Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra básica conexa de dimensão finita sobre K e ê=(e_1,e_2,... ,e_n) um conjunto completo de idempotentes ortogonais, primitivos e ordenados de A. O conjunto dos módulos estandares é o conjunto Delta ={ D_1, ..., D_n }, onde D_i é o quociente maximal do A-módulo projetivo P_i com fatores de composição simples S_j, com j\\leq i, F(Delta) é a subcategoria plena de mod A dos módulos têm uma Delta-filtração. Se A_A esta em F(Delta) diz-se que A é uma álgebra estandarmente estratificada. Se, além disso, para cada elemento em Delta vale que End_A(D_i) é isomorfo a K diz-se que A é uma álgebra álgebra quase-hereditária. Nesta dissertação estudamos as propriedades de F(Delta), especialmente quando A é estandarmente estratificada, e algumas condições necessárias e suficientes para que A seja quase-hereditária. / Let K be an algebraically closed field, A a basic, connected, finite dimensional K-algebra and ê=(e_1,e_2,...,e_n) a complete set of ordered primitive orthogonal idempotents of A. The set of standard modules is the set Delta={D_1, ..., D_n}, where D_i is the maximal factor submodule of P_i whose composition factors are isomorphic to S_j, for j\\leq i. We denote by F(Delta) the full subcategory of mod A containing the modules which are filtered by modules in Delta. If iA_A is in F(Delta) we say that A is standardly stratified. Moreover, if End_A(D_i) is isomorphic with K, for each element in Delta we say that A is quasi hereditary. In this work we study the properties of the category F(Delta), especially when A is stardardly stratified, and some necessary and sufficient conditions to A be quasi hereditary.

O principal tema deste trabalho é o estudo dos sistemas estratificantes sobre álgebras hereditárias. Um dos principais problemas é a construção de sistemas estratificantes completos cujos elementos sejam todos módulos regulares, sendo este problema resolvido para álgebras hereditárias do tipo mansa e as álgebras de Kronecker generalizadas. Para as álgebras hereditárias de tipo mansa exibimos um limitante para o tamanho dos sistemas estratificantes formados só de módulos regulares e, usando tal limitante, concluímos que não é possível que tais sistemas estratificantes sejam completos. Para as álgebras de Kronecker e as álgebras de Kronecker generalizadas concluimos que nenhum sistema estratificante sobre esta álgebra pode ter elementos regulares e construímos todos os possíveis sistemas estratificantes completos sobre esta álgebra. Definimos o conceito de sequência especial de um módulo inclinante, estabelecemos que todo módulo inclinante tem uma sequência especial e estudamos quando uma sequência, de dois e três somandos diretos de um módulo inclinante, é uma sequência especial. / The main topic of this work is the study of stratifying systems over hereditary algebras. One of the main questions to be considered is the construction of complete stratifying systems whose elements are regular modules. We solve this problem for tame hereditary algebras and for the Kronecker generalized algebras. In the case of tame hereditary algebras, we obtain a bound for the size of the stratifying systems composed only by regular modules and, by using this bound, we conclude that such stratifying systems can not be complete. For the Kronecker and for Kronecker the generalized algebras we conclude that no stratifing system over this algebra can have regular elements. Next we construct all possible complete stratifying systems over this algebra. Furthermore, we define the notion of special sequence of a tilting module and we establish that all tilting modules have an special ordenation. Also we study when an sequence of two and three direct summands of an tilting module, is a special ordenation.

