This thesis consists of three parts. In the first part we look at Hopf algebras. We classify pointed rank one Hopf algebras over fields of prime characteristic which are generated as algebras by the first term of the coradical filtration. These Hopf algebras were classified by Radford and Krop for fields of characteristic zero. We obtain three types of Hopf algebras presented by generators and relations. The third type is new and has not previously appeared in literature. The second part of this thesis deals with Auslander-Reiten theory of finitedimensional algebras over fields. We consider G-transitive algebras and develop necessary conditions for them to have Auslander-Reiten components with Euclidean tree class. Thereby a result in [F3, 4.6] is corrected and generalized. We apply these results to G-transitive blocks of the universal enveloping algebras of restricted p-Lie algebras. Finally we deduce a condition for a smash product of a local basic algebra Λ with a commutative semi-simple group algebra to have components with Euclidean tree class, in terms of the components of the Auslander-Reiten quiver of Λ. In the last part we introduce and analyze Auslander-Reiten components for the bounded derived category of a finite-dimensional algebra. We classify derived categories whose Auslander-Reiten quiver has either a finite stable component or a stable component with finite Dynkin tree class or a bounded stable component. Their Auslander-Reiten quiver is determined. We use these results to show that certain algebras are piecewise hereditary. Also a necessary condition for the existence of components of Euclidean tree class is deduced. We determine components that contain shift periodic complexes.

Cette thèse est consacrée à l’étude de familles à un paramètre de coproduits sur lesfonctions symétriques et leurs analogues non commutatifs. On montre en introduisant une base appropriée qu’une famille à un paramètre d’algèbres de Hopf introduite par Foissy interpole entre l’algèbre de Faà di Bruno et l’algèbre de Farahat-Higman. Les constantes de structure dans cette base sont des déformations des constantes de structures de l’algèbre de Farahat-Higman dans la base des projections des classes de conjugaison. On obtient pour ces constantes de structure déformées un analogue des formules de Macdonald. Foissy a également introduit un analogue non commutatif de cette famille d’algèbres de Hopf, qui interpole entre l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives et l’algèbre de Faà di Bruno non commutative. Après avoir donné une nouvelle interprétation combinatoire de la formule de Brouder-Frabetti-Krattenthaler pour l’antipode de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative, qui est une forme de la formule d’inversion de Lagrange non commutative, on donne une déformation à un paramètre de cette formule. Plus précisément, on obtient une formule explicite pour l’antipode de la déformation de Foissy dans sa version non commutative. On donne aussi d’autres propriétés combinatoires de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative et d’autres résultats permettant d’étudier les deux familles d’algèbre de Hopf de Foissy. Ainsi, on généralise par exemple d’autres formes de la formule d’inversion de Lagrange non commutative en donnant d’autres formules qui calculent l’antipode de la deuxième déformation. / This thesis is devoted to study one-parameter families of coproducts on symmetric functionsand their noncommutative analogues. We show, by introducing an appropriate basis,that a one-parameter family of Hopf algebras introduced by Foissy interpolates between theFa`a di Bruno algebra and the Farahat-Higman algebra. The structure constants in this basisare deformations of the structure constants of the Farahat-Higman algebra in the basis ofprojections of conjugacy classes. For these deformed structure constants, we obtain an analogueof the Macdonald formulas.Foissy has also introduced a noncommutative analogue of this family of Hopf algebras. Itinterpolates between the Hopf algebra of noncommutative symmetric functions and the noncommutativeFa`a di Bruno algebra. First, we give a new combinatorial interpretation ofthe Brouder-Frabetti-Krattenthaler formula for the antipode of the noncommutative Fa`a diBruno algebra, that is a form of the noncommutative Lagrange inversion formula. Then, wegive a one-parameter deformation of this formula. Namely, it is an explicit formula for theantipode of the noncommutative family.We also give other combinatorial properties of the noncommutative Fa`a di Bruno algebra,and other results about the families of Hopf algebras of Foissy. In this way, we generalize otherforms of the noncommutative Lagrange inversion formula. Namely, we give other formulasfor the antipode of the noncommutative family.

Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico. / One of the most interesting properties of quantum particles is the indistinguishability of particles of the same kind (as for example two electrons). On three dimensions these particles are known to be either fermions or bosons depending on their statistical behaviour. The reason for that is topology, in other words these two possible statistics are due to the space topology. However, on two dimensions there are particles called anyons which are neither fermion nor boson; they may obey a fractional statistic or a even more weird non-abelian statistic - where a single exchange of two identical anyons a unitary transformation on the wave function instead of just acquiring a phase factor. As well as the usual fermionic and bosonic statistic, the anyonic statistic depends strongly on the space topology and thus anyonic systems are often used to describe topological phases of matter of two dimensional systems. In this work we are going to show some general (model free) aspects of anyonic systems and also analyse some many body systems that describe anyons as quasi-particle excitations. We will mostly study a class of model called quantum double models (QDMs). Quantum double models are (2+1)D models where the degrees of freedom are elements of a group G living on the edges of lattice and the dynamic is given by a many body hamiltonian. The QDM is a well known and studied model on the literature, however in this work we are going to show an alternative construction for QDMs which will play two very important roles in this thesis. First, it will allows us to obtain the QDMs from deforming a topological invariant, and that helps to easily identify the topological order on this model. Besides, one can also obtain a many body hamiltonian that represents a generalization of the the QDM hamiltonian. Some of these new models describe anyonic systems other than the ones that can be described by usual QDM. In other words, this new construction leads to a many body hamiltonian that can describe both quantum double models and generalizations of it as particular cases.

Neste trabalho, construímos duas generalizações de uma classe de modelos discretos bidimensionais, assim chamados \"Quantum Double Models\", definidos em variedades orientáveis, compactas e sem fronteiras. Na primeira generalização, introduzimos campos de matéria aos vértices e, na segunda, às faces. Além das propriedades básicas dos modelos, estudamos como se comporta a sua ordem topológica sob a hipótese de que os estados de base são indexados por grupos Abelianos. Na primeira generalização, surge um novo fenômeno de confinamento. Como consequência, a degenerescência do estado fundamental se torna independente do grupo fundamental sobre o qual o modelo está definido, dependendo da ação do grupo de calibre e do segundo grupo de homologia. A segunda generalização pode ser vista como o dual algébrico da primeira. Nela, as mesmas propriedades de confinamento de quasipartículas está presente, mas a degenerescência do estado fundamental continua dependendo do grupo fundamental. Além disso, degenerescências adicionais aparecem, relacionadas ao homomorfismo de coação entre os grupos de matéria e de calibre. / In this work, we constructed two generalizations of a class of discrete bidimensional models, the so called Quantum Double Models, defined in orientable, compact and boundaryless manifolds. In the first generalization we introduced matter fields to the vertices and, in the second one, to the faces. Beside the basic model properties, we studied its topological order behaviour under the hypothesis that the basic states be indexed by Abelian groups. In the first generalization, appears a new phenomenon of quasiparticle confinement. As a consequence, the ground state degeneracy becomes independent of the fundamental group of the manifold on which the model is defined, depending on the action of the gauge group and on the second group of homology. The second generalization can be seen as the algebraic dual of the first one. In it, the same quasiparticle confinement properties are present, but the ground state degeneracy stay dependent on the fundamental group. Besides, additional degeneracies appear, related to a coaction homomorphism between matter and gauge groups.

Teorias de campo discretas euclideanas invariantes por transformações que preservam a topologia e o volume dos espaços são estudadas em três dimensões. Teorias com tal simetria são chamadas de quasetopológicas. Os modelos são definidos em diagramas de Heegard, interpretados como uma generalização das triangulações e redes cúbicas. Quando um diagrama descreve uma triangulação, o seu gênero g corresponde ao número de tetraedros. Uma função de partição Z () é atribuída a cada diagrama . Nas teorias quase topológicas, Z() depende apenas de g e da topologia de . Ou seja, as operações de simetria são homeomorfismos que preservam o gênero. Nas triangulações, tem-se invariância por homeomorfismos que preservam o número de tetraedros. Provou-se que tais operações sempre podem ser escritas como composições de três operações elementares, batizadas de moves quase topológicos. Impondo-se invariância de Z pela ação dos moves, chegou-se a um sistema de equações que caracteriza as teorias quasetopológicas. Mostrou-se que a cada álgebra de Hopf corresponde uma solução simples do sistema. Uma nova generalização das álgebras de Hopf foi proposta como ansatz para uma solução mais geral, mas as condições de simetria a reduziram a uma álgebra de Hopf. Nesta generalização, a relação de biálgebra foi substituída por uma relação modificada mais fraca. Identidades tradicionais das álgebras de Hopf deixam de ser verificadas, mas uma série de relações semelhantes foi obtida. A generalização estudada sugere uma família de outras generalizações, com modificações diversas da relação de biálgebra, as quais podem ser usadas na busca de novos exemplos de teorias quasetopológicas. / Euclidean discrete field theories invariant under topology and volume preserving transformations are studied in three-dimensions. Theories with such symmetry are called quasitopological. The models are defined in Heegard diagrams, which are interpreted as a generalization of triangulations and cubic lattices. When a diagram describes a triangulation, its genus g corresponds to the number of tetrahedra. A partition function Z() is assigned to each diagram . In quasitopologica theories, Z() depends only on 9 and on the topology of V. In other words, the symmetry operations are genus preserving homeomorphisms. In the case of triangulations, there is invariance under homeomorphisms which preserve the number of tetrahedra. It was proved that such operatíons can always be written as compositions of three elementary operations, denoted quasitopological moves. Imposing invariance of Z under the action of the moves, a system of equations was found which characterizes quasitopological theories. It was shown that to each Hopf algebra corresponds a simple solution of the equations. A new generalization of Hopf algebras was proposed as an ansatz for a more general solution, but the symmetry conditions reduced it to a Hopf algebra. In this generalization, the bialgebra relation was replaced by an weaker modified one. Traditional identities of Hopf algebras are not verified, but a series of similar relations was obtained. The generalization considered suggests a fami1y of other generalizations, with varied modifications of the bialgebra relatiol1, which can be used in the search for new examples of quasitopological theories.

