L’objectif de cette étude est de simuler l’érosion d’un sol cohésif sous l’effet d’un écoulement incompressible. Le modèle élaboré décrit une vitesse d’érosion interfaciale qui dépend de la contrainte de cisaillement de l’écoulement. La modélisation numérique proposée est une approche eulérienne, où une méthode de pénalisation de domaines est utilisée pour résoudre les équations de Navier-Stokes autour d’un obstacle. L’interface eau/sol est décrite par une fonction Level Set couplée à une loi d’érosion à seuil.L’approximation numérique est basée sur un schéma DDFV (Discrete Duality Finite Volume) autorisant des raffinements locaux sur maillages non-conformes et non-structurés. L’approche par pénalisation a mis en évidence une couche limite d'inconsistance à l'interface fluide/solide lors du calcul de la contrainte de cisaillement. Deux approches sont proposées pour estimer précisément la contrainte de ce problème à frontière libre. La pertinence du modèle à prédire l’érosion interfaciale du sol est confirmée par la présentation de plusieurs résultats de simulation, qui offrent une meilleure évaluation et compréhension des phénomènes d'érosion / This study focuses on the numerical modelling of the interfacial erosion occurring at a cohesive soil undergoing an incompressible flow process. The model assumes that the erosion velocity is driven by a fluid shear stress at the water/soil interface. The numerical modelling is based on the eulerian approach: a penalization procedure is used to compute Navier-Stokes equations around soil obstacle, with a fictitious domain method, in order to avoid body- fitted unstructured meshes. The water/soil interface’s evolution is described by a Level Set function coupled to a threshold erosion law.Because we use adaptive mesh refinement, we develop a Discrete Duality Finite Volume scheme (DDFV), which allows non-conforming and non-structured meshes. The penalization method, used to take into account a free velocity in the soil with non-body-fitted mesh, introduces an inaccurate shear stress at the interface. We propose two approaches to compute accurately the erosion velocity of this free boundary problem. The ability of the model to predict the interfacial erosion of soils is confirmed by presenting several simulations that provide better evaluation and comprehension of erosion phenomena.

Une méthode numérique précise et efficace est proposée pour la simulation de corps déformables interagissant avec un écoulement incompressible. Les équations de Navier-Stokes, considérées dans leur formulation vorticité fonction de courant, sont discrétisées temporellement et spatialement à l'aide respectivement d'un schéma d'ordre 4 de Runge-Kutta et par des différences finies compactes. Grâce à l'utilisation d'un maillage uniforme, nous proposons un nouveau solveur direct au quatrième ordre pour l'équation de Poisson, permettant de garantir l'incompressibilité au zéro machine sur une grille optimale. L'introduction d'un corps déformable dans l'écoulement de fluide est réalisée au moyen d'une méthode de pénalisation de volume. La déformation du corps est imposée par l'utilisation d'un maillage lagrangien structuré mobile qui interagit avec le fluide environnant en raison des forces hydrodynamiques et du moment (calculés sur le maillage eulérien de référence). Une loi de contrôle efficace de la courbure d'un poisson anguilliforme nageant vers une cible prescrite est proposée. La méthode numérique développée prouve son efficacité et précision tant dans le cas de la nage du poisson mais aussi plus d'un grand nombre de problèmes d'interactions fluide-structure. / We present an efficient algorithm for simulation of deformable bodies interacting with two-dimensional incompressible flows. The temporal and spatial discretizations of the Navier--Stokes equations in vorticity stream-function formulation are based on classical fourth-order Runge--Kutta and compact finite differences, respectively. Using a uniform Cartesian grid we benefit from the advantage of a new fourth-order direct solver for the Poisson equation to ensure the incompressibility constraint down to machine zero over an optimal grid. For introducing a deformable body in fluid flow, the volume penalization method is used. A Lagrangian structured grid with prescribed motion covers the deformable body which is interacting with the surrounding fluid due to the hydrodynamic forces and the torque calculated on the Eulerian reference grid. An efficient law for controlling the curvature of an anguilliform fish, swimming toward a prescribed goal, is proposed which is based on the geometrically exact theory of nonlinear beams and quaternions. Validation of the developed method shows the efficiency and expected accuracy of the algorithm for fish-like swimming and also for a variety of fluid/solid interaction problems.

