Ce travail concerne l’écoulement incompressible et stationnaire autour d’un cylindre semi-infini en rotation, et ses propriétés de stabilité linéaire. L’effet de la courbure et de la rotation sur la stabilité de cet écoulement est étudié de manière systématique. Avant d’étudier la stabilité, nous calculons d’abord l’écoulement de base. A grand nombre de Reynolds, une couche limite se développe le long du cylindre, ce qui permet d’utiliser l’approximation de couche limite des équations de Navier–Stokes. Ces équations dépendent de deux paramètres de contrôle sans dimension, le nombre de Reynolds (Re) et le taux de rotation (S), et sont résolues numériquement pour obtenir les profils de vitesse et de pression pour une large gamme des paramètres de contrôle. Une couche limite initialement mince s’épaissit avec la distance axiale; ainsi, son épaisseur devient comparable et finalement plus importante que le rayon du cylindre. Au-delà d’un certain taux de rotation, les effets centrifuges conduisent `a un jet de paroi le long d’une portion du cylindre. L’extension axiale de ce jet augmente avec le taux de rotation. L’intensité du jet augmente aussi avec S. Des analyses asymptotiques de l’écoulement à grande distance axiale et à fort taux de rotation sont aussi présentées. L’analyse de stabilité linéaire du précédent écoulement est effectuée dans l’approximation locale. Après une décomposition en modes normaux, les équations des perturbations sont transformées en un problème de valeur propre `a fréquence complexe (ω). Ce problème dépend de cinq paramètres sans dimension: Re, S, la distance axiale normalisée (Z), le nombre d’onde axial (α) et le nombre d’onde azimutal (m). Les équations de stabilité sont résolues numériquement pour étudier les régions instables dans l’espace des paramètres. On observe que de faibles taux de rotation ont un effet important sur la stabilité de l’écoulement. Cette forte déstabilisation est associée à la présence d’un mode quasi-marginal pour le cylindre fixe et qui devient instable pour de petites valeurs de S. Ce phénomène est confirmé par une analyse en perturbation `a petit S. Sans rotation, l’écoulement est stable pour tout Re < 1060, et pour Z > 0.81. Mais, en présence d’une faible rotation, l’instabilité n’est plus limitée par une valeur minimale de Re ou un seuil en Z. Les courbes critiques dans le plan (Z, Re) sont calculées pour une large gamme de S et les conséquences pour la stabilité de l’écoulement discutées. Enfin, un développement asymptotique pour le nombre de Reynolds critique est obtenu, valable aux grandes valeurs de Z. / This work concerns the steady, incompressible flow around a semi-infinite, rotating cylinder and its linear-stability properties. The effect of cylinder curvature and rotation on the stability of this flow is investigated in a systematic manner. Prior to studying its stability, we first compute the basic flow. At large Reynolds numbers, a boundary layer develops along the cylinder. The governing equations are obtained using a boundary-layer approximation to the Navier–Stokes equations. These equations contain two non-dimensional control parameters: the Reynolds number (Re) and the rotation rate (S), and are numerically solved to obtain the velocity and pressure profiles for a wide range of control parameters. The initially thin boundary layer grows in thickness with axial distance, becoming comparable and eventually larger than the cylinder radius. Above a threshold rotation rate, a centrifugal effect leads to the presence of a wall jet for a certain range of streamwise distances. This range widens as the rotation rate increases. Furthermore, the wall jet strengthens as S increases. Asymptotic analyses of the flow at large streamwise distances and at large rotation rates are presented. A linear stability analysis of the above flow is carried out using a local-flow approximation. Upon normal-mode decomposition, the perturbation equations are transformed to an eigenvalue problem in complex frequency (ω). The problem depends on five non-dimensional parameters: Re, S, scaled streamwise direction (Z), streamwise wavenumber (α) and azimuthal wavenumber m. The stability equations are numerically solved to investigate the unstable regions in parameter space. It is found that small amounts of rotation have strong effects on flow stability. Strong destabilization by small rotation is associated with the presence of a nearly neutral mode of the non-rotating cylinder, which becomes unstable at small S. This is further quantified using smallS perturbation theory. In the absence of rotation, the flow is stable for all Re below 1060, and for Z above 0.81. However, in the presence of small rotation, the instability becomes unconstrained by a minimum Re or a threshold in Z. The critical curves in the (Z, Re) plane are computed for a wide range of S and the consequences for stability of the flow described. Finally, a large-Z asymptotic expansion of the critical Reynolds number is obtained.