O principal tema deste trabalho é o estudo dos sistemas estratificantes sobre álgebras hereditárias. Um dos principais problemas é a construção de sistemas estratificantes completos cujos elementos sejam todos módulos regulares, sendo este problema resolvido para álgebras hereditárias do tipo mansa e as álgebras de Kronecker generalizadas. Para as álgebras hereditárias de tipo mansa exibimos um limitante para o tamanho dos sistemas estratificantes formados só de módulos regulares e, usando tal limitante, concluímos que não é possível que tais sistemas estratificantes sejam completos. Para as álgebras de Kronecker e as álgebras de Kronecker generalizadas concluimos que nenhum sistema estratificante sobre esta álgebra pode ter elementos regulares e construímos todos os possíveis sistemas estratificantes completos sobre esta álgebra. Definimos o conceito de sequência especial de um módulo inclinante, estabelecemos que todo módulo inclinante tem uma sequência especial e estudamos quando uma sequência, de dois e três somandos diretos de um módulo inclinante, é uma sequência especial. / The main topic of this work is the study of stratifying systems over hereditary algebras. One of the main questions to be considered is the construction of complete stratifying systems whose elements are regular modules. We solve this problem for tame hereditary algebras and for the Kronecker generalized algebras. In the case of tame hereditary algebras, we obtain a bound for the size of the stratifying systems composed only by regular modules and, by using this bound, we conclude that such stratifying systems can not be complete. For the Kronecker and for Kronecker the generalized algebras we conclude that no stratifing system over this algebra can have regular elements. Next we construct all possible complete stratifying systems over this algebra. Furthermore, we define the notion of special sequence of a tilting module and we establish that all tilting modules have an special ordenation. Also we study when an sequence of two and three direct summands of an tilting module, is a special ordenation.

Sejam K um corpo algebricamente fechado, A uma K-álgebra básica conexa de dimensão finita sobre K e ê=(e_1,e_2,... ,e_n) um conjunto completo de idempotentes ortogonais, primitivos e ordenados de A. O conjunto dos módulos estandares é o conjunto Delta ={ D_1, ..., D_n }, onde D_i é o quociente maximal do A-módulo projetivo P_i com fatores de composição simples S_j, com j\\leq i, F(Delta) é a subcategoria plena de mod A dos módulos têm uma Delta-filtração. Se A_A esta em F(Delta) diz-se que A é uma álgebra estandarmente estratificada. Se, além disso, para cada elemento em Delta vale que End_A(D_i) é isomorfo a K diz-se que A é uma álgebra álgebra quase-hereditária. Nesta dissertação estudamos as propriedades de F(Delta), especialmente quando A é estandarmente estratificada, e algumas condições necessárias e suficientes para que A seja quase-hereditária. / Let K be an algebraically closed field, A a basic, connected, finite dimensional K-algebra and ê=(e_1,e_2,...,e_n) a complete set of ordered primitive orthogonal idempotents of A. The set of standard modules is the set Delta={D_1, ..., D_n}, where D_i is the maximal factor submodule of P_i whose composition factors are isomorphic to S_j, for j\\leq i. We denote by F(Delta) the full subcategory of mod A containing the modules which are filtered by modules in Delta. If iA_A is in F(Delta) we say that A is standardly stratified. Moreover, if End_A(D_i) is isomorphic with K, for each element in Delta we say that A is quasi hereditary. In this work we study the properties of the category F(Delta), especially when A is stardardly stratified, and some necessary and sufficient conditions to A be quasi hereditary.