A new combination of techniques for the numerical computation of incompressible flow is presented. The temporal discretization bases on the discontinuous Galerkin-formulation. Both constant (DG(0)) and linear approximation (DG(1)) in time is discussed. In case of DG(1) an iterative method reduces the problem to a sequence of problems each with the dimension of the DG(0) approach. For the semi-discrete problems a Galerkin/least-squares method is applied. Furthermore a non-overlapping domain decomposition method can be used for a parallelized computation. The main advantage of this approach is the low amount of information which must be exchanged between the subdomains. Due to the slight bandwidth a workstation-cluster is a suitable platform. Otherwise this method is efficient only for a small number of subdomains. The interface condition is of the Robin/Robin-type and for the Navier-Stokes equation a formulation introducing a further pressure interface condition is used. Additionally a suggestion for the implementation of the standard k-epsilon turbulence model with special wall function is done in this context. All the features mentioned above are implemented in a code called ParallelNS. Using this code the verification of this approach was done on a large number of examples ranging from simple advection-diffusion problems to turbulent convection in a closed cavity.

The labyrinth seal is a non-contact annular type sealing device used to reduce the internal leakage of the working fluid which is caused by the pressure difference between each stage in a turbomachine. Reducing the leakage mass flow rate of the working fluid through the labyrinth seal is desirable because it improves the efficiency of the turbomachine. The carry-over coefficient, based on the divergence angle of the jet, changed with flow parameters with fixed seal geometry while earlier models expressed the carry-over coefficient solely as a function of seal geometry. For both compressible and incompressible flows, the Reynolds number based on clearance was the only flow parameter which could influence the carry-over coefficient. In the case of incompressible flow based on the simulations for various seal geometries and operating conditions, for a given Reynolds number, the carry-over coefficient strongly depended on radial clearance to tooth width ratio. Moreover, in general, the lower the Reynolds number, the larger is the divergence angle of the jet and this results in a smaller carry-over coefficient at lower Reynolds numbers. However, during transition from laminar to turbulent, the carry-over coefficient reduced initially and once the Reynolds number attained a critical value, the carry-over coefficient increased again. In the case of compressible flow, the carry-over coefficient had been slightly increased if radial clearance to tooth width ratio and radial clearance to tooth pitch ratio were increased. Further, the carry-over coefficient did not considerably change if only radial clearance to tooth width ratio was decreased. The discharge coefficient for compressible and incompressible flows depended only on the Reynolds number based on clearance. The discharge coefficient of the tooth in a single cavity labyrinth seal was equivalent to that in a multiple tooth labyrinth seal indicating that flow downstream had negligible effect on the discharge coefficient. In particular, for compressible fluid under certain flow and seal geometric conditions, the discharge coefficient did not increase with an increase in the Reynolds number. It was correlated to the pressure ratio, Pr. Moreover, it was also related to the fact that the flow of the fluid through the constriction became compressible and the flow eventually became choked. At low pressure ratios (less than 0.7), Saikishan’s incompressible model deviated from CFD simulation results. Hence, the effects of compressibility became significant and both the carry-over coefficient compressibility factor and the discharge coefficient compressibility factor needed to be considered and included into the leakage model. The carry-over coefficient compressibility factor, phi, had two linear relationships with positive and negative slopes regarding the pressure ratios. This result was not associated with the seal geometry because the seal geometry ratios for each instance were located within the nearly same ranges. Further, the phi-Pr relationship was independent of the number of teeth regardless of single and multiple cavity labyrinth seals. The discharge coefficient compressibility factor, psi, was a linear relationship with pressure ratios across the tooth as Saikishan predicted. However, in certain flow and seal geometric conditions, Saikishan’s model needed to be modified for the deviation appearing when the pressure ratios were decreased. Hence, a modified psi-Pr relationship including Saikishan’s model was presented in order to compensate for the deviation between the simulations and his model.

A new combination of techniques for the numerical computation of incompressible flow is presented. The temporal discretization bases on the discontinuous Galerkin-formulation. Both constant (DG(0)) and linear approximation (DG(1)) in time is discussed. In case of DG(1) an iterative method reduces the problem to a sequence of problems each with the dimension of the DG(0) approach. For the semi-discrete problems a Galerkin/least-squares method is applied. Furthermore a non-overlapping domain decomposition method can be used for a parallelized computation. The main advantage of this approach is the low amount of information which must be exchanged between the subdomains. Due to the slight bandwidth a workstation-cluster is a suitable platform. Otherwise this method is efficient only for a small number of subdomains. The interface condition is of the Robin/Robin-type and for the Navier-Stokes equation a formulation introducing a further pressure interface condition is used. Additionally a suggestion for the implementation of the standard k-epsilon turbulence model with special wall function is done in this context. All the features mentioned above are implemented in a code called ParallelNS. Using this code the verification of this approach was done on a large number of examples ranging from simple advection-diffusion problems to turbulent convection in a closed cavity.