L'Interaction Fluide-Structure (IFS) décrit une classe très générale de problème physique, ce qui explique la nécessité de développer une méthode numérique capable de simuler le problème FSI. Pour cette raison, un solveur IFS est développé qui peut traiter un écoulement de fluide incompressible en interaction avec des structures différente: élastique ou rigide. Dans cet aspect, le solveur peut couvrir une large gamme d'applications.La méthode proposée est développée dans le cadre d'une formulation monolithique dans un contexte Eulérien. Cette méthode consiste à considérer un seul maillage et résoudre un seul système d'équations avec des propriétés matérielles différentes. La fonction distance permet de définir la position et l'interface de tous les objets à l'intérieur du domaine et de fournir les propriétés physiques pour chaque sous-domaine. L'adaptation de maillage anisotrope basé sur la variation de la fonction distance est ensuite appliquée pour assurer une capture précise des discontinuités à l'interface fluide-solide.La formulation monolithique est assurée par l'ajout d'un tenseur supplémentaire dans les équations de Navier-Stokes. Ce tenseur provient de la présence de la structure dans le fluide. Le système est résolu en utilisant une méthode élément fini et stabilisé suivant la formulation variationnelle multiéchelle. Cette formulation consiste à décomposer les champs de vitesse et pression en grande et petite échelles. La particularité de l'approche proposée réside dans l'enrichissement du tenseur de l'extra contraint.La première application est la simulation IFS avec un corps rigide. Le corps rigide est décrit en imposant une valeur nul du tenseur des déformations, et le mouvement est obtenu par la résolution du mouvement de corps rigide. Nous évaluons le comportement et la précision de la formulation proposée dans la simulation des exemples 2D et 3D. Les résultats sont comparés avec la littérature et montrent que la méthode développée est stable et précise.La seconde application est la simulation IFS avec un corps élastique. Dans ce cas, une équation supplémentaire est ajoutée au système précédent qui permet de résoudre le champ de déplacement. Et la contrainte de rigidité est remplacée par la loi de comportement du corps élastique. La déformation et le mouvement du corps élastique sont réalisés en résolvant l'équation de convection de la Level-Set. Nous illustrons la flexibilité de la formulation proposée par des exemples 2D.

Dans le secteur automobile, la réduction de l'émission des gaz à effet de serre (CO2) passe par l'amélioration du rendement des véhicules ; pour cela, la réduction des pertes par frottement est actuellement privilégiée. Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude de la topographie des surfaces des chemises de moteurs afin de réduire le frottement entre la chemise et les segments du piston, sans détériorer la consommation d'huile. Nous avons axé notre travail sur le développement de quatre outils numériques que nous présentons dans ce qui suit. Lors des travaux antérieurs sur le même sujet, des outils d'analyse, de décomposition et de simulation de surface ont été développés par Decencière et Jeulin, grâce aux apports de la morphologie mathématique. Nous les utilisons dans le cadre de notre travail aux fins d'opérations d'analyse, filtrage, décomposition ou correction d'images. Un outil de simulation de textures est développé afin de générer de nouvelles surfaces, meilleures en termes de frottement et de consommation d'huile, tout en respectant certaines contraintes fonctionnelles par rapport aux paramètres d'une surface de référence. Un modèle de prédiction du frottement hydrodynamique entre segment et chemise est développé. Cet outil permet, notamment, de remplacer des expériences souvent coûteuses ou difficiles à mener. En partant de la résolution des équations de Navier-Stokes ou de Reynolds, l'écoulement 3D entre la chemise et les segments (animés d'une vitesse donnée par la cinématique du système) est simulé. Après la validation du modèle en le confrontant avec des écoulements analytiques simples ou des mesures expérimentales, il est utilisé pour remonter à de nombreuses mesures globales ou locales permettant d'évaluer les performances des surfaces en termes de frottement, charge, transport de lubrifiant, etc. Des travaux d'optimisation de texture sont menés, ayant comme critère de classification les mesures fournies par l'outil de prédiction, afin d'obtenir des enseignements importants sur les valeurs optimales de certains paramètres des textures. Un outil d'optimisation stochastique de formes est également développé, dans le but de mener une optimisation plus exhaustive des motifs élémentaires des textures de surface périodiques. Enfin, à partir des résultats obtenus à la suite de ces travaux d'optimisation, des nouveaux dessins de surface, générés à l'aide de l'outil de simulation, sont soumis aux tests. Ces nouvelles textures présentent des performances a priori intéressantes, qui mériteraient d'être vérifiées expérimentalement.

