Afin de répondre aux besoins de l'industrie pétrolière d'une description plus fine de la géométrie et des propriétés pétrophysiques des bassins et des réservoirs, la simulation numérique des écoulements en milieux poreux doit évoluer vers des algorithmes plus performants et plus robustes vis à vis de la taille des simulations, de la complexité des maillages et des hétérogénéités du milieu poreux. Les méthodes de décomposition de domaine constituent une alternative aux méthodes multigrilles et pourraient permettre de lever les difficultés précédentes en terme de robustesse et d'efficacité sur architectures parallèles. Elles sont par nature plus adaptées au calcul parallèle et sont plus robustes en particulier lorsque les sous domaines sont résolus par des méthodes directes. Elles permettent aussi de traiter dans un cadre unique les couplages de modèles comme les puits ou les failles conductrices et s'étendent au cas des systèmes couplés. Le travail de thèse traite plus particulièrement de méthodes définies au niveau algébrique. On ne suppose pas avoir une connaissance préalable du problème continu dont la matrice provient. On n'a pas non plus accés aux matrices avant assemblage. Ce manque d'informations a priori rend plus difficile la construction de méthodes efficaces. On propose deux nouvelles méthodes de construction de méthodes de décomposition de domaine au niveau algébrique: la construction de conditions d'interface optimisées et d'une grille grossière. Ce dernier point est particulièrement important pour avoir des méthodes robustes vis à vis du nombre des sous-domaines. Les méthodes sont adaptatives et basées sur l'analyse de l'espace de Krylov généré durant les premières itérations de la méthode de Schwarz classique. A partir des vecteurs de Ritz correspondant aux plus basses valeurs propres, on construit des conditions d'interface et des grilles grossières qui annihilent l'erreur sur ces composantes. Les méthodes ont été testées sur des calculateurs parallèles pour des matrices issues de la simulation de milieux poreux.

Les équations de Maxwell en régime harmonique comportent plusieurs difficultés lorsque la fréquence est élevée. On peut notamment citer le fait que leur formulation variationnelle n’est pas définie positive et l’effet de pollution qui oblige à utiliser des maillages très fins, ce qui rend problématique la construction de solveurs itératifs. Nous proposons une stratégie de solution précise et rapide, qui associe une discrétisation par des éléments finis d’ordre élevé à des préconditionneurs de type décomposition de domaine. La conception, l’implémentation et l’analyse des deux méthodes sont assez difficiles pour les équations de Maxwell. Les éléments finis adaptés à l’approximation du champ électrique sont les éléments finis H(rot)-conformes ou d’arête. Ici nous revisitons les degrés de liberté classiques définis par Nédélec, afin d’obtenir une expression plus pratique par rapport aux fonctions de base d’ordre élevé choisies. De plus, nous proposons une technique pour restaurer la dualité entre les fonctions de base et les degrés de liberté. Nous décrivons explicitement une stratégie d’implémentation qui a été appliquée dans le langage open source FreeFem++. Ensuite, nous nous concentrons sur les techniques de préconditionnement du système linéaire résultant de la discrétisation par éléments finis. Nous commençons par la validation numérique d’un préconditionneur à un niveau, de type Schwarz avec recouvrement, avec des conditions de transmission d’impédance entre les sous-domaines. Enfin, nous étudions comment des préconditionneurs à deux niveaux, analysés récemment pour l’équation de Helmholtz, se comportent pour les équations de Maxwell, des points de vue théorique et numérique. Nous appliquons ces méthodes à un problème à grande échelle qui découle de la modélisation d’un système d’imagerie micro-onde, pour la détection et le suivi des accidents vasculaires cérébraux. La précision et la vitesse de calcul sont essentielles dans cette application. / The time-harmonic Maxwell’s equations present several difficulties when the frequency is large, such as the sign-indefiniteness of the variational formulation, the pollution effect and the problematic construction of iterative solvers. We propose a precise and efficient solution strategy that couples high order finite element (FE) discretizations with domain decomposition (DD) preconditioners. High order FE methods make it possible for a given precision to reduce significantly the number of unknowns of the linear system to be solved. DD methods are then used as preconditioners for the iterative solver: the problem defined on the global domain is decomposed into smaller problems on subdomains, which can be solved concurrently and using robust direct solvers. The design, implementation and analysis of both these methods are particularly challenging for Maxwell’s equations. FEs suited for the approximation of the electric field are the curl-conforming or edge finite elements. Here, we revisit the classical degrees of freedom (dofs) defined by Nédélec to obtain a new more friendly expression in terms of the chosen high order basis functions. Moreover, we propose a general technique to restore duality between dofs and basis functions. We explicitly describe an implementation strategy, which we embedded in the open source language FreeFem++. Then we focus on the preconditioning of the linear system, starting with a numerical validation of a one-level overlapping Schwarz preconditioner, with impedance transmission conditions between subdomains. Finally, we investigate how two-level preconditioners recently analyzed for the Helmholtz equation work in the Maxwell case, both from the theoretical and numerical points of view. We apply these methods to the large scale problem arising from the modeling of a microwave imaging system, for the detection and monitoring of brain strokes. In this application accuracy and computing speed are indeed of paramount importance.