Dans cette thèse, nous présentons une nouvelle méthode smoothed particle hydrodynamics (SPH) pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles, même en présence des forces singulières. Les termes de sources singulières sont traités d'une manière similaire à celle que l'on retrouve dans la méthode Immersed Boundary (IB) de Peskin (2002) ou de la méthode régularisée de Stokeslets (Cortez, 2001). Dans notre schéma numérique, nous mettons en oeuvre une méthode de projection sans pression de second ordre inspirée de Kim et Moin (1985). Ce schéma évite complètement les difficultés qui peuvent être rencontrées avec la prescription des conditions aux frontières de Neumann sur la pression. Nous présentons deux variantes de cette approche: l'une, Lagrangienne, qui est communément utilisée et l'autre, Eulerienne, car nous considérons simplement que les particules SPH sont des points de quadrature où les propriétés du fluide sont calculées, donc, ces points peuvent être laissés fixes dans le temps. Notre méthode SPH est d'abord testée à la résolution du problème de Poiseuille bidimensionnel entre deux plaques infinies et nous effectuons une analyse détaillée de l'erreur des calculs. Pour ce problème, les résultats sont similaires autant lorsque les particules SPH sont libres de se déplacer que lorsqu'elles sont fixes. Nous traitons, par ailleurs, du problème de la dynamique d'une membrane immergée dans un fluide visqueux et incompressible avec notre méthode SPH. La membrane est représentée par une spline cubique le long de laquelle la tension présente dans la membrane est calculée et transmise au fluide environnant. Les équations de Navier-Stokes, avec une force singulière issue de la membrane sont ensuite résolues pour déterminer la vitesse du fluide dans lequel est immergée la membrane. La vitesse du fluide, ainsi obtenue, est interpolée sur l'interface, afin de déterminer son déplacement. Nous discutons des avantages à maintenir les particules SPH fixes au lieu de les laisser libres de se déplacer. Nous appliquons ensuite notre méthode SPH à la simulation des écoulements confinés des solutions de polymères non dilués avec une interaction hydrodynamique et des forces d'exclusion de volume. Le point de départ de l'algorithme est le système couplé des équations de Langevin pour les polymères et le solvant (CLEPS) (voir par exemple Oono et Freed (1981) et Öttinger et Rabin (1989)) décrivant, dans le cas présent, les dynamiques microscopiques d'une solution de polymère en écoulement avec une représentation bille-ressort des macromolécules. Des tests numériques de certains écoulements dans des canaux bidimensionnels révèlent que l'utilisation de la méthode de projection d'ordre deux couplée à des points de quadrature SPH fixes conduit à un ordre de convergence de la vitesse qui est de deux et à une convergence d'ordre sensiblement égale à deux pour la pression, pourvu que la solution soit suffisamment lisse. Dans le cas des calculs à grandes échelles pour les altères et pour les chaînes de bille-ressort, un choix approprié du nombre de particules SPH en fonction du nombre des billes N permet, en l'absence des forces d'exclusion de volume, de montrer que le coût de notre algorithme est d'ordre O(N). Enfin, nous amorçons des calculs tridimensionnels avec notre modèle SPH. Dans cette optique, nous résolvons le problème de l'écoulement de Poiseuille tridimensionnel entre deux plaques parallèles infinies et le problème de l'écoulement de Poiseuille dans une conduite rectangulaire infiniment longue. De plus, nous simulons en dimension trois des écoulements confinés entre deux plaques infinies des solutions de polymères non diluées avec une interaction hydrodynamique et des forces d'exclusion de volume. / In this thesis we develop a new smoothed particle hydrodynamics (SPH) method suitable for solving the incompressible Navier-Stokes equations, even with singular forces. Singular source terms are handled in a manner similar to that in the immersed boundary (IB) method of Peskin (2002) or in the method of regularized Stokeslets (Cortez, 2001). The numerical scheme implements a second-order pressure-free projection method due to Kim and Moin (1985) and completely obviates the difficulties that may be faced in prescribing Neumann pressure boundary conditions. We present two variants of this approach, one Langrangian which is commonly used and one Eulerian, simply because we consider that the SPH particles are quadrature points on which the fluid properties are calculated, therefore, these points can be kept fixed in time. The proposed SPH method is first tested on the planar start-up Poiseuille problem and a detailed error analysis is performed. For this problem, the results are similar whether the SPH particles are free to move or fixed on a regular grid. Our hybrid SPH-IB method is then used to calculate the dynamics of a stretched immersed elastic membrane. The membrane is represented by a cubic spline along which the tension in the membrane is computed and transmitted to the surrounding fluid. The Navier-Stokes equations with singular force due to the membrane are then solved to