Le développement de méthodes numériques pour simuler les équations de Navier-Stokes en présence de parois rigides est un sujet en très actif. Si la littérature abonde de résultats de convergence et de stabilité, les méthodes à pas fractionnaire introduisent très généralement, des erreurs de couche limite pour la pression. Ce problème, déjà présent près de parois conformes à la discrétisation, devient particulièrement critique près de parois non-conformes, une situation que l'on rencontre dès que l'on souhaite s'affranchir de toute forme de remaillage avec des objets mobiles, par exemple. L'objectif de cette thèse est de résoudre les équations de Navier-Stokes incompressible pour obtenir avec précision le champ de vitesse et le champ de pression par une méthode de différence finie. Cette question nous a conduit à reformuler le problème de Stokes instationnaire à deux dimensions à l'aide de la fonction courant psi et d'une fonction phi conjuguée de la pression. Nous avons implémenté une première méthode pour traiter le problème de Stokes dans cette représentation. Le développement d'un schéma original pour résoudre le problème de Poisson-Neumann en domaine irrégulier, nous a permis de proposer une seconde méthode de résolution du problème de Stokes incompressible dans une formulation plus classique, Pression-vitesse-vorticité. Ces deux types d'algorithmes permettent d'obtenir une convergence d'ordre 2 en espace pour tous les champs du problème.

La mécanique de fluides numérique a connu dans les dernières décennies un développement très rapide avec la multiplication et l'amélioration des méthodes numériques. La méthode SPH est apparue comme alternative aux méthodes traditionnelles pour traiter des écoulements à surface libre complexe, ce qui l'a rendu très intéressante pour reproduire des problèmes du domaine de l'ingénierie navale. Cette méthode s'est répandue dans les milieux académique et industriel et a connu d'importantes avancées, arrivant à un début de maturité. Dans ce contexte, après une présentation de l'état de l'art de la méthode, trois différents axes d'amélioration sont présentés. Le premier consiste en l'étude d'une approche incompressible à partir de laquelle une nouvelle méthode est développée pour résoudre l'incompressibilité, validée et appliquée. Cette nouvelle méthode s'est montrée efficace et précise. Le second axe de recherche s'inscrit dans la discrétisation spatiale du domaine. La méthode SPH étant lagrangienne, il s'avère compliqué d'adapter la distribution des particules fluides aux zones d'intérêt de l'écoulement traité, demandant une approche dynamique. Les méthodes existantes dans la littérature ont été étudiées et une nouvelle technique permettant de déraffiner les particules dynamiquement a été proposée. On montre que l'efficacité de la méthode SPH est ainsi améliorée. En dernier lieu, pour améliorer la précision des opérateurs utilisés par la méthode SPH et visant une montée en ordre, le couplage entre une méthode de type volumes finis et la méthode SPH est proposé. Cela a permis de mieux comprendre la méthode SPH et ouvre un nouvel axe de recherche : les méthodes SPH hybrides.

