L'objet de cette thèse est d'étendre le cadre théorique et les méthodes numériques du transport optimal à des objets plus généraux que des mesures de probabilité. En premier lieu, nous définissons des modèles de transport optimal entre mesures positives suivant deux approches, interpolation et couplage de mesures, dont nous montrons l'équivalence. De ces modèles découle une généralisation des métriques de Wasserstein. Dans une seconde partie, nous développons des méthodes numériques pour résoudre les deux formulations et étudions en particulier une nouvelle famille d'algorithmes de "scaling", s'appliquant à une grande variété de problèmes. La troisième partie contient des illustrations ainsi que l'étude théorique et numérique, d'un flot de gradient de type Hele-Shaw dans l'espace des mesures. Pour les mesures à valeurs matricielles, nous proposons aussi un modèle de transport optimal qui permet un bon arbitrage entre fidélité géométrique et efficacité algorithmique. / This thesis generalizes optimal transport beyond the classical "balanced" setting of probability distributions. We define unbalanced optimal transport models between nonnegative measures, based either on the notion of interpolation or the notion of coupling of measures. We show relationships between these approaches. One of the outcomes of this framework is a generalization of the p-Wasserstein metrics. Secondly, we build numerical methods to solve interpolation and coupling-based models. We study, in particular, a new family of scaling algorithms that generalize Sinkhorn's algorithm. The third part deals with applications. It contains a theoretical and numerical study of a Hele-Shaw type gradient flow in the space of nonnegative measures. It also adresses the case of measures taking values in the cone of positive semi-definite matrices, for which we introduce a model that achieves a balance between geometrical accuracy and algorithmic efficiency.

My thesis addresses a systematic approach to stochastic models in population genetics; in particular, the Wright-Fisher models affected only by the random genetic drift. I used various mathematical methods such as Probability, PDE, and Geometry to answer an important question: \"How do genetic change factors (random genetic drift, selection, mutation, migration, random environment, etc.) affect the behavior of gene frequencies or genotype frequencies in generations?”. In a Hardy-Weinberg model, the Mendelian population model of a very large number of individuals without genetic change factors, the answer is simple by the Hardy-Weinberg principle: gene frequencies remain unchanged from generation to generation, and genotype frequencies from the second generation onward remain also unchanged from generation to generation. With directional genetic change factors (selection, mutation, migration), we will have a deterministic dynamics of gene frequencies, which has been studied rather in detail. With non-directional genetic change factors (random genetic drift, random environment), we will have a stochastic dynamics of gene frequencies, which has been studied with much more interests. A combination of these factors has also been considered. We consider a monoecious diploid population of fixed size N with n + 1 possible alleles at a given locus A, and assume that the evolution of population was only affected by the random genetic drift. The question is that what the behavior of the distribution of relative frequencies of alleles in time and its stochastic quantities are. When N is large enough, we can approximate this discrete Markov chain to a continuous Markov with the same characteristics. In 1931, Kolmogorov first introduced a nice relation between a continuous Markov process and diffusion equations. These equations called the (backward/forward) Kolmogorov equations which have been first applied in population genetics in 1945 by Wright. Note that these equations are singular parabolic equations (diffusion coefficients vanish on boundary). To solve them, we use generalized hypergeometric functions. To know more about what will happen after the first exit time, or more general, the behavior of whole process, in joint work with J. Hofrichter, we define the global solution by moment conditions; calculate the component solutions by boundary flux method and combinatorics method. One interesting property is that some statistical quantities of interest are solutions of a singular elliptic second order linear equation with discontinuous (or incomplete) boundary values. A lot of papers, textbooks have used this property to find those quantities. However, the uniqueness of these problems has not been proved. Littler, in his PhD thesis in 1975, took up the uniqueness problem but his proof, in my view, is not rigorous. In joint work with J. Hofrichter, we showed two different ways to prove the uniqueness rigorously. The first way is the approximation method. The second way is the blow-up method which is conducted by J. Hofrichter. By applying the Information Geometry, which was first introduced by Amari in 1985, we see that the local state space is an Einstein space, and also a dually flat manifold with the Fisher metric; the differential operator of the Kolmogorov equation is the affine Laplacian which can be represented in various coordinates and on various spaces. Dynamics on the whole state space explains some biological phenomena.