Orientadores: Adriano Adrega de Moura, Marcos Benevenuto Jardim / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-09-11T21:13:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Macedo_TiagoRodrigues_M.pdf: 809265 bytes, checksum: 0f4ecb72bd6a8b221a3514e62b63fd41 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Apresentaremos resultados relacionando a álgebra de distribuições de grupos de Chevalley com as chamadas hiperálgebras. Estas últimas são álgebras de Hopf construídas por redução módulo p da forma integral de Kostant para álgebras de Lie simples. Em seguida, tentamos, a partir de uma certa classe de álgebras de Hopf, a saber, álgebras de Hopf que são álgebras de distribuições de grupos algébricos, reconstruir esses grupos algébricos. / Abstract: We present some results which relate the algebra of distributions of a Chevalley group and the so called hyperalgebras. The latter are Hopf algebras obtained by reduction modulo p of the Kostant integral form of a simple Lie algebra. Then we try to rebuild algebraic groups from Hopf algebras which are their algebras of distribution. / Mestrado / Algebra / Mestre em Matemática

The study of deformations of an algebra has been a topic of interest for quite some time, since it allows us to not only produce new algebras but also better understand the original algebra. Given an algebra, finding all its deformations is, if at all possible, quite a challenging problem. For this reason, several specializations of this question have been proposed. For instance, some authors concentrate their efforts in the study of deformations of an algebra arising from an action of a Hopf algebra. The purpose of this dissertation is to discuss a general construction of a deformation of a smash product algebra coming from an action of a particular Hopf algebra. This Hopf algebra is generated by skew-primitive and group-like elements, and depends on a complex parameter. The smash product algebra is defined on the quantum symmetric algebra of a nite-dimensional vector space and a group. In particular, an application of this result has enabled us to find a deformation of such a smash product algebra which is, to the best of our knowledge, the first known example of a deformation in which the new relations in the deformed algebra involve elements of the original vector space. Finally, using Hochschild cohomology, we show that these deformations are nontrivial.