Dans cette thèse, une nouvelle méthode de frontières immergées a été développée pour la simulation d'interaction fluide-structure, appelée la méthode de frontières immergées mobiles (en langage anglo-saxon: MIBM). L'objectif principal de cette nouvelle méthode est de déplacer arbitrairement les solides à géométrie complexe dans un fluide visqueux incompressible, sans remailler le domaine fluide. Cette nouvelle méthode a l'avantage d'imposer la condition de non-glissement à l'interface d'une manière exacte via une force sans introduire des constantes artificielles modélisant la structure rigide. Cet avantage conduit également à la satisfaction de la condition CFL avec un pas de temps plus grand. Pour un calcul précis de la force induite par les frontières mobiles, un système linéaire a été introduit et résolu par la méthode de gradient conjugué. La méthode proposée peut être intégrée facilement dans des solveurs résolvant les équations de Navier-Stokes. Dans ce travail la MIBM a été mise en œuvre en couplage avec un solveur fluide utilisant une méthode de projection adaptée pour obtenir des solutions d'ordre deux en temps et en espace. Le champ de pression a été obtenu par l'équation de Poisson qui a été résolue à l'aide de la méthode du gradient conjugué préconditionné par la méthode multi-grille. La combinaison de ces deux méthodes a permis un gain de temps considérable par rapport aux méthodes classiques de la résolution des systèmes linéaires. De plus le code de calcul développé a été parallélisé sur l'unité graphique GPU équipée de la bibliothèque CUDA pour aboutir à des hautes performances de calcul. Enfin, comme application de nos travaux sur la MIBM, nous avons étudié le couplage "fort" d'interaction fluide-structure (IFS). Pour ce type de couplage, un schéma implicite partitionné a été adopté dans lequel les conditions à l'interface sont satisfaites via un schéma de type "point fixe". Pour réduire le temps de calcul inhérent à cette application, un nouveau schéma de couplage a été proposé pour éviter la résolution de l'équation de Poisson durant les itérations du "point fixe". Cette nouvelle façon de résoudre les problèmes IFS a montré des performances prometteuses pour des systèmes en IFS complexe. / In this thesis a novel non-body conforming mesh formulation is developed, called the moving immersed boundary method (MIBM), for the numerical simulation of fluid-structure interaction (FSI). The primary goal is to enable solids of complex shape to move arbitrarily in an incompressible viscous fluid, without fitting the solid boundary motion with dynamic meshes. This novel method enforces the no-slip boundary condition exactly at the fluid-solid interface with a boundary force, without introducing any artificial constants to the rigid body formulation. As a result, large time step can be used in current method. To determine the boundary force more efficiently in case of moving boundaries, an additional moving force equation is derived and the resulting system is solved by the conjugate gradient method. The proposed method is highly portable and can be integrated into any fluid solver as a plug-in. In the present thesis, the MIBM is implemented in the fluid solver based on the projection method. In order to obtain results of high accuracy, the rotational incremental pressure correction projection method is adopted, which is free of numerical boundary layer and is second order accurate. To accelerate the calculation of the pressure Poisson equation, the multi-grid method is employed as a preconditioner together with the conjugate gradient method as a solver. The code is further parallelized on the graphics processing unit (GPU) with the CUDA library to enjoy high performance computing. At last, the proposed MIBM is applied to the study of two-way FSI problem. For stability and modularity reasons, a partitioned implicit scheme is selected for this strongly coupled problem. The interface matching of fluid and solid variables is realized through a fixed point iteration. To reduce the computational cost, a novel efficient coupling scheme is proposed by removing the time-consuming pressure Poisson equation from this fixed point interaction. The proposed method has shown a promising performance in modeling complex FSI system.

L'Interaction Fluide-Structure (IFS) décrit une classe très générale de problème physique, ce qui explique la nécessité de développer une méthode numérique capable de simuler le problème FSI. Pour cette raison, un solveur IFS est développé qui peut traiter un écoulement de fluide incompressible en interaction avec des structures différente: élastique ou rigide. Dans cet aspect, le solveur peut couvrir une large gamme d'applications.La méthode proposée est développée dans le cadre d'une formulation monolithique dans un contexte Eulérien. Cette méthode consiste à considérer un seul maillage et résoudre un seul système d'équations avec des propriétés matérielles différentes. La fonction distance permet de définir la position et l'interface de tous les objets à l'intérieur du domaine et de fournir les propriétés physiques pour chaque sous-domaine. L'adaptation de maillage anisotrope basé sur la variation de la fonction distance est ensuite appliquée pour assurer une capture précise des discontinuités à l'interface fluide-solide.La formulation monolithique est assurée par l'ajout d'un tenseur supplémentaire dans les équations de Navier-Stokes. Ce tenseur provient de la présence de la structure dans le fluide. Le système est résolu en utilisant une méthode élément fini et stabilisé suivant la formulation variationnelle multiéchelle. Cette formulation consiste à décomposer les champs de vitesse et pression en grande et petite échelles. La particularité de l'approche proposée réside dans l'enrichissement du tenseur de l'extra contraint.La première application