[EN] Nowadays, biomedical research and decision making depend to a great extent on the data stored in information systems. As a consequence, a lack of data quality (DQ) may lead to suboptimal decisions, or hinder the derived research processes and outcomes. This thesis aims to the research and development of methods for assessing two DQ problems of special importance in Big Data and large-scale repositories, based on multi-institutional, cross-border infrastructures, and acquired during long periods of time: the variability of data probability distributions (PDFs) among different data sources-multi-source variability-and the variability of data PDFs over time-temporal variability. Variability in PDFs may be caused by differences in data acquisition methods, protocols or health care policies; systematic or random errors during data input and management; demographic differences in populations; or even falsified data. To date, these issues have received little attention as DQ problems nor count with adequate assessment methods. The developed methods aim to measure, detect and characterize variability dealing with multi-type, multivariate, multi-modal data, and not affected by large sample sizes. To this end, we defined an Information Theory and Geometry probabilistic framework based on the inference of non-parametric statistical manifolds from the normalized distances of PDFs among data sources and over time. Based on this, a number of contributions have been generated. For the multi-source variability assessment we have designed two metrics: the Global Probabilistic Deviation, which measures the degree of global variability among the PDFs of multiple sources-equivalent to the standard deviation among PDFs; and the Source Probabilistic Outlyingness, which measures the dissimilarity of the PDF of a single data source to a global latent average. They are based on the construction of a simplex geometrical figure (the maximum-dimensional statistical manifold) using the distances among sources, and complemented by the Multi-Source Variability plot, an exploratory visualization of that simplex which permits detecting grouping patterns among sources. The temporal variability method provides two main tools: the Information Geometric Temporal plot, an exploratory visualization of the temporal evolution of PDFs based on the projection of the statistical manifold from temporal batches; and the PDF Statistical Process Control, a monitoring and automatic change detection algorithm for PDFs. The methods have been applied to repositories in real case studies, including the Public Health Mortality and Cancer Registries of the Region of Valencia, Spain; the UCI Heart Disease; the United States NHDS; and Spanish Breast Cancer and an In-Vitro Fertilization datasets. The methods permitted discovering several findings such as partitions of the repositories in probabilistically separated temporal subgroups, punctual temporal anomalies due to anomalous data, and outlying and clustered data sources due to differences in populations or in practices. A software toolbox including the methods and the automated generation of DQ reports was developed. Finally, we defined the theoretical basis of a biomedical DQ evaluation framework, which have been used in the construction of quality assured infant feeding repositories, in the contextualization of data for their reuse in Clinical Decision Support Systems using an HL7-CDA wrapper; and in an on-line service for the DQ evaluation and rating of biomedical data repositories. The results of this thesis have been published in eight scientific contributions, including top-ranked journals and conferences. One of the journal publications was selected by the IMIA as one of the best of Health Information Systems in 2013. Additionally, the results have contributed to several research projects, and have leaded the way to the industrialization of the developed methods and approaches for the audit and control of biomedical DQ. / [ES] Actualmente, la investigación biomédica y toma de decisiones dependen en gran medida de los datos almacenados en los sistemas de información. En consecuencia, una falta de calidad de datos (CD) puede dar lugar a decisiones sub-óptimas o dificultar los procesos y resultados de las investigaciones derivadas. Esta tesis tiene como propósito la investigación y desarrollo de métodos para evaluar dos problemas especialmente importantes en repositorios de datos masivos (Big Data), basados en infraestructuras multi-céntricas, adquiridos durante largos periodos de tiempo: la variabilidad de las distribuciones de probabilidad (DPs) de los datos entre diferentes fuentes o sitios-variabilidad multi-fuente-y la variabilidad de las distribuciones de probabilidad de los datos a lo largo del tiempo-variabilidad temporal. La variabilidad en DPs puede estar causada por diferencias en los métodos de adquisición, protocolos o políticas de atención; errores sistemáticos o aleatorios en la entrada o gestión de datos; diferencias demográficas en poblaciones; o incluso por datos falsificados. Esta tesis aporta métodos para detectar, medir y caracterizar dicha variabilidad, tratando con datos multi-tipo, multivariantes y multi-modales, y sin ser afectados por tamaños muestrales grandes. Para ello, hemos definido un marco de Teoría y Geometría de la Información basado en la inferencia de variedades de Riemann no-paramétricas a partir de distancias normalizadas entre las PDs de varias fuentes de datos o a lo largo del tiempo. En consecuencia, se han aportado las siguientes contribuciones: Para evaluar la variabilidad multi-fuente se han definido dos métricas: la Global Probabilistic Deviation, la cual mide la variabilidad global entre las PDs de varias fuentes-equivalente a la desviación estándar entre PDs; y la Source Probabilistic Outlyingness, la cual mide la disimilaridad entre la DP de una fuente y un promedio global latente. Éstas se basan en un simplex construido mediante las distancias entre las PDs de las fuentes. En