Teorias de campo discretas euclideanas invariantes por transformações que preservam a topologia e o volume dos espaços são estudadas em três dimensões. Teorias com tal simetria são chamadas de quasetopológicas. Os modelos são definidos em diagramas de Heegard, interpretados como uma generalização das triangulações e redes cúbicas. Quando um diagrama descreve uma triangulação, o seu gênero g corresponde ao número de tetraedros. Uma função de partição Z () é atribuída a cada diagrama . Nas teorias quase topológicas, Z() depende apenas de g e da topologia de . Ou seja, as operações de simetria são homeomorfismos que preservam o gênero. Nas triangulações, tem-se invariância por homeomorfismos que preservam o número de tetraedros. Provou-se que tais operações sempre podem ser escritas como composições de três operações elementares, batizadas de moves quase topológicos. Impondo-se invariância de Z pela ação dos moves, chegou-se a um sistema de equações que caracteriza as teorias quasetopológicas. Mostrou-se que a cada álgebra de Hopf corresponde uma solução simples do sistema. Uma nova generalização das álgebras de Hopf foi proposta como ansatz para uma solução mais geral, mas as condições de simetria a reduziram a uma álgebra de Hopf. Nesta generalização, a relação de biálgebra foi substituída por uma relação modificada mais fraca. Identidades tradicionais das álgebras de Hopf deixam de ser verificadas, mas uma série de relações semelhantes foi obtida. A generalização estudada sugere uma família de outras generalizações, com modificações diversas da relação de biálgebra, as quais podem ser usadas na busca de novos exemplos de teorias quasetopológicas. / Euclidean discrete field theories invariant under topology and volume preserving transformations are studied in three-dimensions. Theories with such symmetry are called quasitopological. The models are defined in Heegard diagrams, which are interpreted as a generalization of triangulations and cubic lattices. When a diagram describes a triangulation, its genus g corresponds to the number of tetrahedra. A partition function Z() is assigned to each diagram . In quasitopologica theories, Z() depends only on 9 and on the topology of V. In other words, the symmetry operations are genus preserving homeomorphisms. In the case of triangulations, there is invariance under homeomorphisms which preserve the number of tetrahedra. It was proved that such operatíons can always be written as compositions of three elementary operations, denoted quasitopological moves. Imposing invariance of Z under the action of the moves, a system of equations was found which characterizes quasitopological theories. It was shown that to each Hopf algebra corresponds a simple solution of the equations. A new generalization of Hopf algebras was proposed as an ansatz for a more general solution, but the symmetry conditions reduced it to a Hopf algebra. In this generalization, the bialgebra relation was replaced by an weaker modified one. Traditional identities of Hopf algebras are not verified, but a series of similar relations was obtained. The generalization considered suggests a fami1y of other generalizations, with varied modifications of the bialgebra relatiol1, which can be used in the search for new examples of quasitopological theories.

Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico. / One of the most interesting properties of quantum particles is the indistinguishability of particles of the same kind (as for example two electrons). On three dimensions these particles are known to be either fermions or bosons depending on their statistical behaviour. The reason for that is topology, in other words these two possible statistics are due to the space topology. However, on two dimensions there are particles called anyons which are neither fermion nor boson; they may obey a fractional statistic or a even more weird non-abelian statistic - where a single exchange of two identical anyons a unitary transformation on the wave function instead of just acquiring a phase factor. As well as the usual fermionic and bosonic statistic, the anyonic statistic depends strongly on the space topology and thus anyonic systems are often used to describe topological phases of matter of two dimensional systems. In this work we are going to show some general (model free) aspects of anyonic systems and also analyse some many body systems that describe anyons as quasi-particle excitations. We will mostly study a class of model called quantum double models (QDMs). Quantum double models are (2+1)D models where the degrees of freedom are elements of a group G living on the edges of lattice and the dynamic is given by a many body hamiltonian. The QDM is a well known and studied model on the literature, however in this work we are going to show an alternative construction for QDMs which will play two very important roles in this thesis. First, it will allows us to obtain the QDMs from deforming a topological invariant, and that helps to easily identify the topological order on this model. Besides, one can also obtain a many body hamiltonian that represents a generalization of the the QDM hamiltonian. Some of these new models describe anyonic systems other than the ones that can be described by usual QDM. In other words, this new construction leads to a many body hamiltonian that can describe both quantum double models and generalizations of it as particular cases.

Orientador: Dessislava Hristova Kochloukova / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T08:44:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Lazaro_CristianeAlexandra_D.pdf: 1091031 bytes, checksum: f0d50a933bc78e9414aef5c8219b96bf (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Sejam L uma álgebra de Lie' metabeliana sobre um corpo k, sendo L uma extensão cindida de A por B, onde A e B são álgebras de Lie abelianas, ou seja, temos A >---+ L ---77 B extensão cindida de álgebras de Lie. Denotemos por U (L) a álgebra universal envelopante de L. E consideremos Q um grupo abeliano finitamente gerado agindo sobre A e B tal que a ação sobre. B é trivial tal que temos a seguinte extensão cindida de álgebras de Hopf ...Observação: O resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital / Abstract: Suppose L is a metabelian Lie algebra over a field k such that L is a split extension of A by B, where A and B are abelian Lie algebras, ie, there is a split extension A > 7 L ---7r B af Lie algebras. We denote by U(L) the universal enveloping algebra of the Lie algebra L. Furthermore we suppose Q is a finitely generated abelian group that acts on A and B and the action on B is trivial. Consider the split extension of Hopf algebras...Note: The complete abstract is available with the full electronic digital thesis or dissertations / Doutorado / Algebra / Doutor em Matemática