Este trabalho tem por objetivo estudar todos os pré-requisitos e demonstrar o Teorema de Nichols-Zöeller. Para isso é realizado um estudo preliminar em tópicos selecionados da Teoria de Anéis e Módulos, visando o Teorema de Krull-Schmidt, e também da Teoria de Álgebras de Hopf, principalmente os resultados para dimensão finita. / The purpose of this work is to study all prerequisites and to prove the Nichols-Zöeller Theorem. For this we conducted a preliminary study on selected topics of Module and Ring Theory, aiming at the Krull-Schmidt Theorem, and also Hopf Algebras Theory, specially results for nite-dimensional case.

Neste trabalho estudamos açães parciais de grupos abelianos sobre um anel R (denotadas por (R,α)), com ação global envolvente (T,β). Construímos o anel de α-quocientes de Martindale Q de R e estendemos a ação parcial (R,α) a Q. Entre outros resultados provamos que existe uma correspondência obijetiva entre todos os ideais R-disjuntos fechados de R*α G e todos os ideais T-disjuntos fechados de T* α G. Também provamos que existe uma correspondênciao bijetiva entre todos os ideais R-disjuntos fechados de R* α G e todos os ideais Q-disjuntos fechados de Q* α G. Provamos que estas correspondências preservam ideais primos. Finalmente, usamos estes resultados para estudar algumas classes de ideais primos de R*α G como ideais fortemente primos e primos não singulares. / In this thesis we study partial actions of abelian groups on a ring R (denoted by (R,α )), with enveloping action (T,β). We construct the Martindale -quotient ring Q and we extend the partial action (R,α) to Q. Among others results we prove that there exist a one-to-one correspondence between the R-disjoint closed and prime ideals of R* α G and the T-disjoint closed and prime ideals of T* α G. We also prove that there exist a one-to-one correspondence between the R-disjoint closed and prime ideals of R* α G and the Q-disjoint closed and prime ideals of Q* α G. Finally, we use this results to study the strongly prime ideals and the nonsingular prime ideals of R*α G.

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En el presente trabajo se estudia la solubilidad de las ecuaciones de la forma xⁿ=g en los grupos de automorfismos ordenados de grupos totalmente ordenados arquimedianamente completos de rango 2. Se determina exactamente que automorfismos del único grupo abeliano de tal tipo tiene raíces cuadradas.

Issued also as the author's inaugural dissertation, Columbia University.

Issued also as the author's inaugural dissertation, Columbia University.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Fernanda Percia França (fernandafranca@bce.unb.br) on 2016-05-05T18:37:29Z No. of bitstreams: 1 2016_JéssycaCristineLimadeSouza.pdf: 440256 bytes, checksum: 0f1820f35879c5577661a1c1655b2450 (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2016-05-15T16:00:24Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_JéssycaCristineLimadeSouza.pdf: 440256 bytes, checksum: 0f1820f35879c5577661a1c1655b2450 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-15T16:00:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_JéssycaCristineLimadeSouza.pdf: 440256 bytes, checksum: 0f1820f35879c5577661a1c1655b2450 (MD5) / Seja φ um automorfismo de ordem prima p de um grupo finito G. A estrutura do subgrupo de pontos fixos CG(φ) em G tem forte influência sobre a estrutura de G. Por exemplo, sabemos que se CG(φ) = 1, então G é nilpotente com classe de nilpotência limitada em termos de p [[10] e [25]]. É natural considerar que o centralizador CG(φ) satisfaz algumas condições, como ter posto finito r, e analisar quais são as consequências sobre a estrutura de G. Em [16] é apresentada a questão de determinar se é verdade que, dado um grupo finito nilpotente G admitindo um automorfismo φ de ordem prima p tal que CG(φ) tem posto r, G sempre possui um subgrupo normal N tal que o posto de G/N é limitado em termos de p e r somente e N possui classe de nilpotência limitada em função de p. Em [24], que é a referência principal deste trabalho, Shumyatsky mostra que a questão posta antes possui resposta afirmativa no caso particular em que p = 2, ou seja, quando φ é uma involução. Também se prova que, se eliminarmos a hipótese de G ser nilpotente, o posto do centralizador CG(φ) da involução φ continua tendo forte impacto sobre a estrutura de um grupo G de ordem ímpar. Além disso, em algumas situações é até possível limitar o comprimento derivado de G em termos do posto de CG(φ). ______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Let G be a finite group admitting an automorphism φ of prime order p. The structure of the centralizer CG(φ) of φ in G has strong influence on the structure of G. For instance, it is well-know that if CG(φ) = 1, then G is nilpotent of nilpotency class bounded from above by a function of p [[10] and [25]]. It is natural to consider the situation when the centralizer CG(φ) satisfies some conditions, as being of finite rank r, and ask what kind of consequences we get on the structure of G. In [16], the following problem is raised: given a finite nilpotent group G admitting an automorphism φ of prime order p such that CG(φ) is of rank r, does this imply that the group G possess a normal subgroup N such that the rank of G/N is bounded in terms of p and r, and N has nilpotency class bounded from above by a fuction of p? In [24], the main reference of this essay, Shumyatsky shows that the question above has an affirmative answer in the particular case when p = 2, that is, when φ is an involutory automorphism. It is also proved that even if G is not nilpotent, the rank of the centralizer CG(φ) of an involutory automorphism φ still has a strong impact on the structure of a group G of odd order. Moreover, in some situations it is also possible to bound the derived length of G in terms of the rank of CG(φ).