Apresentamos uma generalização para as classes das álgebras quase inclinadas e quase hereditárias, que chamamos de álgebras m-quase inclinadas e m-quase hereditárias. Para estas últimas, pode-se obter uma trissecção de suas categorias de módulos determinada pelas subcategorias L^m = {X indecomponível; dimensão projetiva de Y é menor ou igual a m, para cada antecessor Y de X} e R = {X indecomponível; dimensão injetiva de Y é menor ou igual a 1, para cada sucessor Y de X}, além de ser possível mostrar que se existe um módulo E_m de forma a obtermos a igualdade de conjuntos {X módulo; Hom(E_m, \\tau X) = 0} = {X módulo; dimensão projetiva de X é menor ou igual a m}, então E_m é soma de somandos de módulos em R e todo caminho de indecomponíveis com início em um somando E de E_m e final em um módulo projetivo pode ser refinado a um caminho de morfismos irredutíveis, que é ainda seccional. Como consequência desse resultado obtém-se que as álgebras m-quase hereditárias são caracterizadas pelo fato de que todos seus módulos projetivos pertencem a L^m. É possível verificar que toda álgebra m-quase inclinada de dimensão global m+1 é m-quase hereditária e, consequentemente, que toda álgebra hereditária por partes de tipo mod H, para alguma álgebra hereditária H, com dimensão global m+1 é m-quase hereditária. Apresentamos ainda um exemplo de uma álgebra 2-quase hereditária que não é 2-quase inclinada, não sendo válida, portanto, a recíproca do resultado acima. Buscamos, dessa forma, estabelecer condições que quando assumidas sobre uma álgebra 2-quase hereditária possam garantir que esta é 2-quase inclinada e, em particular, hereditária por partes. Recorremos, para isso, à aplicação obtida por meio de uma adaptação de resultados de Happel, Reiten e Smalo, que sob certas hipóteses permite concluir que uma álgebra é álgebra de endomorfismos de um objeto inclinante. Como resultado, mostra-se que uma álgebra 2-quase hereditária com certas outras propriedades e que satisfaz as condições (H1), (H2) e (H3) é 2-quase inclinada. / We present a generalization of the classes of quasitilted and almost hereditary algebras, which we call m-quasitilted and m-almost hereditary algebras. For the latter one, we can obtain a trisection of their module categories determined by the following subcategories L^m = {X indecomposable; projective dimension of Y is at most m for each predecessor Y of X} and R = {X indecomposable; injective dimension of Y is at most 1 for each successor Y of X}. Moreover, if there exists a module E_m such that {X; Hom(E_m, \\tau X) = 0} = {X; projective dimension of X is at most m} then E_m is a sum of direct summands of modules in R and any path of indecomposable modules starting in a module E which is a direct summand of E_m and ending in a projective module can be refined to a path of irreducible morphisms, which is also sectional. This result on paths allow us to obtain a characterization for m-almost hereditary algebras in terms of their projective modules. It is also possible to prove that any m-quasitilted algebra with global dimension m+1 is a m-almost hereditary algebra and as a consequence we can obtain that any piecewise hereditary algebra of type mod H, for some hereditary algebra H, and with global dimension m+1 is m-almost hereditary. We present an example of a 2-almost hereditary which is not 2-quasitilted, which entails that the converse of the above mentioned result does not hold true. Thus we seek for conditions which can ensure that a given 2-almost hereditary is 2-quasitilted and, in particular, a piecewise hereditary algebra. For this, we use the correspondence obtained as an adaptation of results of Happel, Reiten and Smalo, which under certain assumptions shows that an algebra is an endomorphism algebra of a tilting object. It is shown that a 2-almost hereditary algebra with some other properties and satisfying (H1), (H2) and (H3) is 2-quasitilted.

<p>This thesis, consisting of three papers and a summary, studies properties of stratified algebras and representations of Lie superalgebras.</p><p>In Paper I we give a characterization when the Ringel dual of an SSS-algebra is properly stratified.</p><p>We show that for an SSS-algebra, whose Ringel dual is properly stratified, there is a (generalized) tilting module which allows one to compute the finitistic dimension of the SSS-algebra, and moreover, it gives rise to a new covariant Ringel-type duality.</p><p>In Paper II we give a characterization of standardly stratified algebras in terms of certain filtrations of (left or right) projective modules, generalizing the corresponding theorem of V. Dlab. We extend the notion of Ringel duality to standardly stratified algebras and estimate their finitistic dimension in terms of endomorphism algebras of standard modules.</p><p>Paper III deals with the queer Lie superalgebra and the corresponding BGG-category O. We show that the typical blocks correspond to standardly stratified algebras, and we generalize Kostant's Theorem to the queer Lie superalgebra.</p>

This thesis, consisting of three papers and a summary, studies properties of stratified algebras and representations of Lie superalgebras. In Paper I we give a characterization when the Ringel dual of an SSS-algebra is properly stratified. We show that for an SSS-algebra, whose Ringel dual is properly stratified, there is a (generalized) tilting module which allows one to compute the finitistic dimension of the SSS-algebra, and moreover, it gives rise to a new covariant Ringel-type duality. In Paper II we give a characterization of standardly stratified algebras in terms of certain filtrations of (left or right) projective modules, generalizing the corresponding theorem of V. Dlab. We extend the notion of Ringel duality to standardly stratified algebras and estimate their finitistic dimension in terms of endomorphism algebras of standard modules. Paper III deals with the queer Lie superalgebra and the corresponding BGG-category O. We show that the typical blocks correspond to standardly stratified algebras, and we generalize Kostant's Theorem to the queer Lie superalgebra.

