Cette thèse est consacrée à deux sujets distincts : l'étude des principes conditionnels de type Gibbs et celle des inégalités de transport. Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons au comportement asymptotique de la loi de certaines mesures aléatoires satisfaisant un principe de grandes déviations, conditionnellement au fait qu'un événement rare s'est produit. Nous nous plaçons dans le cas, peu étudié, où l'événement considéré est de probabilité nulle. Notre stratégie consiste à approcher progressivement cet événement par une suite d'événements plus épais. Cette approche, qui nécessite des contrôles exacts des petites probabilités, conduit à une formulation en limite simple de certains principes conditionnels. La seconde partie de cette thèse porte sur les inégalités de transport : on cherche à majorer un coût de transport optimal au sens de Kantorovich par une fonction concave de l'entropie relative. Notre objectif est de mettre en évidence les liens existant entre ce sujet et la théorie des Grandes Déviations. Nous montrons que ces inégalités admettent une formulation duale en termes de transformées de Laplace. Grâce à cette propriété, nous démontrons une formule générale de tensorisation, laquelle entraîne à son tour, de manière quasi-immédiate, des inégalités de déviations pour les processus empiriques. Cette étude est complétée par la démonstration de conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une probabilité donnée vérifie une inégalité de transport d'un type assez général.

Cette thèse est consacrée à l'étude des grands clusters en percolation et se compose de quatre articles distincts. Les différents modèles étudiés sont la percolation Bernoulli, la percolation FK et la percolation orientée. Les idées clés sont la renormalisation, les grandes déviations, les inégalités FKG et BK, les proprietés de mélange. Nous prouvons un principe de grandes déviations pour les clusters en régime sous-critique de la percolation Bernoulli. Nous utilisons l'inégalité FKG pour démontrer la borne inférieure du PGD. La borne supérieure est obtenue à l'aide de l'inégalité BK combinée avec des squelettes, les squelettes étant des sortes de lignes brisées approximant les clusters. Concernant la FK percolation en régime sur-critique, nous établissons des estimés d'ordre surfacique pour la densité du cluster maximal dans une boîte en dimension deux. Nous utilisons la renormalisation et comparons un processus sur des blocs avec un processus de percolation par site dont le paramètre de rétention est proche de un. Pour toutes les dimensions, nous prouvons que les grands clusters finis de la percolation FK sont distribués dans l'espace comme un processus de Poisson. La preuve repose sur la méthode Chen-Stein et fait appel à des propriétés de mélange comme la ratio weak mixing property. Nous établissons un principe de grandes déviations surfaciques dans le régime sur-critique du modèle orienté. Le schéma de la preuve est similaire à celui du cas non-orienté, mais des difficultés surgissent malgré l'aspect Markovien du réseau orienté. De nouveaux estimés blocs sont donnés, qui décrivent le comportement du processus orienté. Nous obtenons également la décroissance exponentielle des connectivités en dehors du cône de percolation, qui représente la forme typique d'un cluster infini.

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude d'événements rares dans des réseaux de communications. Dans un premier temps, nous introduisons la classe des réseaux monotones séparables qui nous permettra une analyse systématique de réseaux de grande dimension. Parmi ceux-ci, nous appliquerons notre théorie en détail aux réseaux (max,plus)-linéaires et aux réseaux de Jackson généralisés. La première étape de notre étude consiste à comprendre la dynamique de ces réseaux. Nous décrivons leur comportement fluide, ce qui permet d'écrire les conditions de stabilité du réseau et de construire les variables d'état dans leur régime stationnaire. L'étude trajectorielle du réseau nous permet ensuite de comprendre le comportement aléatoire du réseau. Nous calculons les asymptotiques des probabilités d'événements rares (dont la probabilité tend vers 0) et décrivons "comment" ces événements se produisent. Nous montrons que le "comportement" du réseau est radicalement différent selon les hypothèses probabilistes faites sur les temps de service. Dans le cas de distributions sous-exponentielles, l'événement rare est dû à un unique grand service qui bloque une station du réseau tandis que dans le cas de distributions à queue exponentielle, l'événement rare est dû à une conjonction de nombreux temps de services anormalement longs. Ces heuristiques sont rendues précises par les calculs des probabilités considérées. Dans un dernier temps, nous considérons un cas intermédiaire et étudions l'impact d'une structure de dépendance entre les différents temps de service grâce au mouvement Brownien fractionnaire.