determine the velocity of the fluid in which the membrane is immersed. The fluid velocity thus obtained is interpolated on the interface, to determine its displacement. We discuss the advantages, in this problem, of fixing the SPH particles, rather than allowing them to move with the fluid. A new coupled Brownian dynamics-SPH method for the computation of confined flows of non-dilute polymer solutions with full hydrodynamic interaction and excluded volume forces is next presented. The starting point for the algorithm is the system of coupled Langevin equations for polymer and solvent (CLEPS) (see Oono and Freed (1981) and Öttinger and Rabin (1989), for example) describing, in the present case, the microscopic dynamics of a flowing polymer solution with a bead-spring representation of the macromolecules. Numerical tests of some two-dimensional channel flows reveal that use of a second-order projection scheme coupled with fixed SPH quadrature points leads to second-order velocity convergence and almost second-order pressure convergence, provided that the solution is sufficiently smooth. In the case of large-scale dumbbell and bead-spring chain calculations, an appropriate scaling of the number of grid points as a function of the number of beads N ensures, in the absence of excluded volume forces, that the cost of our algorithm is O(N) flops. Finally, we begin calculations in three dimensions with our SPH model. To this end, we solve in three dimensions the problem of Poiseuille flow between two infinite and parallel plates and the problem of Poiseuille flow in a rectangular infinitely long duct. In addition, we carry out three dimensional computations of confined flows of non-dilute polymer solutions with full hydrodynamic interaction and excluded volume forces.

L'objectif de cette thèse consiste à étudier la méthode de pénalité-projection vectorielle notée VPP (Vector Penalty-Projection method), qui est une méthode à pas fractionnaire pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressible avec conditions aux limites ouvertes. Nous présentons une revue bibliographique des méthodes de projection traitant le couplage de vitesse et de pression. Nous nous intéressons dans un premier temps aux conditions de Dirichlet sur toute la frontière. Les tests numériques montrent une convergence d'ordre deux en temps pour la vitesse et la pression et prouvent que la méthode est rapide et peu coûteuse en terme de nombre d'itérations par pas de temps. En outre, nous établissons des estimations d'erreurs de la vitesse et de la pression et les essais numériques révèlent une parfaite concordance avec les résultats théoriques. En revanche, la contrainte d'incompressibilité n'est pas exactement nulle et converge avec un ordre de O(varepsilondelta t) où varepsilon est un paramètre de pénalité choisi assez petit et delta t le pas temps. Dans un second temps, la thèse traite les conditions aux limites ouvertes naturelles. Trois types de conditions de sortie sont étudiés et testés numériquement pour l'étape de projection. Nous effectuons des comparaisons quantitatives des résultats avec d'autres méthodes de projection. Les essais numériques sont en concordance avec les estimations théoriques également établies. Le dernier chapitre est consacré à l'étude numérique du schéma VPP en présence d'une condition aux limites ouvertes non-linéaire sur une frontière artificielle modélisant une charge singulière pour le problème de Navier-Stokes. / Motivated by solving the incompressible Navier-Stokes equations with open boundary conditions, this thesis studies the Vector Penalty-Projection method denoted VPP, which is a splitting method in time. We first present a literature review of the projection methods addressing the issue of the velocity-pressure coupling in the incompressible Navier-Stokes system. First, we focus on the case of Dirichlet conditions on the entire boundary. The numerical tests show a second-order convergence in time for both the velocity and the pressure. They also show that the VPP method is fast and cheap in terms of number of iterations at each time step. In addition, we established for the Stokes problem optimal error estimates for the velocity and pressure and the numerical experiments are in perfect agreement with the theoretical results. However, the incompressibility constraint is not exactly equal to zero and it scales as O(varepsilondelta t) where $varepsilon$ is a penalty parameter chosen small enough and delta t is the time step. Moreover, we deal with the natural outflow boundary condition. Three types of outflow boundary conditions are presented and numerically tested for the projection step. We perform quantitative comparisons of the results with those obtained by other methods in the literature. Besides, a theoretical study of the VPP method with outflow boundary conditions is stated and the numerical tests prove to be in good agreement with the theoretical results. In the last chapter, we focus on the numerical study of the VPP scheme with a nonlinear open artificial boundary condition modelling a singular load for the unsteady incompressible Navier-Stokes problem.