Apresentamos uma generalização para as classes das álgebras quase inclinadas e quase hereditárias, que chamamos de álgebras m-quase inclinadas e m-quase hereditárias. Para estas últimas, pode-se obter uma trissecção de suas categorias de módulos determinada pelas subcategorias L^m = {X indecomponível; dimensão projetiva de Y é menor ou igual a m, para cada antecessor Y de X} e R = {X indecomponível; dimensão injetiva de Y é menor ou igual a 1, para cada sucessor Y de X}, além de ser possível mostrar que se existe um módulo E_m de forma a obtermos a igualdade de conjuntos {X módulo; Hom(E_m, \\tau X) = 0} = {X módulo; dimensão projetiva de X é menor ou igual a m}, então E_m é soma de somandos de módulos em R e todo caminho de indecomponíveis com início em um somando E de E_m e final em um módulo projetivo pode ser refinado a um caminho de morfismos irredutíveis, que é ainda seccional. Como consequência desse resultado obtém-se que as álgebras m-quase hereditárias são caracterizadas pelo fato de que todos seus módulos projetivos pertencem a L^m. É possível verificar que toda álgebra m-quase inclinada de dimensão global m+1 é m-quase hereditária e, consequentemente, que toda álgebra hereditária por partes de tipo mod H, para alguma álgebra hereditária H, com dimensão global m+1 é m-quase hereditária. Apresentamos ainda um exemplo de uma álgebra 2-quase hereditária que não é 2-quase inclinada, não sendo válida, portanto, a recíproca do resultado acima. Buscamos, dessa forma, estabelecer condições que quando assumidas sobre uma álgebra 2-quase hereditária possam garantir que esta é 2-quase inclinada e, em particular, hereditária por partes. Recorremos, para isso, à aplicação obtida por meio de uma adaptação de resultados de Happel, Reiten e Smalo, que sob certas hipóteses permite concluir que uma álgebra é álgebra de endomorfismos de um objeto inclinante. Como resultado, mostra-se que uma álgebra 2-quase hereditária com certas outras propriedades e que satisfaz as condições (H1), (H2) e (H3) é 2-quase inclinada. / We present a generalization of the classes of quasitilted and almost hereditary algebras, which we call m-quasitilted and m-almost hereditary algebras. For the latter one, we can obtain a trisection of their module categories determined by the following subcategories L^m = {X indecomposable; projective dimension of Y is at most m for each predecessor Y of X} and R = {X indecomposable; injective dimension of Y is at most 1 for each successor Y of X}. Moreover, if there exists a module E_m such that {X; Hom(E_m, \\tau X) = 0} = {X; projective dimension of X is at most m} then E_m is a sum of direct summands of modules in R and any path of indecomposable modules starting in a module E which is a direct summand of E_m and ending in a projective module can be refined to a path of irreducible morphisms, which is also sectional. This result on paths allow us to obtain a characterization for m-almost hereditary algebras in terms of their projective modules. It is also possible to prove that any m-quasitilted algebra with global dimension m+1 is a m-almost hereditary algebra and as a consequence we can obtain that any piecewise hereditary algebra of type mod H, for some hereditary algebra H, and with global dimension m+1 is m-almost hereditary. We present an example of a 2-almost hereditary which is not 2-quasitilted, which entails that the converse of the above mentioned result does not hold true. Thus we seek for conditions which can ensure that a given 2-almost hereditary is 2-quasitilted and, in particular, a piecewise hereditary algebra. For this, we use the correspondence obtained as an adaptation of results of Happel, Reiten and Smalo, which under certain assumptions shows that an algebra is an endomorphism algebra of a tilting object. It is shown that a 2-almost hereditary algebra with some other properties and satisfying (H1), (H2) and (H3) is 2-quasitilted.