Neste trabalho estudamos açães parciais de grupos abelianos sobre um anel R (denotadas por (R,α)), com ação global envolvente (T,β). Construímos o anel de α-quocientes de Martindale Q de R e estendemos a ação parcial (R,α) a Q. Entre outros resultados provamos que existe uma correspondência obijetiva entre todos os ideais R-disjuntos fechados de R*α G e todos os ideais T-disjuntos fechados de T* α G. Também provamos que existe uma correspondênciao bijetiva entre todos os ideais R-disjuntos fechados de R* α G e todos os ideais Q-disjuntos fechados de Q* α G. Provamos que estas correspondências preservam ideais primos. Finalmente, usamos estes resultados para estudar algumas classes de ideais primos de R*α G como ideais fortemente primos e primos não singulares. / In this thesis we study partial actions of abelian groups on a ring R (denoted by (R,α )), with enveloping action (T,β). We construct the Martindale -quotient ring Q and we extend the partial action (R,α) to Q. Among others results we prove that there exist a one-to-one correspondence between the R-disjoint closed and prime ideals of R* α G and the T-disjoint closed and prime ideals of T* α G. We also prove that there exist a one-to-one correspondence between the R-disjoint closed and prime ideals of R* α G and the Q-disjoint closed and prime ideals of Q* α G. Finally, we use this results to study the strongly prime ideals and the nonsingular prime ideals of R*α G.

Tese(doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2008. / Submitted by Diogo Trindade Fóis (diogo_fois@hotmail.com) on 2009-09-24T16:02:06Z No. of bitstreams: 1 Tese_RaulMoreiraBehs.pdf: 358244 bytes, checksum: df92b514a5185ef9641bfc57ac945626 (MD5) / Approved for entry into archive by Gomes Neide(nagomes2005@gmail.com) on 2010-05-27T11:52:34Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Tese_RaulMoreiraBehs.pdf: 358244 bytes, checksum: df92b514a5185ef9641bfc57ac945626 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-05-27T11:52:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese_RaulMoreiraBehs.pdf: 358244 bytes, checksum: df92b514a5185ef9641bfc57ac945626 (MD5) Previous issue date: 2008-03 / Seja G um grupo. Na literatura há uma gama bastante ampla de teoremas que ensinam como inferir determinada propriedade X para G, verificando X apenas nos membros de uma família teste TG, formada por alguns subgrupos ”pequenos”. A presente Tese é uma contribuição que segue esta linha de pesquisa. _______________________________________________________________________________ ABSTRACT / Let G be a group. In the literature, there are various theorems which teach how to conclude a certain property X for G, verifying X at the members of a test family TG, which consists of some ”small ” subgroups only. The present Thesis is a contribution which follows this research line.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2008. / Submitted by Jaqueline Ferreira de Souza (jaquefs.braz@gmail.com) on 2009-09-23T18:32:19Z No. of bitstreams: 1 2008_MarcioRobertoRochaRibeiro.pdf: 517215 bytes, checksum: f2a1c4b6931259d67d4c112acdb1b27c (MD5) / Approved for entry into archive by Gomes Neide(nagomes2005@gmail.com) on 2011-01-25T18:37:06Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2008_MarcioRobertoRochaRibeiro.pdf: 517215 bytes, checksum: f2a1c4b6931259d67d4c112acdb1b27c (MD5) / Made available in DSpace on 2011-01-25T18:37:06Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2008_MarcioRobertoRochaRibeiro.pdf: 517215 bytes, checksum: f2a1c4b6931259d67d4c112acdb1b27c (MD5) Previous issue date: 2008 / Consideramos Tn uma árvore regular uni-raiz de valência n 2, A seu grupo de isometrias e G(n) o subgrupo de A das isometrias finitárias, onde uma isometria é dita finitária se ela é uma extensão rígida de uma permutação de um determinado nível. Estudamos em alguns detalhes a estrutura de G(n). Descrevemos, de maneira indutiva, como produzir representantes de classes de conjugação de isometrias de G(n) e determinamos explicitamente um sistema completo de representantes de suas classes de conjugação. Tomamos NA(G(n)) o normalizador de G(n) em A, EndA(G(n)) o semigrupo de endomorfismos de G(n) induzidos por conjugação por elementos de A. Mostramos que 2 EndA(G(n)) se e somente se existe uma sequência {gi}i 0 de elementos de G(n) tais que =...g(i) ... g(1) 1 g0 e que 2 EndFn(G(n)) se e somente se = (m)g para algum m 0, g 2 G(n), onde Fn é o subgrupo das isometrias com um número finito de estados, e a notação a(r) indica a isometria (a, a,..., a) com nr repetições. Investigamos condições em gi e em g tais que 2 NA(G(n)) e 2 NFn(G(n)). __________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / We consider Tn the regular one-rooted n-ary tree, n 2, A its group of isometries and G(n) the finitary subgroup, where an isometry is said to be finitary if it is a rigid extension of a permutation of a certain level. We study in some details the structure of G(n). We construct inductively representatives of the conjugacy classes of G(n) and we determine explicitly a complete system of representatives of his conjugacy classes. We let NA(G(n)) be the normalizer of G(n) in A, EndA(G(n)) the semigroup of endomorphisms of G(n) induced by conjugation by elements of A. We show that 2 EndA(G(n)) if and only if there exists a sequence {gi}i 0 of elements of G(n) such that … g(i) i … g(1) 1 g0 and that 2 EndFn(G(n)) if and only if = (m)g for some m 0, g 2 G(n), where Fn is the subgroup of finite-state isometries and the notation a(r) indicates the isometry (a, a, … , a) with nr repetitions. We investigate conditions which gi, g should satisfy for 2 NA(G(n)) and 2 NFn(G(n)).