Dans cette thèse, nous présentons une nouvelle méthode smoothed particle hydrodynamics (SPH) pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles, même en présence des forces singulières. Les termes de sources singulières sont traités d'une manière similaire à celle que l'on retrouve dans la méthode Immersed Boundary (IB) de Peskin (2002) ou de la méthode régularisée de Stokeslets (Cortez, 2001). Dans notre schéma numérique, nous mettons en oeuvre une méthode de projection sans pression de second ordre inspirée de Kim et Moin (1985). Ce schéma évite complètement les difficultés qui peuvent être rencontrées avec la prescription des conditions aux frontières de Neumann sur la pression. Nous présentons deux variantes de cette approche: l'une, Lagrangienne, qui est communément utilisée et l'autre, Eulerienne, car nous considérons simplement que les particules SPH sont des points de quadrature où les propriétés du fluide sont calculées, donc, ces points peuvent être laissés fixes dans le temps. Notre méthode SPH est d'abord testée à la résolution du problème de Poiseuille bidimensionnel entre deux plaques infinies et nous effectuons une analyse détaillée de l'erreur des calculs. Pour ce problème, les résultats sont similaires autant lorsque les particules SPH sont libres de se déplacer que lorsqu'elles sont fixes. Nous traitons, par ailleurs, du problème de la dynamique d'une membrane immergée dans un fluide visqueux et incompressible avec notre méthode SPH. La membrane est représentée par une spline cubique le long de laquelle la tension présente dans la membrane est calculée et transmise au fluide environnant. Les équations de Navier-Stokes, avec une force singulière issue de la membrane sont ensuite résolues pour déterminer la vitesse du fluide dans lequel est immergée la membrane. La vitesse du fluide, ainsi obtenue, est interpolée sur l'interface, afin de déterminer son déplacement. Nous discutons des avantages à maintenir les particules SPH fixes au lieu de les laisser libres de se déplacer. Nous appliquons ensuite notre méthode SPH à la simulation des écoulements confinés des solutions de polymères non dilués avec une interaction hydrodynamique et des forces d'exclusion de volume. Le point de départ de l'algorithme est le système couplé des équations de Langevin pour les polymères et le solvant (CLEPS) (voir par exemple Oono et Freed (1981) et Öttinger et Rabin (1989)) décrivant, dans le cas présent, les dynamiques microscopiques d'une solution de polymère en écoulement avec une représentation bille-ressort des macromolécules. Des tests numériques de certains écoulements dans des canaux bidimensionnels révèlent que l'utilisation de la méthode de projection d'ordre deux couplée à des points de quadrature SPH fixes conduit à un ordre de convergence de la vitesse qui est de deux et à une convergence d'ordre sensiblement égale à deux pour la pression, pourvu que la solution soit suffisamment lisse. Dans le cas des calculs à grandes échelles pour les altères et pour les chaînes de bille-ressort, un choix approprié du nombre de particules SPH en fonction du nombre des billes N permet, en l'absence des forces d'exclusion de volume, de montrer que le coût de notre algorithme est d'ordre O(N). Enfin, nous amorçons des calculs tridimensionnels avec notre modèle SPH. Dans cette optique, nous résolvons le problème de l'écoulement de Poiseuille tridimensionnel entre deux plaques parallèles infinies et le problème de l'écoulement de Poiseuille dans une conduite rectangulaire infiniment longue. De plus, nous simulons en dimension trois des écoulements confinés entre deux plaques infinies des solutions de polymères non diluées avec une interaction hydrodynamique et des forces d'exclusion de volume. / In this thesis we develop a new smoothed particle hydrodynamics (SPH) method suitable for solving the incompressible Navier-Stokes equations, even with singular forces. Singular source terms are handled in a manner similar to that in the immersed boundary (IB) method of Peskin (2002) or in the method of regularized Stokeslets (Cortez, 2001). The numerical scheme implements a second-order pressure-free projection method due to Kim and Moin (1985) and completely obviates the difficulties that may be faced in prescribing Neumann pressure boundary conditions. We present two variants of this approach, one Langrangian which is commonly used and one Eulerian, simply because we consider that the SPH particles are quadrature points on which the fluid properties are calculated, therefore, these points can be kept