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1	Transport optimal de mesures positives : modèles, méthodes numériques, applications / Unbalanced Optimal Transport : Models, Numerical Methods, Applications Chizat, Lénaïc 10 November 2017 (has links) L'objet de cette thèse est d'étendre le cadre théorique et les méthodes numériques du transport optimal à des objets plus généraux que des mesures de probabilité. En premier lieu, nous définissons des modèles de transport optimal entre mesures positives suivant deux approches, interpolation et couplage de mesures, dont nous montrons l'équivalence. De ces modèles découle une généralisation des métriques de Wasserstein. Dans une seconde partie, nous développons des méthodes numériques pour résoudre les deux formulations et étudions en particulier une nouvelle famille d'algorithmes de "scaling", s'appliquant à une grande variété de problèmes. La troisième partie contient des illustrations ainsi que l'étude théorique et numérique, d'un flot de gradient de type Hele-Shaw dans l'espace des mesures. Pour les mesures à valeurs matricielles, nous proposons aussi un modèle de transport optimal qui permet un bon arbitrage entre fidélité géométrique et efficacité algorithmique. / This thesis generalizes optimal transport beyond the classical "balanced" setting of probability distributions. We define unbalanced optimal transport models between nonnegative measures, based either on the notion of interpolation or the notion of coupling of measures. We show relationships between these approaches. One of the outcomes of this framework is a generalization of the p-Wasserstein metrics. Secondly, we build numerical methods to solve interpolation and coupling-based models. We study, in particular, a new family of scaling algorithms that generalize Sinkhorn's algorithm. The third part deals with applications. It contains a theoretical and numerical study of a Hele-Shaw type gradient flow in the space of nonnegative measures. It also adresses the case of measures taking values in the cone of positive semi-definite matrices, for which we introduce a model that achieves a balance between geometrical accuracy and algorithmic efficiency. Transport optimal Analyse convexe Optimisation Mesures positives Géométrie de l'information Algorithme de Sinkhorn Traitement d'image Flots de gradient Convergence faible Traitement de champs de tenseurs Barycentres Entropie relative Espace métrique géodésique Optimal transport Convex analysis Optimization Nonnegative measures Information geometry Sinkhorn's algorithm Image processing Gradient flows Weak convergence Tensor field processing Barycentres Relative entropy Geodesic metric space 519
2	Theoretical and Numerical Analysis of Super-Resolution Without Grid / Analyse numérique et théorique de la super-résolution sans grille Denoyelle, Quentin 09 July 2018 (has links) Cette thèse porte sur l'utilisation du BLASSO, un problème d'optimisation convexe en dimension infinie généralisant le LASSO aux mesures, pour la super-résolution de sources ponctuelles. Nous montrons d'abord que la stabilité du support des solutions, pour N sources se regroupant, est contrôlée par un objet appelé pré-certificat aux 2N-1 dérivées nulles. Quand ce pré-certificat est non dégénéré, dans un régime de petit bruit dont la taille est contrôlée par la distance minimale séparant les sources, le BLASSO reconstruit exactement le support de la mesure initiale. Nous proposons ensuite l'algorithme Sliding Frank-Wolfe, une variante de l'algorithme de Frank-Wolfe avec déplacement continu des amplitudes et des positions, qui résout le BLASSO. Sous de faibles hypothèses, cet algorithme converge en un nombre fini d'itérations. Nous utilisons cet algorithme pour un problème 3D de microscopie par fluorescence en comparant trois modèles construits à partir des techniques PALM/STORM. / This thesis studies the noisy sparse spikes super-resolution problem for positive measures using the BLASSO, an infinite dimensional convex optimization problem generalizing the LASSO to measures. First, we show that the support stability of the BLASSO for N clustered spikes is governed by an object called the (2N-1)-vanishing derivatives pre-certificate. When it is non-degenerate, solving the BLASSO leads to exact support recovery of the initial measure, in a low noise regime whose size is controlled by the minimal separation distance of the spikes. In a second part, we propose the Sliding Frank-Wolfe algorithm, based on the Frank-Wolfe algorithm with an added step moving continuously the amplitudes and positions of the spikes, that solves the BLASSO. We show that, under mild assumptions, it converges in a finite number of iterations. We apply this algorithm to the 3D fluorescent microscopy problem by comparing three models based on the PALM/STORM technics. Super-Résolution Parcimonie Blasso Lasso Variation totale Mesures positives Reconstruction exacte du support Algorithme de Frank-Wolfe Microscopie par fluorescence Palm/storm Ma-Tirf Double-Hélice Astigmatisme Super-Resolution Sparsity Blasso Lasso Total variation Positive measures Exact support recovery Frank-Wolfe algorithm Fluorescence microscopy Palm/storm Ma-Tirf Double-Helix Astigmatism 519.5

Search results

Transport optimal de mesures positives : modèles, méthodes numériques, applications / Unbalanced Optimal Transport : Models, Numerical Methods, Applications

Theoretical and Numerical Analysis of Super-Resolution Without Grid / Analyse numérique et théorique de la super-résolution sans grille