base a éste, se ha definido el Multi-Source Variability plot, visualización que permite detectar patrones de agrupamiento entre fuentes. El método de variabilidad temporal proporciona dos herramientas: el Information Geometric Temporal plot, visualización exploratoria de la evolución temporal de las PDs basada en la la variedad estadística de los lotes temporales; y el Control de Procesos Estadístico de PDs, algoritmo para la monitorización y detección automática de cambios en PDs. Los métodos han sido aplicados a casos de estudio reales, incluyendo: los Registros de Salud Pública de Mortalidad y Cáncer de la Comunidad Valenciana; los repositorios de enfermedades del corazón de UCI y NHDS de los Estados Unidos; y repositorios españoles de Cáncer de Mama y Fecundación In-Vitro. Los métodos detectaron hallazgos como particiones de repositorios en subgrupos probabilísticos temporales, anomalías temporales puntuales, y fuentes de datos agrupadas por diferencias en poblaciones y en prácticas. Se han desarrollado herramientas software incluyendo los métodos y la generación automática de informes. Finalmente, se ha definido la base teórica de un marco de CD biomédicos, el cual ha sido utilizado en la construcción de repositorios de calidad para la alimentación del lactante, en la contextualización de datos para el reuso en Sistemas de Ayuda a la Decisión Médica usando un wrapper HL7-CDA, y en un servicio on-line para la evaluación y clasificación de la CD de repositorios biomédicos. Los resultados de esta tesis han sido publicados en ocho contribuciones científicas (revistas indexadas y artículos en congresos), una de ellas seleccionada por la IMIA como una de las mejores publicaciones en Sistemas de Información de Salud en 2013. Los resultados han contribuido en varios proyectos de investigación, y facilitado los primeros pasos hacia la industrialización de las tecnologías / [CA] Actualment, la investigació biomèdica i presa de decisions depenen en gran mesura de les dades emmagatzemades en els sistemes d'informació. En conseqüència, una manca en la qualitat de les dades (QD) pot donar lloc a decisions sub-òptimes o dificultar els processos i resultats de les investigacions derivades. Aquesta tesi té com a propòsit la investigació i desenvolupament de mètodes per avaluar dos problemes especialment importants en repositoris de dades massius (Big Data) basats en infraestructures multi-institucionals o transfrontereres, adquirits durant llargs períodes de temps: la variabilitat de les distribucions de probabilitat (DPs) de les dades entre diferents fonts o llocs-variabilitat multi-font-i la variabilitat de les distribucions de probabilitat de les dades al llarg del temps-variabilitat temporal. La variabilitat en DPs pot estar causada per diferències en els mètodes d'adquisició, protocols o polítiques d'atenció; errors sistemàtics o aleatoris durant l'entrada o gestió de dades; diferències demogràfiques en les poblacions; o fins i tot per dades falsificades. Aquesta tesi aporta mètodes per detectar, mesurar i caracteritzar aquesta variabilitat, tractant amb dades multi-tipus, multivariants i multi-modals, i no sent afectats per mides mostrals grans. Per a això, hem definit un marc de Teoria i Geometria de la Informació basat en la inferència de varietats de Riemann no-paramètriques a partir de distàncies normalitzades entre les DPs de diverses fonts de dades o al llarg del temps. En conseqüència s'han aportat les següents contribucions: Per avaluar la variabilitat multi-font s'han definit dos mètriques: la Global Probabilistic Deviation, la qual mesura la variabilitat global entre les DPs de les diferents fonts-equivalent a la desviació estàndard entre DPs; i la Source Probabilistic Outlyingness, la qual mesura la dissimilaritat entre la DP d'una font de dades donada i una mitjana global latent. Aquestes estan basades en la construcció d'un simplex mitjançant les distàncies en les DPs entre fonts. Basat en aquest, s'ha definit el Multi-Source Variability plot, una visualització que permet detectar patrons d'agrupament entre fonts. El mètode de variabilitat temporal proporciona dues eines: l'Information Geometric Temporal plot, visualització exploratòria de l'evolució temporal de les distribucions de dades basada en la varietat estadística dels lots temporals; i el Statistical Process Control de DPs, algoritme per al monitoratge i detecció automàtica de canvis en les DPs de dades. Els mètodes han estat aplicats en repositoris de casos d'estudi reals, incloent: els Registres de Salut Pública de Mortalitat i Càncer de la Comunitat Valenciana; els repositoris de malalties del cor de UCI i NHDS dels Estats Units; i repositoris espanyols de Càncer de Mama i Fecundació In-Vitro. Els mètodes han detectat troballes com particions dels repositoris en subgrups probabilístics temporals, anomalies temporals puntuals, i fonts de dades anòmales i agrupades a causa de diferències en poblacions i en les pràctiques. S'han desenvolupat eines programari incloent els mètodes i la generació automàtica d'informes. Finalment, s'ha definit la base teòrica d'un marc de QD biomèdiques, el qual ha estat utilitzat en la construcció de repositoris de qualitat per l'alimentació del lactant, la contextualització de dades per a la reutilització en Sistemes d'Ajuda a la Decisió Mèdica usant un wrapper HL7-CDA, i en un servei on-line per a l'avaluació i classificació de la QD de repositoris biomèdics. Els resultats d'aquesta tesi han estat publicats en vuit contribucions científiques (revistes indexades i en articles en congressos), una de elles seleccionada per la IMIA com una de les millors publicacions en Sistemes d'Informació de Salut en 2013. Els resultats han contribuït en diversos projectes d'investigació, i han facilitat la industrialització de les tecnologies d / Sáez Silvestre, C. (2016). Probabilistic methods for multi-source and temporal biomedical data quality assessment [Tesis doctoral]. Editorial Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/62188 / Premiado