Dans la première partie de cette thèse, on s'intéresse à la suite NX(p) [mod p] où X est un schéma séparé réduit de type fini sur Z,et pour tout p premier, NX(p) est le nombre de Fp-points de la réduction modulo p de X.Sous certaines hypothèses sur la géométrie de X, on donne une condition simple pour garantir que cette suite diffèreen une densité positive de coordonnées de la suite identiquement nulle,ou plus généralement de suites dont les coordonnées sont obtenues par réduction modulo p d'un nombre fini d'entiers.Dans le cas où X parcourt une famille de courbes hyperelliptiques, on donne une borne en moyenne sur le plus petit premier p pour lequel NX (p) [mod p] n'est pas dans un certain ensemble de valeurs fixées.La seconde partie est dédiée à des généralisations de la notion de biais de Chebyshev.On se donne une fonction L vérifiant certaines propriétés analytiquesgénéralisant celles vérifiées par les fonctions L de Dirichlet.On s'intéresse à la suite des coefficients de Fourier a_p pour p premier.Plus précisément on étudie le signe de la fonction sommatoire des coefficients de Fourier de la fonction L.On montre sous des conditions classiques que cette fonction admet une distribution logarithmique limite.Sous des hypothèses supplémentaires on obtient de bonnes propriétés telles que la régularité, la symétrie et des informations sur le support de cette distribution. / In the first part of this Thesis, we study the sequence NX (p) [mod p] where X is a reduced separated scheme of finite type over Z,and NX (p) is the number of Fp-points of the reduction modulo p of X, for every prime p. Under some hypotheses on the geometry of X, we give a simple condition to ensure that this sequence is distinctat a positive proportion of indices from the zero sequence,or generalizations obtained by reduction modulo p of finitely many integers.We give a bound on average over a family of hyperelliptic curves for the least prime p such that NX (p) [mod p] avoids the reductionmodulo p of finitely many fixed integers.The second part deals with generalizations of Chebyshev’s bias.We consider an L-function satisfying some analytic properties that generalize those satisfied by Dirichlet L-functions.We study the sequence of coefficients a_p as p runs through the set of prime numbers.Precisely, we study the sign of the summatory function of the Fourier coefficients of the L-function.Under some classical conditions, we show that this function admits a limiting logarithmic distribution.Under stronger hypotheses, we prove regularity, symmetry and get information about the support of this distribution.

Cette thèse établit des formules asymptotiques robustes pour le second moment harmonique ramolli des fonctions $L$ de Rankin-Selberg. La principale contribution est une amélioration substancielle de la longueur admissible du ramollisseur qui est réalisée grâce à la résolution d'un problème de convolution avec décalage additif par une méthode spectrale considérée en moyenne. Une première conséquence est une nouvelle borne de sous-convexité pour les fonctions L de Rankin-Selberg par rapport au niveau qui possède de nombreuses applications arithmétiques déjà connues. En outre, une infinité de fonctions L de Rankin-Selberg ayant au plus huit zéros réels non-triviaux est exhibée et de nouvelles estimations non-triviales du rang analytique de la famille étudiée sont obtenues.

La fonction de Möbius est définie par$$\mu(n)= \begin{cases} 1 & \textit{si $n=1$},\\ (-1)^k& \textit{si n est le produit de k nombres premiers distincts,}\\ 0 & \textit{si n contient un facteur carré. } \end{cases}$$Nous avons démontré que pour $x \ge \exp( 10^9) $ et $h=x^{1-\frac{1}{16000}}$, il existe dans chaque intervalle $[x-h,x]$ des entiers $n_1$ avec $\mu(n_1)=1$ et des entiers $n_2$ avec $\mu(n_2)=-1$.\\Ce résultat est une conséquence d'un résultat plus général.\\Pour $x \ge \exp(4\times 10^6)$, $\frac{1}{\sqrt{\log x}} \le \theta \le \frac{1}{2000}$, $h=x^{1-\theta}$ et $Q=(x/h)^{\frac{1}{20}}$, nous avons \\$$\sum_{q \leq Q} \log(Q/q)\sum_{\chi mod q}^*\left| \sum_{x.-h\le n \le x} \mu(n) \chi(n) \right| \leq 10^{20} h \theta \log(x) \exp( \frac{-1}{300 \theta}); $$la somme $\sum^*$ portant sur les caractères primitifs sauf l'éventuel caractère exceptionnel.\\Et en particulier pour $x \ge \exp( 10^9)$,$$ \left | \sum_{x.-x^{1-\frac{1}{16000}}\le n \le x} \mu(n) \right | \le \frac{1}{100} x^{1-\frac{1}{16000}}.\\$$ / The Möbius function is defined by$$\mu(n)= \begin{cases} 1 & \textit{if $n=1$},\\ (-1)^k& \textit{if n is a product of k distinct prime numbers,}\\ 0 & \textit{if n contains a square factor. } \end{cases}$$We demonstrate that for $x \ge \exp( 10^9) $ and $h=x^{1-\frac{1}{16000}}$, it exists in each interval $[x-h,x]$ integers $n_1$ with $\mu(n_1)=1$ and integers $n_2$ with $\mu(n_2)=-1$.\\This result is a consequence of a more general result. \\For $x \ge \exp(4\times 10^6)$, $\frac{1}{\sqrt{\log x}} \le \theta \le \frac{1}{2000}$, $h=x^{1-\theta}$ et $Q=(x/h)^{\frac{1}{20}}$, we have \\ $$\sum_{q \leq Q} \log(Q/q)\sum_{\chi mod q}^*\left| \sum_{x-h \le n \le x} \mu(n) \chi(n) \right| \leq 10^{20} h \theta \log(x) \exp( \frac{-1}{300 \theta}); $$the sum $\sum^*$ relating to primitive characters except for possible exceptional character.\\And in particular for $x \ge \exp( 10^9)$,$$\left | \sum_{x-.x^{1-\frac{1}{16000}}\le n \le x} \mu(n) \right | \le \frac{1}{100} x^{1-\frac{1}{16000}}.$$

