Les résultats de Colson ou de Moschovakis remettent en question que le modèle récursif primitif puisse calculer une valeur par tous les moyens possibles : il y a toutes les fonctions voulues mais il manque des algorithmes. La thèse de Church exprime donc plutôt ce qui peut être calculé que comment le calcul est fait. Nous utilisons la thèse de Gurevich formalisant l'idée intuitive d'algorithme séquentiel par les Abstract States Machines (ASMs).Nous représentons les programmes impératifs par le langage While de Jones, et une variante LoopC du langage de Meyer et Ritchie permettant de sortir d'une boucle lorsqu'une condition est remplie. Nous dirons qu'un langage caractérise une classe algorithmique si les modèles de calcul associés peuvent se simuler mutuellement, en utilisant une dilatation temporelle et un nombre borné de variables temporaires. Nous prouvons que les ASMs peuvent simuler While et LoopC, que si l'espace est primitif récursif alors LoopC est en temps récursif primitif, et que sa restriction LoopC_stat où les bornes des boucles ne peuvent être mises à jour est en temps polynomial. Réciproquement, une étape d'ASM peut être traduite par un programme sans boucle, qu'on peut répéter suffisamment en l'insérant dans un programme qui est dans While si la complexité est quelconque, dans LoopC si elle est récursif primitif, et dans LoopC_stat si elle est polynomiale.Ainsi While caractérise les algorithmes séquentiels en temps quelconque, LoopC ceux en temps et espace récursifs primitifs, et LoopC_stat ceux en temps polynomial / Colson and Moschovakis results cast doubt on the ability of the primitive recursive model to compute a value by any means possible : the model may be complete for functions but there is a lack of algorithms. So the Church thesis express more what can be computed than how the computation is done. We use Gurevich thesis to formalize the intuitive idea of sequential algorithm by the Abstract States Machines (ASMs).We formalize the imperative programs by Jones' While language, and a variation LoopC of Meyer and Ritchie's language allowing to exit a loop if some condition is fulfilled. We say that a language characterizes an algorithmic class if the associated models of computations can simulate each other using a temporal dilatation and a bounded number of temporary variables. We prove that the ASMs can simulate While and LoopC, that if the space is primitive recursive then LoopC is primitive recursive in time, and that its restriction LoopC_stat where the bounds of the loops cannot be updated is in polynomial time. Reciprocally, one step of an ASM can be translated into a program without loop, which can be repeated enough times if we insert it onto a program in While for a general complexity, in LoopC for a primitive recursive complexity, and in LoopC_stat for a polynomial complexity.So While characterizes the sequential algorithms, LoopC the algorithms in primitive recursive space and time, and LoopC_stat the polynomial time algorithms

La complexité implicite est la caractérisation de classes de complexité par des restrictions syntaxiques sur des modèles de calcul. Plusieurs sous-systèmes de la logique linéaire caractérisant le temps polynomial ont été définis: ces systèmes sont corrects (les termes normalisent en temps polynomial) et complets (il est possible de simuler une machine de Turing pendant un nombre polynomial d'étapes). Un des buts sur le long terme est de donner statiquement des bornes de complexité. C’est pourquoi nous cherchons les caractérisations du temps polynomial les plus expressives possible. Notre principal outil est la sémantique des contextes: des jetons voyagent à travers le réseau selon certaines règles. Les chemins définis par ces jetons représentent la réduction du réseau. Contrairement aux travaux précédents, nous ne définissons pas directement des sous-systèmes de la logique linéaire. Nous définissons d'abord des relations -> sur les sous-termes des réseaux de preuves tel que: B -> C ssi ”le nombre de copies de B dépend du nombre de copies de C”. L’acyclicité de -> borne le nombre de copies de chaque sous-terme, donc la complexité du terme. Ensuite nous définissons des sous-systèmes de la logique linéaire assurant l’acyclicité de ->. Nous étudions aussi des caractérisations du temps élémentaire et primitif récursif. Dans le but d’adapter nos sous-systèmes de la logique linéaire à des langages plus riches, nous adaptons la sémantique des contextes aux réseaux d’interaction, utilisés comme langage cible pour de petits langage de programmation. Nous utilisons cette sémantique des contexte pour définir une sémantique dénotationnelle sur les réseaux d’interactions. / Implicit computational complexity is the characterization of complexity classes by syntactic restrictions on computation models. Several subsystems of linear logic characterizing polynomial time have been defined : these systems are sound (terms normalize in polynomial time) and complete (it is possible to simulate a Turing machine during a polynomial number of steps). One of the long term goals is to statically prove complexity bounds. This is why we are looking for the most expressive characterizations possible. Our main tool is context semantics : tokens travel across proof-nets (programs of linear logic) according to some rules. The paths defined by these tokens represent the reduction of the proof-net.Contrary to previous works, we do not directly define subsystems of linear logic. We first define relations -> on subterms of proof-nets such that: B -> C means \the number of copies of B depends on the number of copies of C". The acyclicity of -> allows us to bound the number of copies of any subterm, this bounds the complexity of the term. Then, we define subsystems of linear logic guaranteeing the acyclicity of ->. We also study characterizations of elementary time and primitive recursive time. In orderto adapt our linear logic subsystems to richer languages, we adapt the context semantics to interaction nets, used as a target language for small programming languages. We use this context semantics to define a denotational semantics on interaction nets.

On étudie dans cette thèse une structure de semi-anneau dont le produit est basé sur la règle de résolution de la programmation logique. Cet objet mathématique a été initialement introduit dans le but de modéliser la procédure d'élimination des coupures de la logique linéaire, dans le cadre du programme de géométrie de l'interaction. Il fournit un cadre algébrique et abstrait, tout en étant présenté sous une forme syntaxique et concrète, dans lequel mener une étude théorique du calcul. On reviendra dans un premier temps sur l'interprétation interactive de la théorie de la démonstration dans ce semi-anneau, via l'axiomatisation catégorique de l'approche de la géométrie de l'interaction. Cette interprétation établit une traduction des programmes fonctionnels vers une forme très simple de programmes logiques. Dans un deuxième temps, on abordera des problématiques de théorie de la complexité: bien que le problème de la nilpotence dans le semi-anneau étudié soit indécidable en général, on fera apparaître des restrictions qui permettent de caractériser le calcul en espace logarithmique (déterministe et non-déterministe) et en temps polynomial (déterministe). / We study in this thesis a semiring structure with a product based on the resolution rule of logic programming. This mathematical object was introduced initially in the setting of the geometry of interaction program in order to model the cut-elimination procedure of linear logic. It provides us with an algebraic and abstract setting, while being presented in a syntactic and concrete way, in which a theoretical study of computation can be carried on. We will review first the interactive interpretation of proof theory within this semiring via the categorical axiomatization of the geometry of interaction approach. This interpretation establishes a way to translate functional programs into a very simple form of logic programs. Secondly, complexity theory problematics will be considered: while the nilpotency problem in the semiring we study is undecidable in general, it will appear that certain restrictions allow for characterizations of (deterministic and non-deterministic) logarithmic space and (deterministic) polynomial time computation.