Cette thèse aborde le problème de la recherche d'une structure (ou clustering) dans lesnoeuds d'un graphe. Dans le cadre des modèles aléatoires à variables latentes, on attribue à chaque noeud i une variable aléatoire non observée (latente) Zi, et la probabilité de connexion des noeuds i et j dépend conditionnellement de Zi et Zj . Contrairement au modèle d'Erdos-Rényi, les connexions ne sont pas indépendantes identiquement distribuées; les variables latentes régissent la loi des connexions des noeuds. Ces modèles sont donc hétérogènes, et leur structure est décrite par les variables latentes et leur loi; ce pourquoi on s'attache à en faire l'inférence à partir du graphe, seule variable observée.La volonté commune des deux travaux originaux de cette thèse est de proposer des méthodes d'inférence de ces modèles, consistentes et de complexité algorithmique au plus linéaire en le nombre de noeuds ou d'arêtes, de sorte à pouvoir traiter de grands graphes en temps raisonnable. Ils sont aussi tous deux fondés sur une étude fine de la distribution des degrés, normalisés de façon convenable selon le modèle.Le premier travail concerne le Stochastic Blockmodel. Nous y montrons la consistence d'un algorithme de classiffcation non supervisée à l'aide d'inégalités de concentration. Nous en déduisons une méthode d'estimation des paramètres, de sélection de modèles pour le nombre de classes latentes, et un test de la présence d'une ou plusieurs classes latentes (absence ou présence de clustering), et nous montrons leur consistence.Dans le deuxième travail, les variables latentes sont des positions dans l'espace ℝd, admettant une densité f, et la probabilité de connexion dépend de la distance entre les positions des noeuds. Les clusters sont définis comme les composantes connexes de l'ensemble de niveau t > 0 fixé de f, et l'objectif est d'en estimer le nombre à partir du graphe. Nous estimons la densité en les positions latentes des noeuds grâce à leur degré, ce qui permet d'établir une correspondance entre les clusters et les composantes connexes de certains sous-graphes du graphe observé, obtenus en retirant les nœuds de faible degré. En particulier, nous en déduisons un estimateur du nombre de clusters et montrons saconsistence en un certain sens / .This thesis addresses the clustering of the nodes of a graph, in the framework of randommodels with latent variables. To each node i is allocated an unobserved (latent) variable Zi and the probability of nodes i and j being connected depends conditionally on Zi and Zj . Unlike Erdos-Renyi's model, connections are not independent identically distributed; the latent variables rule the connection distribution of the nodes. These models are thus heterogeneous and their structure is fully described by the latent variables and their distribution. Hence we aim at infering them from the graph, which the only observed data.In both original works of this thesis, we propose consistent inference methods with a computational cost no more than linear with respect to the number of nodes or edges, so that large graphs can be processed in a reasonable time. They both are based on a study of the distribution of the degrees, which are normalized in a convenient way for the model.The first work deals with the Stochastic Blockmodel. We show the consistency of an unsupervised classiffcation algorithm using concentration inequalities. We deduce from it a parametric estimation method, a model selection method for the number of latent classes, and a clustering test (testing whether there is one cluster or more), which are all proved to be consistent. In the second work, the latent variables are positions in the ℝd space, having a density f. The connection probability depends on the distance between the node positions. The clusters are defined as connected components of some level set of f. The goal is to estimate the number of such clusters from the observed graph only. We estimate the density at the latent positions of the nodes with their degree, which allows to establish a link between clusters and connected components of some subgraphs of the observed graph, obtained by removing low degree nodes. In particular, we thus derive an estimator of the cluster number and we also show the consistency in some sense.

Cette thèse porte principalement sur l'équilibrage de charge dans de grands graphes aléatoires. En informatique, un problème d'équilibrage de charge survient lorsque différentes tâches ont besoin d'accéder à un même ensemble de points de ressources. Il faut alors décider quelles ressources spécifiques seront allouées à quelles tâches. Suivant le contexte, les notions de "tâche" et de "ressource" peuvent avoir différentes interprétations. Afin de prendre des exemples concrets, on se concentrera sur deux applications en particulier: - un système de hachage à choix multiples (plus précisément, le "cuckoo hashing"). L'objectif est ici d'allouer des cellules d'un tableau à des objets, afin de pouvoir ensuite vérifier facilement la présence d'un objet et récupérer les données associées. Les tâches sont liées aux objets à stocker, et les ressources sont les cellules du tableau. - un réseau de distribution de contenu distribué, au sens où les contenus peuvent être stockés sur une multitude de petits serveurs aux capacités individuelles très limitées. Ici, les tâches sont des demandes de téléchargement (ou requêtes) pour un contenu et les ressources sont liées aux serveurs et à la façon dont leurs espaces de stockage sont utilisés. Le problème d'équilibrage de charge consiste à décider quel serveur va servir quelle requête. Les contraintes locales portant sur chaque ressource (en quelle quantité est-elle disponible et pour quelles tâches est-elle convenable?) ainsi que la charge de travail associée avec chaque tâche peuvent être représentées efficacement sur un graphe biparti, avec des contraintes de capacité sur ses sommets et ses arêtes. De plus, en pratique, les systèmes considérés sont souvent de très grande taille (avec parfois des milliers de tâches et de points de ressources différents) et relativement aléatoires (que ce soit par choix ou une conséquence de leur grande taille). Une modélisation à l'aide de grands graphes aléatoires est donc souvent pertinente. L'ensemble des solutions envisageables pour un problème d'équilibrage de charge donné étant vaste, il est primordial de commencer par déterminer des bornes sur les performances que l'on peut espérer. Ainsi, on considérera dans un premier temps une solution optimale du problème (même si elle ne serait pas réalisable avec des contraintes pratiques). Les performances d'une telle solution peuvent être obtenues en étudiant