Le sujet principal de cette thèse est la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme $qn+a$, avec $a$ et $q$ des entiers fixés et $n=1,2,3,\dots$ La thèse porte aussi sur la comparaison de différentes suites arithmétiques par rapport à leur comportement dans les progressions arithmétiques. Elle est divisée en quatre chapitres et contient trois articles. Le premier chapitre est une invitation à la théorie analytique des nombres, suivie d'une revue des outils qui seront utilisés plus tard. Cette introduction comporte aussi certains résultats de recherche, que nous avons cru bon d'inclure au fil du texte. Le deuxième chapitre contient l'article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, qui est le fruit de recherche conjointe avec le professeur Greg Martin. Le but de cet article est d'étudier un phénomène appelé le <<Biais de Chebyshev>>, qui s'observe dans les <<courses de nombres premiers>>. Chebyshev a observé qu'il semble y avoir plus de premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$. De manière plus générale, Rubinstein et Sarnak ont montré l'existence d'une quantité $\delta(q;a,b)$, qui désigne la probabilité d'avoir plus de premiers de la forme $qn+a$ que de la forme $qn+b$. Dans cet article nous prouvons une formule asymptotique pour $\delta(q;a,b)$ qui peut être d'un ordre de précision arbitraire (en terme de puissance négative de $q$). Nous présentons aussi des résultats numériques qui supportent nos formules. Le troisième chapitre contient l'article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. Le but est de fixer un entier $a\neq 0$ et ensuite d'étudier la répartition des premiers de la forme $qn+a$, en moyenne sur $q$. Nous montrons que l'entier $a$ fixé au départ a une grande influence sur cette répartition, et qu'il existe en fait certaines progressions arithmétiques contenant moins de premiers que d'autres. Ce phénomène est plutôt surprenant, compte tenu du théorème des premiers dans les progressions arithmétiques qui stipule que les premiers sont équidistribués dans les classes d'équivalence $\bmod q$. Le quatrième chapitre contient l'article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. Dans cet article on s'intéresse à des irrégularités similaires à celles observées au troisième chapitre, mais pour des suites arithmétiques plus générales. En effet, nous étudions des suites telles que les entiers s'exprimant comme la somme de deux carrés, les valeurs d'une forme quadratique binaire, les $k$-tuplets de premiers et les entiers sans petit facteur premier. Nous démontrons que dans chacun de ces exemples, ainsi que dans une grande classe de suites arithmétiques, il existe des irrégularités dans les progressions arithmétiques $a\bmod q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur $q$. / The main subject of this thesis is the distribution of primes in arithmetic progressions, that is of primes of the form $qn+a$, with $a$ and $q$ fixed, and $n=1,2,3,\dots$ The thesis also compares different arithmetic sequences, according to their behaviour over arithmetic progressions. It is divided in four chapters and contains three articles. The first chapter is an invitation to the subject of analytic number theory, which is followed by a review of the various number-theoretic tools to be used in the following chapters. This introduction also contains some research results, which we found adequate to include. The second chapter consists of the article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, which is joint work with Professor Greg Martin. The goal of this article is to study <<Chebyshev's Bias>>, a phenomenon appearing in <<prime number races>>. Chebyshev was the first to observe that there tends to be more primes of the form $4n+3$ than of the form $4n+1$. More generally, Rubinstein and Sarnak showed the existence of the quantity $\delta(q;a,b)$, which stands for the probability of having more primes of the form $qn+a$ than of the form $qn+b$. In this paper, we establish an asymptotic series for $\delta(q;a,b)$ which is precise to an arbitrary order of precision (in terms of negative powers of $q$). %(it can be instantiated with an error term smaller than any negative power of $q$). We also provide many numerical results supporting our formulas. The third chapter consists of the article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. We fix an integer $a \neq 0$ and study the distribution of the primes of the form $qn+a$, on average over $q$. We show that the choice of $a$ has a significant influence on this distribution, and that some arithmetic progressions contain, on average over q, fewer primes than typical arithmetic progressions. This phenomenon is quite surprising since in light of the prime number theorem for arithmetic progressions, the primes are equidistributed in the residue classes $\bmod q$. The fourth chapter consists of the article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. In this article we are interested in studying more general arithmetic sequences and finding irregularities similar to those observed in chapter three. Examples of such sequences are the integers which can be written as the sum of two squares, values of binary quadratic forms, prime $k$-tuples and integers free of small prime factors. We show that a broad class of arithmetic sequences exhibits such irregularities over the arithmetic progressions $a\bmod q$, with $a$ fixed and on average over $q$.