L'objectif de cette thèse est l'obtention de principes de grandes déviations autonormalisés, essentiellement pour des modèles markoviens. L'autonormalisation permet d'affaiblir les hypothèses requises pour assurer l'existence d'un Principe de grandes déviations portant par exemple sur les moyennes empiriques d'une suite de variables aléatoires. La démarche suivie est la recherche d'un principe de grandes déviations partiel pour certains couples de variables aléatoires à partir d'un principe de grandes déviations vague et d'une propriété de tension exponentielle partielle. Des techniques de transports sont développées pour établir des PGD vagues relatifs à des suites du type $(\int f dL_n)_n$, à partir de PGD pour des suites de lois empiriques $(L_n)_n$. On aboutit entre autres à des résultats autonormalisés dans un cadre markovien, généralisant ainsi les travaux de Dembo et Shao dans le cas i.i.d.

Cette thèse est consacrée à l'étude de deux thèmes : les grandes déviations pour les estimateurs à noyau de la densité $f_n^*$ des processus stochastiques stationnaires et l'estimateur de décrément aléatoire (EDA) pour les processus gaussiens stationnaires.<br /><br /><br />Le premier thème est la partie principale de cette thèse, constituées des quatre premiers chapitres. Dans le chapitre 1, on établit le w*-PGD(principe de grandes déviations) de $f_n^*$ et une inégalité de concentration dans le cas i.i.d.. On démontre dans le chapitre 2 la convergence exponentielle de $f_n^*$ dans $L^1(R^d)$ et une inégalité de concentration pour des suites $\phi$-mélangeants, en se basant sur une inégalité de tranport de Rio. Les chapitre 3 et 4 constituent le coeur de cette thèse : on établit (i) le PGD de $f_n^*$ pour la topologie faible $\sigma(L^1, L^{\infty})$ ; (ii) le w*-PGD de $f_n^*$ dans $L^1$ pour la topologie forte $\vert\cdot\vert_1$ ; (iii) l'estimation de grandes déviations pour l'erreur $D_n^*=\vert f_n^*(x)-f(x) \vert_1$ et (iv) l'optimalité asymptotique de $f_n^*$ au sens de Bahadur. Ces résultats sont prouvés dans le chapitre 3 pour des processus de Markov uniformément ergodiques et dans le chapitre 4 pour des processus de Markov réversibles uniformément intégrables.<br /><br /><br />Le dernier chapitre est consacré au second thème. On démontre la loi des grands nombres et le théorème de limite centrale pour l'EDA à temps discret et on établit pour la première fois l'expression explicite du biais de l'EDA à temps continu.

Nous appelons accroissements généralisés du processus empirique l'estimateur à noyau de la densité centré sur R^d pour lequel le noyau varie dans une classe de fonctions G. Ceci définit des processus stochastiques indéxés par G. Nous étudions le comportement limite de ces trajectoires aléatoires en considérant une suite de taille de fenêtre h_n qui tend vers 0. Nous donnons des résultats limites fonctionnels lorsque h_n vérifie les conditions de Csörgö-Révész-Stute, puis lorsque h_n vérifie les conditions d'Erdös-Renyi. Nous étudions également quelques comportements au second ordre dans les lois limites fonctionnelles standard du logarithme itéré pour le processus empirique uniforme local.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l'optimisation du partage de charge dans un réseau supportant le routage à la source. Une modélisation générique en files d'attente alimentées par un trafic caractérisé par sa bande passante effective et l'utilisation de la théorie des Grandes Déviations nous a permis de déduire de règles d'ingénierie dans divers contextes en optimisant des fonctions de coût qui reflètent les besoins des réseaux opérationnels. Des propriétés structurelles sur les politiques optimales ont été démontrées pour des importants dans le domaine de l'ingénierie du trafic. La variabilité de la capacité des chemins d'un réseau a été intégrée à l'aide du concept de capacité effective. Nous avons mis en évidence qu'un dimensionnement basé sur une capacité moyenne peut s'avérer sous optimal et nous avons quantifié cela. Ainsi, une approche d'ingénierie de trafic adaptative a été proposée en faisant évoluer le partage en fonction des mesures réalisées sur le réseau.