fixed in time. The proposed SPH method is first tested on the planar start-up Poiseuille problem and a detailed error analysis is performed. For this problem, the results are similar whether the SPH particles are free to move or fixed on a regular grid. Our hybrid SPH-IB method is then used to calculate the dynamics of a stretched immersed elastic membrane. The membrane is represented by a cubic spline along which the tension in the membrane is computed and transmitted to the surrounding fluid. The Navier-Stokes equations with singular force due to the membrane are then solved to determine the velocity of the fluid in which the membrane is immersed. The fluid velocity thus obtained is interpolated on the interface, to determine its displacement. We discuss the advantages, in this problem, of fixing the SPH particles, rather than allowing them to move with the fluid. A new coupled Brownian dynamics-SPH method for the computation of confined flows of non-dilute polymer solutions with full hydrodynamic interaction and excluded volume forces is next presented. The starting point for the algorithm is the system of coupled Langevin equations for polymer and solvent (CLEPS) (see Oono and Freed (1981) and Öttinger and Rabin (1989), for example) describing, in the present case, the microscopic dynamics of a flowing polymer solution with a bead-spring representation of the macromolecules. Numerical tests of some two-dimensional channel flows reveal that use of a second-order projection scheme coupled with fixed SPH quadrature points leads to second-order velocity convergence and almost second-order pressure convergence, provided that the solution is sufficiently smooth. In the case of large-scale dumbbell and bead-spring chain calculations, an appropriate scaling of the number of grid points as a function of the number of beads N ensures, in the absence of excluded volume forces, that the cost of our algorithm is O(N) flops. Finally, we begin calculations in three dimensions with our SPH model. To this end, we solve in three dimensions the problem of Poiseuille flow between two infinite and parallel plates and the problem of Poiseuille flow in a rectangular infinitely long duct. In addition, we carry out three dimensional computations of confined flows of non-dilute polymer solutions with full hydrodynamic interaction and excluded volume forces.

L’objectif de ce mémoire est d’introduire une nouvelle méthode smoothed particle hydrodynamics (SPH) implicite purement lagrangienne, pour la résolution des équations de Navier- Stokes incompressibles bidimensionnelles en présence d’une surface libre. Notre schéma de discrétisation est basé sur celui de Kéou Noutcheuwa et Owens [19]. Nous avons traité la surface libre en combinant la méthode multiple boundary tangent (MBT) de Yildiz et al. [43] et les conditions aux limites sur les champs auxiliaires de Yang et Prosperetti [42]. Ce faisant, nous obtenons un schéma de discrétisation d’ordre $\mathcal{O}(\Delta t ^2)$ et $\mathcal{O}(\Delta x ^2)$, selon certaines contraintes sur la longueur de lissage $h$. Dans un premier temps, nous avons testé notre schéma avec un écoulement de Poiseuille bidimensionnel à l’aide duquel nous analysons l’erreur de discrétisation de la méthode SPH. Ensuite, nous avons tenté de simuler un problème d’extrusion newtonien bidimensionnel. Malheureusement, bien que le comportement de la surface libre soit satisfaisant, nous avons rencontré des problèmes numériques sur la singularité à la sortie du moule. / The objective of this thesis is to introduce a new implicit purely lagrangian smoothed particle hydrodynamics (SPH) method, for the resolution of the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations in the presence of a free surface. Our discretization scheme is based on that of Kéou Noutcheuwa et Owens [19]. We have treated the free surface by combining Yildiz et al. [43] multiple boundary tangent (MBT) method and boundary conditions on the auxiliary fields of Yang et Prosperetti [42]. In this way, we obtain a discretization scheme of order $\mathcal{O}(\Delta t ^2)$ and $\mathcal{O}(\Delta x ^2)$, according to certain constraints on the smoothing length $h$. First, we tested our scheme with a two-dimensional Poiseuille flow by means of which we analyze the discretization error of the SPH method. Then, we tried to simulate a two-dimensional Newtonian extrusion problem. Unfortunately, although the behavior of the free surface is satisfactory, we have encountered numerical problems on the singularity at the output of the die.