Nous étudions des estimations apriori du type sup *inf pour les solutions de l' équation de la courbure sclaire prescrite dans un ouvert de R^n. Nous donnons des résultats quand l'exposant est sous-critique tendant vers l'exposant critique de Sobolev, la perturbation du à l'exposant sous-critique apparait dans l'estimation a priori, ce résultat est vrai en toute dimension superieure ou egale à 3 avec des conditions minimales sur les courbures scalaires prescrites. Nous etudions aussi les cas n=3 et 4, mais sans avoir de perturnation sous-critique. Nous obtenons des inégalités à priori du type (sup)^(1/3) * inf borné sur tout compact de R^3, alors qu'en dimension 4, si les minimas sont uniformément minorés, les maxims sur tout compact sont uniformément majorés. Nous traitons également, le cas où on a une perturbation de l'équation par un terme non linéaire mais en puissance sous-critique, dans ce cas la majorations du sup* inf est obtenue. Dans notre travail, nous nous occupons de la minoration du sup *inf sur une variété compacte de dimension >=2, pour l'équation de la courbure sclaire prescrite, on prouve que si la courbure sclaire est positive sans etre identiquement nulle, alors il y a majorations du sup*inf. Quand à la dimension 2, le résultat est obtenu sur toute surface de Riemann avec des hypotheses de bornitude uniforme du gradient des courbures scalaires prescrites. Pour le cas de la sphère, cette derniere condition n'est pas imposée, la positivité et bornitude uniforme des courbures scalaires prescrites suffisent.

On s'intéresse à la géométrie des variétés de courbure de Ricci presque supérieure à $k$ (i.e. telle qu'une norme $L^p$---locale ou globale---de la fonction $(\underline(\rm Ric)-k)^-$ soit petite, où $\underline(\rm Ric)(x)$ est la plus petite valeur propre de la courbure de Ricci en $x$). On démontre sous cette hypothèse les équivalents des inégalités géométriques classiques de Myers, de Bishop-Gromov, de Lichnerowicz,... puis on caractérise les variétés qui réalisent presque les cas d'égalité (généralisant des travaux de T.~Colding et de P.~Petersen). Sur une variété compacte $M^n$ de courbure presque positive, le laplacien sur les 1-formes a au plus $n$ petites valeurs propres. S'il a exactement $n$ petites valeurs propres ($n-1$ suffisent si $M$ est orientable) alors $M$ est difféomorphe à une Nilvariété et la métrique est presque invariante à gauche. Ces résultats découlent d'estimées analytiques établies dans la première partie de la thèse.