Ce document de synthèse présente différents travaux de recherche centrés sur le comportement asymptotique de processus stochastiques. Ces travaux analysent des équations différentielles stochastiques ou des systèmes d'EDS dirigés par des mouvements browniens. Ils font effectivement appel au calcul asymptotique: dans les questions posées, il s'agit bien souvent de considérer la limite d'un paramètre du système dynamique. Cela peut être: le coefficient de diffusion qui tend vers $0$, le temps qui croît à l'infini, le nombre de particules dans un système de particules en interaction qui tend vers l'infini, le pas de temps d'une marche aléatoire qui tend vers $0$. Les techniques utilisées sont donc spécifiques à ces passages à la limite: grandes déviations, estimation d'intégrales par la méthode de Laplace, limite de McKean-Vlasov, propagation du chaos, critère de tension des lois de processus, décomposition spectrale des semi-groupes.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des matrices aléatoires et des techniques de grandes déviations. On s'attachera dans un premier temps à donner des inégalités de déviations pour différentes fonctionnelles du spectre qui reflètent leurs comportement de grandes déviations, pour des matrices de Wigner vérifiant une propriété de concentration indexée par un paramètre alpha ∈ (0,2]. Nous présenterons ensuite le principe de grandes déviations obtenu pour la plus grande valeur propre des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes, dans la lignée du travail de Bordenave et Caputo, puis l'étude des grandes déviations des traces de matrices aléatoires que l'on aborde dans trois cas : le cas des beta-ensembles, celui des matrices de Wigner Gaussiennes, et enfin des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes. Le cas Gaussien a été l'occasion de revisiter la preuve de Borell et Ledoux des grandes déviations des chaos de Wiener, que l'on prolonge en proposant un énoncé général de grandes déviations qui nous permet donner une autre preuve des principes de grandes déviations des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes. Enfin, nous donnons une nouvelle preuve des grandes déviations de la mesure spectrale empirique des beta-ensembles associés à un potentiel quadratique, qui ne repose que sur leur représentation tridiagonale. / This thesis falls within the theory of random matrices and large deviations techniques. We mainly consider large deviations problems which involve a heavy-tail phenomenon. In a first phase, we will focus on finding concentration inequalities for different spectral functionals which reflect their large deviations behavior, for random Hermitian matrices satisfying a concentration property indexed by some alpha ∈ (0,2]. Then we will present the large deviations principle we obtained for the largest eigenvalue of Wigner matrices without Gaussian tails, in line with the work of Bordenave and Caputo. Another example of heavy-tail phenomenon is given by the large deviations of traces of random matrices which we investigate in three cases: the case of beta-ensembles, of Gaussian Wigner matrices, and the case of Wigner matrices without Gaussian tails. The Gaussian case was the opportunity to revisit Borell and Ledoux's proof of the large deviations of Wiener chaoses, which we investigate further by proposing a general large deviations statement, allowing us to give another proof of the large deviations principles known for the Wigner matrices without Gaussian tail. Finally, we give a new proof of the large deviations principles for the beta-ensembles with a quadratic potential, which relies only on the tridiagonal representation of these models. In particular, this result gives a proof of the large deviations of the GUE and GOE which does not rely on the knowledge of the law of the spectrum.

Le but de cette thèse est de développer la théorie de Freidlin-Wentzell pour des modèles des épidémies, afin de prédire le temps mis par les perturbations aléatoires pour éteindre une situation endémique "stable". Tout d'abord nous proposons une nouvelle démonstration plus courte par rapport à celle établit récemment (sous une hypothèse un peu différente, mais satisfaite dans tous les exemples de modèles de maladie infectieuses que nous avons à l'esprit) par Kratz et Pardoux (2017) sur le principe de grandes déviations pour les modèles des épidémies. Ensuite nous établissons un principe de grandes déviations pour des EDS poissoniennes réfléchies au bord d'un ouvert suffisamment régulier. Nous établissons aussi un résultat concernant la zone du bord la plus probable par laquelle le processus solution de l'EDS de Poisson va sortir du domaine d'attraction d'un équilibre stable de sa loi des grands nombres limite. Nous terminons cette thèse par la présentation des méthodes "non standard aux différences finis", appropriés pour approcher numériquement les solutions de nos EDOs ainsi que par la résolution d'un problème de contrôle optimal qui permet d'avoir une bonne approximation du temps d'extinction d'un processus d'infection. / In this thesis, we develop the Freidlin-Wentzell theory for the "natural'' Poissonian random perturbations of the above ODE in Epidemic Dynamics (and similarly for models in Ecology or Population Dynamics), in order to predict the time taken by random perturbations to extinguish a "stable" endemic situation. We start by a shorter proof of a recent result of Kratz and Pardoux (under a somewhat different hypothesis which is satisfied in all the cases we have examined so far), which establishes the large deviations principle for epidemic models. Next, we establish the large deviations principle for reflected Poisonian SDE at the boundary of a sufficiently regular open set. Then, we establish the result for the most likely boundary area by which the process will exit the domain of attraction of a stable equilibrium of an ODE. We conclude this thesis with the presentation of the "non - standard finite difference" methods, suitable to approach numerically the solutions of our ODEs as well as the resolution of an optimal control problem which allows to have a good approximation of the time of extinction of an endemic situation.