est la simulation IFS avec un corps rigide. Le corps rigide est décrit en imposant une valeur nul du tenseur des déformations, et le mouvement est obtenu par la résolution du mouvement de corps rigide. Nous évaluons le comportement et la précision de la formulation proposée dans la simulation des exemples 2D et 3D. Les résultats sont comparés avec la littérature et montrent que la méthode développée est stable et précise.La seconde application est la simulation IFS avec un corps élastique. Dans ce cas, une équation supplémentaire est ajoutée au système précédent qui permet de résoudre le champ de déplacement. Et la contrainte de rigidité est remplacée par la loi de comportement du corps élastique. La déformation et le mouvement du corps élastique sont réalisés en résolvant l'équation de convection de la Level-Set. Nous illustrons la flexibilité de la formulation proposée par des exemples 2D. / Numerical simulations of fluid-structure interaction (FSI) are of first interest in numerous industrial problems: aeronautics, heat treatments, aerodynamic, bioengineering... Because of the high complexity of such problems, analytical study is in general not sufficient to understand and solve them. FSI simulations are then nowadays the focus of numerous investigations, and various approaches are proposed to treat them. We propose in this thesis a novel monolithic approach to deal with the interaction between an incompressible fluid flow and rigid/ elastic material. This method consists in considering a single grid and solving one set of equations with different material properties. A distance function enables to define the position and the interface of any objects with complex shapes inside the volume and to provide heterogeneous physical properties for each subdomain. Different anisotropic mesh adaptation algorithms based on the variations of the distance function or on using error estimators are used to ensure an accurate capture of the discontinuities at the fluid-solid interface. The monolithic formulation is insured by adding an extra-stress tensor in the Navier-Stokes equations coming from the presence of the structure in the fluid. The system is then solved using a finite element Variational MultiScale (VMS) method, which consists of decomposition, for both the velocity and the pressure fields, into coarse/resolved scales and fine/unresolved scales. The distinctive feature of the proposed approach resides in the efficient enrichment of the extra constraint. In the first part of the thesis, we use the proposed approach to assess its accuracy and ability to deal with fluid-rigid interaction. The rigid body is prescribed under the constraint of imposing the nullity of the strain tensor, and its movement is achieved by solving the rigid body motion. Several test case, in 2D and 3D with simple and complex geometries are presented. Results are compared with existing ones in the literature showing good stability and accuracy on unstructured and adapted meshes. In the second, we present different routes and an extension of the approach to deal with elastic body. In this case, an additional equation is added to the previous system to solve the displacement field. And the rigidity constraint is replaced with a corresponding behaviour law of the material. The elastic deformation and motion are captured using a convected level-set method. We present several 2D numerical tests, which is considered as classical benchmarks in the literature, and discuss their results.

L’objectif de cette étude est de simuler l’érosion d’un sol cohésif sous l’effet d’un écoulement incompressible. Le modèle élaboré décrit une vitesse d’érosion interfaciale qui dépend de la contrainte de cisaillement de l’écoulement. La modélisation numérique proposée est une approche eulérienne, où une méthode de pénalisation de domaines est utilisée pour résoudre les équations de Navier-Stokes autour d’un obstacle. L’interface eau/sol est décrite par une fonction Level Set couplée à une loi d’érosion à seuil.L’approximation numérique est basée sur un schéma DDFV (Discrete Duality Finite Volume) autorisant des raffinements locaux sur maillages non-conformes et non-structurés. L’approche par pénalisation a mis en évidence une couche limite d'inconsistance à l'interface fluide/solide lors du calcul de la contrainte de cisaillement. Deux approches sont proposées pour estimer précisément la contrainte de ce problème à frontière libre. La pertinence du modèle à prédire l’érosion interfaciale du sol est confirmée par la présentation de plusieurs résultats de simulation, qui offrent une meilleure évaluation et compréhension des phénomènes d'érosion / This study focuses on the numerical modelling of the interfacial erosion occurring at a cohesive soil undergoing an incompressible flow process. The model assumes that the erosion velocity is driven by a fluid shear stress at the water/soil interface. The numerical modelling is based on the eulerian approach: a penalization procedure is used to compute Navier-Stokes equations around soil obstacle, with a fictitious domain method, in order to avoid body- fitted unstructured meshes. The water/soil interface’s evolution is described by a Level Set function coupled to a threshold erosion law.Because we use adaptive mesh refinement, we develop a Discrete Duality Finite Volume scheme (DDFV), which allows non-conforming and non-structured meshes. The penalization method, used to take into account a free velocity in the soil with non-body-fitted mesh, introduces an inaccurate shear stress at the interface. We propose two approaches to compute accurately the erosion velocity of this free boundary problem. The ability of the model to predict the interfacial erosion of soils is confirmed by presenting several simulations that provide better evaluation and comprehension of erosion phenomena.