les appariements de taille maximum dans un grand graphe aléatoire, ce que l'on réalisera à l'aide de la méthode de la cavité. Cette méthode vient de l'étude des systèmes désordonnés en physique statistique, et on s'attachera ici à l'appliquer de manière rigoureuse dans le cadre que l'on considère. Dans le contexte du cuckoo hashing, les résultats obtenus permettent de calculer le seuil sur la charge du système (le nombre d'objets à insérer par rapport à la taille du tableau) en-dessous duquel on peut construire une table de hachage correcte avec grande probabilité dans un grand système, et également de traiter de manière similaire de variantes de la méthode de hachage basique qui tentent de diminuer la quantité d'aléa nécessaire au système. Au-delà du problème d'équilibrage de charge, dans le cadre des réseaux de distributions de contenu distribués, un second problème se pose: comment décider quel contenu stocker et en quelle quantité, autrement dit comment répliquer les contenus? On appelle ce second problème un problème d'allocation de ressources. A nouveau, l'étude déjà réalisée permet de quantifier l'efficacité d'une politique de réplication fixée en supposant que la politique d'équilibrage de charge fonctionne de manière optimale. Il reste cependant à optimiser la politique de réplication de contenus utilisée, ce que l'on effectue dans un régime où l'espace de stockage disponible au niveau de chaque serveur est important par rapport à la taille d'un contenu. Finalement, afin de quantifier maintenant les performances minimales atteignables en pratique, on s'intéressera aux mêmes questions lorsque la politique d'équilibrage de charge utilisée est un simple algorithme glouton. Cette étude est réalisée à l'aide d'approximations de champs moyen. On utilisera également les résultats obtenus afin de concevoir des politiques de réplication de contenus adaptatives.

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes d'apprentissage automatique : (I) la détection des communautés et (II) l'appariement adaptatif. I) Il est bien connu que beaucoup de réseaux ont une structure en communautés. La détection de ces communautés nous aide à comprendre et exploiter des réseaux de tout genre. Cette thèse considère principalement la détection des communautés par des méthodes spectrales utilisant des vecteurs propres associés à des matrices choisiesavec soin. Nous faisons une analyse de leur performance sur des graphes artificiels. Au lieu du modèle classique connu sous le nom de « Stochastic Block Model » (dans lequel les degrés sont homogènes) nous considérons un modèle où les degrés sont plus variables : le « Degree-Corrected Stochastic Block Model » (DC-SBM). Dans ce modèle les degrés de tous les nœuds sont pondérés - ce qui permet de générer des suites des degrés hétérogènes. Nous étudions ce modèle dans deux régimes: le régime dense et le régime « épars », ou « dilué ». Dans le régime dense, nous prouvons qu'un algorithme basé sur une matrice d'adjacence normalisée réussit à classifier correctement tous les nœuds sauf une fraction négligeable. Dans le régime épars il existe un seuil en termes de paramètres du modèle en-dessous lequel n'importe quel algorithme échoue par manque d'information. En revanche, nous prouvons qu'un algorithme utilisant la matrice « non-backtracking » réussit jusqu'au seuil - cette méthode est donc très robuste. Pour montrer cela nous caractérisons le spectre des graphes qui sont générés selon un DC-SBM dans son régime épars. Nous concluons cette partie par des tests sur des réseaux sociaux. II) Les marchés d'intermédiation en ligne tels que des plateformes de Question-Réponse et des plateformes de recrutement nécessitent un appariement basé sur une information incomplète des deux parties. Nous développons un modèle de système d'appariement entre tâches et serveurs représentant le comportement de telles plateformes. Pour ce modèle nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que le système puisse gérer un certain flux de tâches. Nous introduisons également une politique de « back-pressure » sous lequel le débit gérable par le système est maximal. Nous prouvons que cette politique atteint un débit strictement plus grand qu'une politique naturelle « gloutonne ». Nous concluons en validant nos résultats théoriques avec des simulations entrainées par des données de la plateforme Stack-Overflow. / In this thesis, we study two problems of machine learning: (I) community detection and (II) adaptive matching. I) It is well-known that many networks exhibit a community structure. Finding those communities helps us understand and exploit general networks. In this thesis we focus on community detection using so-called spectral methods based on the eigenvectors of carefully chosen matrices. We analyse their performance on artificially generated benchmark graphs. Instead of the classical Stochastic Block Model (which does not allow for much degree-heterogeneity), we consider a Degree-Corrected Stochastic Block Model (DC-SBM) with weighted vertices, that is able to generate a wide class of degree sequences. We consider this model in both a dense and sparse regime. In the dense regime, we show that an algorithm based on a suitably normalized adjacency matrix correctly classifies all but a vanishing fraction of the nodes. In the sparse regime, we show that the availability of only a small amount of information entails the existence of an information-theoretic threshold below which no algorithm performs better than random guess. On the positive side, we show that an algorithm based on the non-backtracking matrix works all the way down to the detectability threshold in the sparse regime, showing the robustness of the algorithm. This follows after a precise characterization of the non-backtracking spectrum of sparse DC-SBM's. We further perform tests on well-known real networks. II) Online two-sided matching markets such as Q&A forums and online labour platforms critically rely on the ability to propose adequate matches based on imperfect knowledge of the two parties to be matched. We develop a model of a task / server matching system for (efficient) platform operation in the presence of such uncertainty. For this model, we give a necessary and sufficient condition for an incoming stream of tasks to be manageable by the system. We further identify a so-called back-pressure policy under which the throughput that the system can handle is optimized. We show that this policy achieves strictly larger throughput than a natural greedy policy. Finally, we validate our model and confirm our theoretical findings with experiments based on user-contributed content on an online platform.