Le sujet principal de cette thèse est la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme $qn+a$, avec $a$ et $q$ des entiers fixés et $n=1,2,3,\dots$ La thèse porte aussi sur la comparaison de différentes suites arithmétiques par rapport à leur comportement dans les progressions arithmétiques. Elle est divisée en quatre chapitres et contient trois articles. Le premier chapitre est une invitation à la théorie analytique des nombres, suivie d'une revue des outils qui seront utilisés plus tard. Cette introduction comporte aussi certains résultats de recherche, que nous avons cru bon d'inclure au fil du texte. Le deuxième chapitre contient l'article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, qui est le fruit de recherche conjointe avec le professeur Greg Martin. Le but de cet article est d'étudier un phénomène appelé le <<Biais de Chebyshev>>, qui s'observe dans les <<courses de nombres premiers>>. Chebyshev a observé qu'il semble y avoir plus de premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$. De manière plus générale, Rubinstein et Sarnak ont montré l'existence d'une quantité $\delta(q;a,b)$, qui désigne la probabilité d'avoir plus de premiers de la forme $qn+a$ que de la forme $qn+b$. Dans cet article nous prouvons une formule asymptotique pour $\delta(q;a,b)$ qui peut être d'un ordre de précision arbitraire (en terme de puissance négative de $q$). Nous présentons aussi des résultats numériques qui supportent nos formules. Le troisième chapitre contient l'article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. Le but est de fixer un entier $a\neq 0$ et ensuite d'étudier la répartition des premiers de la forme $qn+a$, en moyenne sur $q$. Nous montrons que l'entier $a$ fixé au départ a une grande influence sur cette répartition, et qu'il existe en fait certaines progressions arithmétiques contenant moins de premiers que d'autres. Ce phénomène est plutôt surprenant, compte tenu du théorème des premiers dans les progressions arithmétiques qui stipule que les premiers sont équidistribués dans les classes d'équivalence $\bmod q$. Le quatrième chapitre contient l'article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. Dans cet article on s'intéresse à des irrégularités similaires à celles observées au troisième chapitre, mais pour des suites arithmétiques plus générales. En effet, nous étudions des suites telles que les entiers s'exprimant comme la somme de deux carrés, les valeurs d'une forme quadratique binaire, les $k$-tuplets de premiers et les entiers sans petit facteur premier. Nous démontrons que dans chacun de ces exemples, ainsi que dans une grande classe de suites arithmétiques, il existe des irrégularités dans les progressions arithmétiques $a\bmod q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur $q$. / The main subject of this thesis is the distribution of primes in arithmetic progressions, that is of primes of the form $qn+a$, with $a$ and $q$ fixed, and $n=1,2,3,\dots$ The thesis also compares different arithmetic sequences, according to their behaviour over arithmetic progressions. It is divided in four chapters and contains three articles. The first chapter is an invitation to the subject of analytic number theory, which is followed by a review of the various number-theoretic tools to be used in the following chapters. This introduction also contains some research results, which we found adequate to include. The second chapter consists of the article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, which is joint work with Professor Greg Martin. The goal of this article is to study <<Chebyshev's Bias>>, a phenomenon appearing in <<prime number races>>. Chebyshev was the first to observe that there tends to be more primes of the form $4n+3$ than of the form $4n+1$. More generally, Rubinstein and Sarnak showed the existence of the quantity $\delta(q;a,b)$, which stands for the probability of having more primes of the form $qn+a$ than of the form $qn+b$. In this paper, we establish an asymptotic series for $\delta(q;a,b)$ which is precise to an arbitrary order of precision (in terms of negative powers of $q$). %(it can be instantiated with an error term smaller than any negative power of $q$). We also provide many numerical results supporting our formulas. The third chapter consists of the article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. We fix an integer $a \neq 0$ and study the distribution of the primes of the form $qn+a$, on average over $q$. We show that the choice of $a$ has a significant influence on this distribution, and that some arithmetic progressions contain, on average over q, fewer primes than typical arithmetic progressions. This phenomenon is quite surprising since in light of the prime number theorem for arithmetic progressions, the primes are equidistributed in the residue classes $\bmod q$. The fourth chapter consists of the article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. In this article we are interested in studying more general arithmetic sequences and finding irregularities similar to those observed in chapter three. Examples of such sequences are the integers which can be written as the sum of two squares, values of binary quadratic forms, prime $k$-tuples and integers free of small prime factors. We show that a broad class of arithmetic sequences exhibits such irregularities over the arithmetic progressions $a\bmod q$, with $a$ fixed and on average over $q$.