Dans cette thèse, nous présentons une nouvelle méthode smoothed particle hydrodynamics (SPH) pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles, même en présence des forces singulières. Les termes de sources singulières sont traités d'une manière similaire à celle que l'on retrouve dans la méthode Immersed Boundary (IB) de Peskin (2002) ou de la méthode régularisée de Stokeslets (Cortez, 2001). Dans notre schéma numérique, nous mettons en oeuvre une méthode de projection sans pression de second ordre inspirée de Kim et Moin (1985). Ce schéma évite complètement les difficultés qui peuvent être rencontrées avec la prescription des conditions aux frontières de Neumann sur la pression. Nous présentons deux variantes de cette approche: l'une, Lagrangienne, qui est communément utilisée et l'autre, Eulerienne, car nous considérons simplement que les particules SPH sont des points de quadrature où les propriétés du fluide sont calculées, donc, ces points peuvent être laissés fixes dans le temps. Notre méthode SPH est d'abord testée à la résolution du problème de Poiseuille bidimensionnel entre deux plaques infinies et nous effectuons une analyse détaillée de l'erreur des calculs. Pour ce problème, les résultats sont similaires autant lorsque les particules SPH sont libres de se déplacer que lorsqu'elles sont fixes. Nous traitons, par ailleurs, du problème de la dynamique d'une membrane immergée dans un fluide visqueux et incompressible avec notre méthode SPH. La membrane est représentée par une spline cubique le long de laquelle la tension présente dans la membrane est calculée et transmise au fluide environnant. Les équations de Navier-Stokes, avec une force singulière issue de la membrane sont ensuite résolues pour déterminer la vitesse du fluide dans lequel est immergée la membrane. La vitesse du fluide, ainsi obtenue, est interpolée sur l'interface, afin de déterminer son déplacement. Nous discutons des avantages à maintenir les particules SPH fixes au lieu de les laisser libres de se déplacer. Nous appliquons ensuite notre méthode SPH à la simulation des écoulements confinés des solutions de polymères non dilués avec une interaction hydrodynamique et des forces d'exclusion de volume. Le point de départ de l'algorithme est le système couplé des équations de Langevin pour les polymères et le solvant (CLEPS) (voir par exemple Oono et Freed (1981) et Öttinger et Rabin (1989)) décrivant, dans le cas présent, les dynamiques microscopiques d'une solution de polymère en écoulement avec une représentation bille-ressort des macromolécules. Des tests numériques de certains écoulements dans des canaux bidimensionnels révèlent que l'utilisation de la méthode de projection d'ordre deux couplée à des points de quadrature SPH fixes conduit à un ordre de convergence de la vitesse qui est de deux et à une convergence d'ordre sensiblement égale à deux pour la pression, pourvu que la solution soit suffisamment lisse. Dans le cas des calculs à grandes échelles pour les altères et pour les chaînes de bille-ressort, un choix approprié du nombre de particules SPH en fonction du nombre des billes N permet, en l'absence des forces d'exclusion de volume, de montrer que le coût de notre algorithme est d'ordre O(N). Enfin, nous amorçons des calculs tridimensionnels avec notre modèle SPH. Dans cette optique, nous résolvons le problème de l'écoulement de Poiseuille tridimensionnel entre deux plaques parallèles infinies et le problème de l'écoulement de Poiseuille dans une conduite rectangulaire infiniment longue. De plus, nous simulons en dimension trois des écoulements confinés entre deux plaques infinies des solutions de polymères non diluées avec une interaction hydrodynamique et des forces d'exclusion de volume. / In this thesis we develop a new smoothed particle hydrodynamics (SPH) method suitable for solving the incompressible Navier-Stokes equations, even with singular forces. Singular source terms are handled in a manner similar to that in the immersed boundary (IB) method of Peskin (2002) or in the method of regularized Stokeslets (Cortez, 2001). The numerical scheme implements a second-order pressure-free projection method due to Kim and Moin (1985) and completely obviates the difficulties that may be faced in prescribing Neumann pressure boundary conditions. We present two variants of this approach, one Langrangian which is commonly used and one Eulerian, simply because we consider that the SPH particles are quadrature points on which the fluid properties are calculated, therefore, these points can be kept fixed in time. The proposed SPH method is first tested on the planar start-up Poiseuille problem and a detailed error analysis is performed. For this problem, the results are similar whether the SPH particles are free to move or fixed on a regular grid. Our hybrid SPH-IB method is then used to calculate the dynamics of a stretched immersed elastic membrane. The membrane is represented by a cubic spline along which the tension in the membrane is computed and transmitted to the surrounding fluid. The Navier-Stokes equations with singular force due to the membrane are then solved to