP en un área diferente. Se presentan nuevas formulaciones y enfoques de resolución para juegos de seguridad de Stackelberg cuando el defensor es averso al riesgo con respecto a la estrategia del atacante. Esto se puede resolver de manera polinomial cuando se enfrenta a un adversario y resolviendo un problema de optimización convexa en números enteros cuando el defensor enfrenta varios tipos de adversarios.

O Problema dos K Menores Caminhos é uma generalização do Problema do Menor Caminho, em que desejamos encontrar os K caminhos de menor custo entre dois vértices de um grafo. Estudamos e implementamos algoritmos que resolvem esse problema em grafos dirigidos, com peso nos arcos e que permitem apenas caminhos sem repetição de vértices na resposta. Comparamos seus desempenhos utilizando grafos do 9th DIMACS Implementation Challenge. Identificamos os pontos fortes e fracos de cada algoritmo, e propusemos uma variante híbrida dos algoritmos de Feng e de Pascoal. Essa variante proposta obteve desempenho superior aos algoritmos base em alguns grafos, e resultado superior a pelo menos um deles na grande maioria dos testes. / The K-Shortest Path Problem is a generalization of the Shortest Path Problem, in which we must find the K paths between two vertices in a graph that have the lowest costs. We study some K-Shortest Path Problem algorithms applied to weighted directed graphs, allowing only paths with no repeated vertices. We compare empirically implementation of some algorithms, using instance graphs from the 9th DIMACS Implementation Challenge. We identify the strengths and weaknesses of each algorithm, and we propose a hybrid version of Feng\'s and Pascoal\'s algorithms. This proposed variant achieve better perfomance compared to both base algorithms in some graphs, and it is better than at least one of them in most cases.

O Problema dos K Menores Caminhos é uma generalização do Problema do Menor Caminho, em que desejamos encontrar os K caminhos de menor custo entre dois vértices de um grafo. Estudamos e implementamos algoritmos que resolvem esse problema em grafos dirigidos, com peso nos arcos e que permitem apenas caminhos sem repetição de vértices na resposta. Comparamos seus desempenhos utilizando grafos do 9th DIMACS Implementation Challenge. Identificamos os pontos fortes e fracos de cada algoritmo, e propusemos uma variante híbrida dos algoritmos de Feng e de Pascoal. Essa variante proposta obteve desempenho superior aos algoritmos base em alguns grafos, e resultado superior a pelo menos um deles na grande maioria dos testes. / The K-Shortest Path Problem is a generalization of the Shortest Path Problem, in which we must find the K paths between two vertices in a graph that have the lowest costs. We study some K-Shortest Path Problem algorithms applied to weighted directed graphs, allowing only paths with no repeated vertices. We compare empirically implementation of some algorithms, using instance graphs from the 9th DIMACS Implementation Challenge. We identify the strengths and weaknesses of each algorithm, and we propose a hybrid version of Feng\'s and Pascoal\'s algorithms. This proposed variant achieve better perfomance compared to both base algorithms in some graphs, and it is better than at least one of them in most cases.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This paper has as its main purpose to highlight some mathematical concepts, which are behind the ranking given by a research made on the website mostly used in the world: Google. At the beginning, we briefly approached some High School’s concepts, such as: Matrices, Linear Systems and Probability. After that, we presented some basic notions related to Directed Graphs and Markov Chains of Discrete Time. From this last one, we gave more emphasis to the Steady State Vector because it ensures foreknowledge results from long-term. These concepts are extremely important to our paper, because they will be used to explain the involvement of Mathematic behind the web search “Google”. Then, we tried to detail the ranking operation of the search pages on Google, i.e., how the results of a research are classified, determining which results are presented in a sequential way in order of relevance. Finally we obtained “PageRank”, an algorithm which creates what we call Google’s Matrices and ranks the pages of a search. We finished making a brief comment about the historical arising of the web searches, from their founders to the rise and hegemony of Google. / O presente trabalho tem como objetivo destacar alguns conceitos matemáticos que estão por trás do ranqueamento dado por uma pesquisa feita no site de busca mais usados do mundo, o “Google”. Inicialmente abordamos de forma breve alguns conteúdos da matemática do ensino médio, a exemplo de: matrizes, sistemas lineares, probabilidades. Em seguida são introduzidas noções básicas de grafos dirigidos e cadeias de Markov de tempo discreto; essa última, é dada uma ênfase ao vetor estado estacionário, por ele garantir resultados de previsão de longo prazo. Esses conceitos são de grande importância em nosso trabalho, pois serão usados para explicar o envolvimento da matemática por trás do site de buscas “Google”. Na sequência, buscamos detalhar o funcionamento do ranqueamento das páginas de uma busca no “Google”, isto é, como são classificados os resultados de uma pesquisa, determinando quais resultados serão apresentados de modo sequencial em ordem de relevância. Finalmente, chegamos na obtenção do “PageRank”, algoritmo que gera a chamada Matriz do Google e ranqueia as páginas de uma busca. Encerramos com um breve histórico do surgimento dos sites de buscas, desde os seus fundadores até a ascensão e hegemonia do Google.