The dynamics of Hamiltonian systems (e.g. planetary motion, electron dynamics in nano-structures, molecular dynamics) can be investigated by symplectic maps. While a lot of work has been done for 2D maps, much less is known for higher dimensions. For a generic 4D map regular 2D-tori are organized around a skeleton of families of elliptic 1D-tori, which can be visualized by 3D phase-space slices. An analysis of the different bifurcations of the families of 1D-tori in phase space and in frequency space by computing the involved hyperbolic and elliptic 1D-tori is presented. Applying known results of normal form analysis, both the local and the global structure can be understood: Close to a bifurcation of a 1D-torus, the phase-space structures are surprisingly similar to bifurcations of periodic orbits in 2D maps. Far away the phase-space structures can be explained by remnants of broken resonant 2D-tori. / Die Dynamik Hamilton'scher Syteme (z.B. Planetenbewegung, Elektronenbewegung in Nanostrukturen, Moleküldynamik) kann mit Hilfe symplektischer Abbildungen untersucht werden. Bezüglich 2D Abbildungen wurde bereits umfassende Forschungsarbeit geleistet, doch für Systeme höherer Dimension ist noch vieles unverstanden. In einer generischen 4D Abbildung sind reguläre 2D-Tori um ein Skelett aus Familien von elliptischen 1D-Tori organisiert, was in 3D Phasenraumschnitten visualisiert werden kann. Durch die Berechnung der beteiligten hyperbolischen und elliptischen 1D-Tori werden die verschiedenen Bifurkationen der Familien von 1D-Tori im Phasenraum und im Frequenzraum analysiert. Die Anwendung bekannter Ergebnisse aus Normalformanalysen ermöglicht das Verständnis sowohl des lokalen, als auch des globalen Regimes. Nahe an der Bifurkation eines 1D-Torus sind die Phasenraumstrukturen denen von Bifurkationen periodischer Orbits in 2D Abbildungen überraschend ähnlich. Weit entfernt können die Phasenraumstrukturen als Überreste eines zerplatzten resonanten 2D-Torus erklärt werden.

The dynamics of Hamiltonian systems (e.g. planetary motion, electron dynamics in nano-structures, molecular dynamics) can be investigated by symplectic maps. While a lot of work has been done for 2D maps, much less is known for higher dimensions. For a generic 4D map regular 2D-tori are organized around a skeleton of families of elliptic 1D-tori, which can be visualized by 3D phase-space slices. An analysis of the different bifurcations of the families of 1D-tori in phase space and in frequency space by computing the involved hyperbolic and elliptic 1D-tori is presented. Applying known results of normal form analysis, both the local and the global structure can be understood: Close to a bifurcation of a 1D-torus, the phase-space structures are surprisingly similar to bifurcations of periodic orbits in 2D maps. Far away the phase-space structures can be explained by remnants of broken resonant 2D-tori. / Die Dynamik Hamilton'scher Syteme (z.B. Planetenbewegung, Elektronenbewegung in Nanostrukturen, Moleküldynamik) kann mit Hilfe symplektischer Abbildungen untersucht werden. Bezüglich 2D Abbildungen wurde bereits umfassende Forschungsarbeit geleistet, doch für Systeme höherer Dimension ist noch vieles unverstanden. In einer generischen 4D Abbildung sind reguläre 2D-Tori um ein Skelett aus Familien von elliptischen 1D-Tori organisiert, was in 3D Phasenraumschnitten visualisiert werden kann. Durch die Berechnung der beteiligten hyperbolischen und elliptischen 1D-Tori werden die verschiedenen Bifurkationen der Familien von 1D-Tori im Phasenraum und im Frequenzraum analysiert. Die Anwendung bekannter Ergebnisse aus Normalformanalysen ermöglicht das Verständnis sowohl des lokalen, als auch des globalen Regimes. Nahe an der Bifurkation eines 1D-Torus sind die Phasenraumstrukturen denen von Bifurkationen periodischer Orbits in 2D Abbildungen überraschend ähnlich. Weit entfernt können die Phasenraumstrukturen als Überreste eines zerplatzten resonanten 2D-Torus erklärt werden.

Many systems in nature, e.g. atoms, molecules and planetary motion, can be described as Hamiltonian systems. In such systems, the transport between different regions of phase space determines some of their most important properties like the stability of the solar system and the rate of chemical reactions. While the transport in lower-dimensional systems with two degrees of freedom is well understood, much less is known for the higher-dimensional case. A central new feature in higher-dimensional systems are transport phenomena due to resonance channels. In this thesis, we clarify the complex geometry of resonance channels in phase space and identify a turnstile mechanism that dominates the transport out of such channels. To this end, we consider the coupled standard map for numerical investigations as it is a generic example for 4D symplectic maps. At first, we visualize resonance channels in phase space revealing their highly non-trivial geometry. Secondly, we study the transport away from such channels. This is governed by families of hyperbolic 1D-tori and their stable and unstable manifolds. We provide an approach to measure the volume of a turnstile in higher dimensions as well as the corresponding transport. From the very good agreement of the two measurements we conclude that these structures are a suitable generalization of the well-known 2D turnstile mechanism to higher dimensions. / Viele Systeme in der Natur, z.B. Atome, Moleküle und Planetenbewegungen, können als Hamilton'sche Systeme beschrieben werden. In solchen Systemen bestimmt der Transport zwischen verschiedenen Regionen des Phasenraums einige ihrer wichtigsten Eigenschaften wie die Stabilität des Sonnensystems und die Geschwindigkeit chemischer Reaktionen. Während der Transport in niedrigdimensionalen Systemen mit zwei Freiheitsgraden gut verstanden ist, ist für den höherdimensionalen Fall deutlich weniger bekannt. Eine zentrales neues Merkmal von höherdimensionalen Systemen sind Transportphänomene aufgrund von Resonanzkanälen. In dieser Arbeit verdeutlichen wir die komplexe Geometrie von Resonanzkanälen im Phasenraum und identifizieren einen Drehkreuzmechanismus, der den Transport aus einem solchen Kanal heraus dominiert. Zu diesem Zweck betrachten wir die gekoppelte Standardabbildung für numerische Untersuchungen, da sie ein generisches Beispiel für 4D symplektische Abbildungen ist. Zuerst visualisieren wir Resonanzkanäle im Phasenraum und zeigen ihre höchst nicht-triviale Geometrie. Zweitens untersuchen wir den Transport weg von solchen Kanälen. Dieser wird durch Familien von hyperbolischen 1D-Tori sowie deren stabile und instabile Mannigfaltigkeiten bestimmt. Wir stellen einen Ansatz zur Messung sowohl des eingeschlossenen Volumens in höheren Dimensionen als auch des entsprechenden Transports vor. Aus der sehr guten Übereinstimmung der beiden Messungen schließen wir, dass diese Strukturen eine geeignete Verallgemeinerung des bekannten 2D Drehkreuzmechanismus in höheren Dimensionen sind.