determine the velocity of the fluid in which the membrane is immersed. The fluid velocity thus obtained is interpolated on the interface, to determine its displacement. We discuss the advantages, in this problem, of fixing the SPH particles, rather than allowing them to move with the fluid. A new coupled Brownian dynamics-SPH method for the computation of confined flows of non-dilute polymer solutions with full hydrodynamic interaction and excluded volume forces is next presented. The starting point for the algorithm is the system of coupled Langevin equations for polymer and solvent (CLEPS) (see Oono and Freed (1981) and Öttinger and Rabin (1989), for example) describing, in the present case, the microscopic dynamics of a flowing polymer solution with a bead-spring representation of the macromolecules. Numerical tests of some two-dimensional channel flows reveal that use of a second-order projection scheme coupled with fixed SPH quadrature points leads to second-order velocity convergence and almost second-order pressure convergence, provided that the solution is sufficiently smooth. In the case of large-scale dumbbell and bead-spring chain calculations, an appropriate scaling of the number of grid points as a function of the number of beads N ensures, in the absence of excluded volume forces, that the cost of our algorithm is O(N) flops. Finally, we begin calculations in three dimensions with our SPH model. To this end, we solve in three dimensions the problem of Poiseuille flow between two infinite and parallel plates and the problem of Poiseuille flow in a rectangular infinitely long duct. In addition, we carry out three dimensional computations of confined flows of non-dilute polymer solutions with full hydrodynamic interaction and excluded volume forces.

L'objectif de cette thèse consiste à étudier la méthode de pénalité-projection vectorielle notée VPP (Vector Penalty-Projection method), qui est une méthode à pas fractionnaire pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressible avec conditions aux limites ouvertes. Nous présentons une revue bibliographique des méthodes de projection traitant le couplage de vitesse et de pression. Nous nous intéressons dans un premier temps aux conditions de Dirichlet sur toute la frontière. Les tests numériques montrent une convergence d'ordre deux en temps pour la vitesse et la pression et prouvent que la méthode est rapide et peu coûteuse en terme de nombre d'itérations par pas de temps. En outre, nous établissons des estimations d'erreurs de la vitesse et de la pression et les essais numériques révèlent une parfaite concordance avec les résultats théoriques. En revanche, la contrainte d'incompressibilité n'est pas exactement nulle et converge avec un ordre de O(varepsilondelta t) où varepsilon est un paramètre de pénalité choisi assez petit et delta t le pas temps. Dans un second temps, la thèse traite les conditions aux limites ouvertes naturelles. Trois types de conditions de sortie sont étudiés et testés numériquement pour l'étape de projection. Nous effectuons des comparaisons quantitatives des résultats avec d'autres méthodes de projection. Les essais numériques sont en concordance avec les estimations théoriques également établies. Le dernier chapitre est consacré à l'étude numérique du schéma VPP en présence d'une condition aux limites ouvertes non-linéaire sur une frontière artificielle modélisant une charge singulière pour le problème de Navier-Stokes. / Motivated by solving the incompressible Navier-Stokes equations with open boundary conditions, this thesis studies the Vector Penalty-Projection method denoted VPP, which is a splitting method in time. We first present a literature review of the projection methods addressing the issue of the velocity-pressure coupling in the incompressible Navier-Stokes system. First, we focus on the case of Dirichlet conditions on the entire boundary. The numerical tests show a second-order convergence in time for both the velocity and the pressure. They also show that the VPP method is fast and cheap in terms of number of iterations at each time step. In addition, we established for the Stokes problem optimal error estimates for the velocity and pressure and the numerical experiments are in perfect agreement with the theoretical results. However, the incompressibility constraint is not exactly equal to zero and it scales as O(varepsilondelta t) where $varepsilon$ is a penalty parameter chosen small enough and delta t is the time step. Moreover, we deal with the natural outflow boundary condition. Three types of outflow boundary conditions are presented and numerically tested for the projection step. We perform quantitative comparisons of the results with those obtained by other methods in the literature. Besides, a theoretical study of the VPP method with outflow boundary conditions is stated and the numerical tests prove to be in good agreement with the theoretical results. In the last chapter, we focus on the numerical study of the VPP scheme with a nonlinear open artificial boundary condition modelling a singular load for the unsteady incompressible Navier-Stokes problem.